为什么部分和的极限为无穷大导致级数发散

适用条件

• 级数表示为 $S = \lim_{n\to\infty} S_n$。
• 部分和 $S_n$ 的极限是在 $n \to \infty$ 时评估的。

理解与推导

1. 回顾无穷级数作为其部分和极限的定义。
2. 评估部分和的极限。
3. 检查极限是否为有限值。
4. 得出无穷极限意味着级数不收敛于有限值，因此发散的结论。

例子

因为 $\lim_{n\to\infty} S_n = \infty$，级数不趋于有限值。片段明确陈述了标准：收敛要求部分和趋于某个有限极限。

容易误解的地方

• 认为只有当级数的各项不趋于零时，级数才发散。
• 混淆部分和序列的发散与各项的发散。

观看对应讲解

继续追问

• 部分和 $S_n$ 与无穷级数 $S$ 有什么区别？
• 当给出部分和的公式时，如何判断无穷级数是收敛还是发散？
• 在评估 $S_n$ 的极限时，为什么要将分子和分母除以 $n^2$？