无穷级数作为部分和的极限 | 级数 | AP微积分BC | 可汗学院

1. 公式
   观察依据

   符号$S$以黄色书写在左上角，用于表示无穷级数。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“假设我们有一个无穷级数 S。”

S

无穷级数的和。

实数或扩充实数（无穷大）。

1. 公式
   观察依据

   求和指标$n$出现在求和上下限$n=1$到$\infty$中，也出现在部分和公式$S_n$中。

2. 声音
   观察依据

   主讲人提到“从 n 等于1到无穷大的和”以及“前 n 项的和”。

n

求和指标与部分和中所含项数。

正整数（$n \ge 1$）。

1. 公式
   观察依据

   项$a_n$写在求和式$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$内部。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“a 下标 n”。

$a_n$

无穷级数的通项。

实数。

1. 公式
   观察依据

   符号$S_n$以紫色书写，并由公式$S_n = \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$定义。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们有一个关于S的部分和的公式……S下标n等于……”

$S_n$

该$n$级数的第$S$项部分和，表示前$n$项的和。

实数。

1. 公式
   观察依据

   S 等于从 n 等于1开始到无穷的 $a_n$ 的和，即 $a_1$ 加 $a_2$ 加 ……

S

正在讨论的无穷级数

实值级数

1. 公式
   观察依据

   $a_n$ 出现在 $S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 中

$a_n$

该级数的第 n 项

以正整数为下标的数列

1. 公式
   观察依据

   $S_n = \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$，随后 $S = \lim_{n\to\infty} S_n$

$S_n$

该级数的第 n 个部分和

正整数 n

1. 公式
   观察依据

   n 是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$、$S_n$ 和 $\lim_{n\to\infty}$ 中的下标

n

用于各项、部分和及极限过程的正整数下标

n 大于等于1

1. 公式
   观察依据

   方程$S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + \dots$显示在屏幕上。

2. 声音
   观察依据

   说话人解释该级数无限延续下去。

无穷级数是一个无穷项数列各项的和。它用$S$表示，可用求和记号书写，也可展开为各项之和。

1. 指标$n$从1开始，并趋近于无穷大。

1. 公式
   观察依据

   方程$S_n = \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$以紫色书写在级数定义的下方。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，这是级数$S$的部分和公式。

题目给出了第$n$个部分和$S_n$的一个具体代数表达式，它表示该级数前$n$项的和。

1. $n$是一个正整数。

1. 无穷级数的定义

1. 公式
   观察依据

   方程$S = \lim_{n \to \infty} S_n$用黄色写出。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：无穷级数$S$就是部分和当$n$趋近于无穷大时的极限。

若一个无穷级数的部分和序列$S$当$S_n$趋近于某个极限，则该无穷级数收敛于有限值$n$；若该极限不存在或为无穷大，则该级数发散。

1. 收敛要求该极限必须存在且为有限值。

1. 无穷级数的定义
2. 部分和公式

1. 公式
   观察依据

   S 等于当 n 趋向无穷大时 $S_n$ 的极限

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，无穷级数可视为其部分和 $S_n$ 在 n 趋于无穷大时的极限。

本视频将无穷级数 S 的值定义为它的部分和序列 $S_n$ 的极限：若该极限存在且为有限数，则称该级数收敛于该数；若该极限无界增长，则称该级数发散。

1. $S_n$ 表示第 n 项部分和

2. 极限在 n 趋于无穷大时取

1. 公式
   观察依据

   $S_n = \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$

本例中，第 n 项部分和由一个关于 n 的有理表达式显式给出。

1. n 为正整数

1. 无穷级数即为其部分和序列的极限

1. 声音
   观察依据

   我们可以将分子与分母同时除以 n 的平方

2. 公式
   观察依据

   当 n 趋于无穷大时，2n 的 3 次方除以 n 的 2 次方加 3n 加 2 的极限，等于当 n 趋于无穷大时，2n 除以 1 加 3 除以 n 加 2 除以 n 的 2 次方的极限。

为求有理表达式当 n 趋于无穷大时的极限，视频将分子和分母同时除以分母中出现的 n 的最高次幂，此处为 $n^2$，从而使低阶项变为分母含 n 的分数。

1. 该表达式是关于 n 的多项式之商

2. n 趋向于无穷大

1. 第 n 项部分和的给定公式

1. 声音
   观察依据

   由于部分和的极限趋于无穷大，这意味着该无穷级数不会取有限值，而将发散。

2. 声音
   观察依据

   若该级数收敛，则此极限应为某个有限值。

无穷级数收敛当且仅当其部分和的极限为有限值；若该极限为无穷大，则级数发散。

1. S 表示为 $\lim_{n\to\infty} S_n$

针对本讨论中的级数

1. 公式
   观察依据

   主讲人写下$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$，然后将分母展开为$n^2 + 3n + 2$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人通过比较分子（3）与分母（2）的次数，得出该极限为无穷大。

1. 公式

   $$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$$
   解释

   将给定的部分和公式$S_n$代入级数和的极限定义中。

   步骤依据

   级数收敛的定义以及给定的部分和$S_n$的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{n^2 + 3n + 2}$$
   解释

   展开分母$(n+1)(n+2)$，得到$n^2 + 3n + 2$。

   步骤依据

   代数展开。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Degree of numerator} = 3, \text{ Degree of denominator} = 2$$
   解释

   找出分子和分母中$n$的最高次幂。

   步骤依据

   多项式次数分析。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{n^2 + 3n + 2} = \infty$$
   解释

   由于分子的次数大于分母的次数，因此当$n$趋近于无穷大时，该有理函数无界增长。

   步骤依据

   有理函数在无穷远处的极限性质。

   视频直接表达

部分和的极限为无穷大，因此该级数发散。

1. 公式
   观察依据

   $S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3}{n^2+3n+2}$

2. 公式
   观察依据

   = $\lim_{n\to\infty} \frac{2n}{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}} = \infty$

3. 声音
   观察依据

   当 n 趋向于无穷大时，这个量……将趋向无穷大……分母将趋向于1……该极限将趋向无穷大

1. 公式

   $$S = \lim_{n\to\infty} S_n$$
   解释

   将无穷级数重写为其部分和的极限

   步骤依据

   定义在屏幕上显示并由旁白说明

   视频直接表达
2. 公式

   $$= \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$$
   解释

   代入给定的 $S_n$ 公式

   步骤依据

   给定公式在屏幕上显示

   视频直接表达
3. 公式

   $$= \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3}{n^2+3n+2}$$
   解释

   展开分母 ($n+1$)($n+2$)

   步骤依据

   代数展开过程在手写演算中可见

   视频直接表达
4. 公式

   $$= \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}$$
   解释

   分子与分母同时除以 $n^2$

   步骤依据

   该步骤在口述中说明，并在改写后的分式中展示

   视频直接表达
5. 公式

   $$= \infty$$
   解释

   当 $n \to \infty$ 时，分子 $2n \to \infty$，而 $3/n \to 0$，且 $2/n^2 \to 0$，因此分母趋于1

   步骤依据

   极限行为通过口头讲解并在屏幕上标注说明

   视频直接表达

部分和的极限为无穷大，因此该级数发散。

1. 声音
   观察依据

   主讲人提出问题：“该级数是收敛还是发散？”

2. 公式
   观察依据

   屏幕上展示的完整推导过程用于解决这一具体问题。

已知无穷级数$S$的部分和为$S_n = \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$，判断该级数收敛还是发散。

1. S 等于从 n 等于1开始到无穷的 $a_n$ 的和

2. $S_n = \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$

求出$\lim_{n \to \infty} S_n$以判断级数是否收敛。

1. 公式

   $$S = \lim_{n \to \infty} S_n$$
   解释

   写出部分和的极限表达式。

   步骤依据

   无穷级数和的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$$
   解释

   将$S_n$的表达式代入。

   步骤依据

   已知公式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{n^2 + 3n + 2}$$
   解释

   展开分母。

   步骤依据

   代数运算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\infty$$
   解释

   根据分子与分母多项式的次数来计算该极限。

   步骤依据

   分子次数（3）大于分母次数（2）。

   视频直接表达

该级数发散，因为其部分和的极限为无穷大。

多项式次数的直观比较印证了其无界增长。

1. 公式
   观察依据

   $S = \sum _{n=1}^{\infty } a_n = a_1 + a_2$ + ⋯，$S_n = 2n^3 / ((n+1)(n+2))$

2. 声音
   观察依据

   这个无穷级数不会得到一个有限值，它只会发散。

已知 $S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 且 $S_n = \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$，判断该无穷级数是收敛还是发散。

1. $S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + \cdots$

2. Sₙ = $\frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$

计算 $\lim_{n\to\infty} S_n$ 并据此判断级数收敛或发散。

1. 公式

   $$S = \lim_{n\to\infty} S_n$$
   解释

   利用无穷级数的定义：即其部分和序列的极限。

   步骤依据

   在屏幕上显示，并由旁白复述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\lim_{n\to\infty} \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$$
   解释

   代入 $S_n$ 的显式表达式。

   步骤依据

   题目中已给出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\lim_{n\to\infty} \frac{2n^3}{n^2+3n+2}$$
   解释

   展开分母。

   步骤依据

   演算解答中展示的代数化简过程。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\lim_{n\to\infty} \frac{2n}{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}$$
   解释

   分子和分母同除以 n 的2次方，以揭示其极限行为。

   步骤依据

   方法通过语音讲解并同步书写在屏幕上。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\infty$$
   解释

   分子无界增长，而分母趋近于1。

   步骤依据

   极限分析在音频中陈述，并通过视觉标注呈现。

   视频直接表达

该级数发散。

结论与屏幕最终标注的“DIVERGE”以及口头解释一致：收敛要求极限为有限值。

1. 动画
   观察依据

   主讲人在屏幕右侧用粉色书写$S_1, S_2, S_3, \dots$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将此描述为一个部分和序列。

1. 文字$S_1, S_2, S_3, \dots$

1. 该序列逐项写出。

1. 这些是趋近于某个极限的离散数值。

这一视觉辅助工具通过先展示各个部分和构成的序列，再取极限，帮助理解极限过程。

1. 图示
   观察依据

   黑色数字白板，上面用黄色、紫色、粉色和绿色手写数学内容，按行排列。

1. 左上角为黄色的级数定义

2. 其下方为紫色的部分和公式

3. 右上角的粉色数列记号：$S_1$, $S_2$, $S_3$, $\ldots$

4. 居中横贯的黄色极限链

5. 结尾附近的绿色方框与箭头

1. 新的代数式写在初始设定的下方

2. 在化简后的极限式周围添加标注：$\infty$、0、0和1

3. 用绿色方框框住 S，并写出单词 DIVERGE（发散），辅以箭头

1. 原始定义与公式全程保持可见

视觉演进过程与推理链条一致：从定义出发，经代入、化简、极限求值，最终完成分类。

1. 图示
   观察依据

   注释出现在 $\frac{ 的上方和右侧2n}{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}$ 上方和旁边，表示 n 趋于 $\infty2n$，0 表示 $\frac{3}{n}$，0 表示 $\frac{2}{n^2}$，以及1作为分母。

1. 分子 2n

2. 项 $\frac{3}{n}$ 和 $\frac{2}{n^2}$

3. 分母 $1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}$

1. 箭头与标签标出每一部分在 $n \to \infty$ 时的极限

1. 分式的代数形式保持不变，同时突出其极限行为

注释说明整个分式趋于无穷大的原因：分子发散，而分母趋于 1。

1. 图示
   观察依据

   用绿色方框框住 S，并有一支箭头指向手写的单词 DIVERGE。

1. 框出的 S

2. 箭头

3. 单词 DIVERGE

1. 在极限计算完成后，通过图形方式强调该结论

1. 此前的推导过程仍保留在上方可见

黑板上标出了本例的最终结果：该无穷级数不收敛于有限值。

1. 声音
   观察依据

   总是说：看，无穷级数——我们有一个前 n 项部分和的公式，然后我们说：哦，看，这个级数本身，即无穷级数，可以看作是部分和 $S_n$ 的极限……

有人可能认为 $S_n$ 的公式已经是该无穷级数的值。

视频强调：$S_n$ 给出的是前 n 项的和，而无穷级数只有在取极限 $\lim_{n\to\infty} S_n$ 之后才能得到。

1. 声音
   观察依据

   分母将趋近于1

2. 公式
   观察依据

   当 n 趋于无穷大时，2n 除以 1加 3除以 n 加 2除以 n 的 2 次方 的极限等于无穷大

1. 这一误解是从讲解中的强调语气推断出来的，而非说话人明确指出的名称。

在看到一个二次型分母后，有人可能预期该极限为0。

因为分子是三次式，除以 $n^2$ 后，分子剩下一次式 2n，因此即使分母趋近于1，该分式仍无界增长。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确将无穷级数$S$与$S_n$的极限联系起来。

无穷级数的收敛性是通过对它的部分和序列应用极限概念来定义的。

1. 公式
   观察依据

   $S = \lim_{n\to\infty} S_n$ 直接写在 $S_n$ 的代入表达式上方

该例题应用了无穷级数的定义：即其部分和序列的极限。

1. 公式
   观察依据

   给定的 $S_n$ 通过除以 $n^2$ 被转化为一个简化后的极限表达式

利用将分子和分母同时除以 n 的最高次幂的方法，分析 $S_n$ 的具体有理表达式

1. 声音
   观察依据

   我们可以将分子和分母同时除以 n 的平方

2. 公式
   观察依据

   重写后的极限在推导过程中立即得出

该推导依赖代数重写方法，以揭示每一项的极限行为

1. 声音
   观察依据

   由于部分和的极限趋于无穷大……该级数发散

所计算出的无穷极限被用来证明该级数发散

1. 声音
   观察依据

   主讲人提问：“该级数是收敛还是发散？”

1. 无穷级数的收敛性
2. 部分和公式

1. 声音
   观察依据

   主讲人通过比较分子与分母的次数来求极限。

1. 求部分和的极限

1. 公式
   观察依据

   S 等于当 n 趋近于无穷大时 $S_n$ 的极限。

1. 无穷级数即为其部分和序列的极限

1. 声音
   观察依据

   将分子和分母同时除以 n 的平方

2. 公式
   观察依据

   当 n 趋于无穷大时，2n 除以 1加 3除以 n 加 2除以 n 的 2 次方 的极限等于无穷大

1. 将分子和分母同时除以 n 的最高次幂
2. 对部分和的极限进行求值

1. 声音
   观察依据

   这个无穷级数不会得到一个有限值，它只会发散。

1. 视频片段中陈述的收敛判据
2. 例题：根据给定的部分和公式判断级数的收敛性

1. 声音
   观察依据

   我们曾有一个计算前 n 项部分和的公式……而这个无穷级数，你可以将其视作部分和 $S_n$ 的极限……

1. 无穷级数即为其部分和序列的极限
2. 混淆了部分和公式与无穷级数本身