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为什么当用固定元素右乘重新索引时，群上的和保持不变？

对于有限群 GG，将每个元素右乘一个固定元素 h∈Gh \in G 仅仅置换了 GG 的元素。集合 {gh∣g∈G}\{gh \mid g \in G\} 正好是 GG。因此，对 GG 上的函数 ff 求和与对 GG 上的 f(gh)f(gh) 求和产生相同的结果，因为项只是重新排序了。

适用条件

  • GG 是有限群。
  • hh 是 GG 中的固定元素。
  • ff 是定义在 GG 上的任意函数。

理解与推导

  1. 考虑和 ∑g∈Gf(g)\sum_{g \in G} f(g)。
  2. 用固定的 h∈Gh \in G 将索引 gg 替换为 ghgh。
  3. 观察到映射 g↦ghg \mapsto gh 是从 GG 到 GG 的双射。
  4. 得出值集 {gh∣g∈G}\{gh \mid g \in G\} 与 GG 完全相同的结论。
  5. 推断 ∑g∈Gf(g)=∑g∈Gf(gh)\sum_{g \in G} f(g) = \sum_{g \in G} f(gh)，因为加法是可交换的且项是相同的。

例子

视频写出 ∑g∈Gf(g)=∑g∈Gf(gh)\sum_{g\in G} f(g)=\sum_{g\in G} f(gh) 并解释说“{gh}\{gh\} 的集合 = GG 的集合”，所以和是完全一样的。

容易误解的地方

  • 认为在有限求和中求和的顺序很重要；它不重要。
  • 混淆左乘和右乘；视频使用右乘 g↦ghg \mapsto gh，但该原理对两者都成立。

观看对应讲解

6:15 – 7:00原站看这一段 ↗

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答案依据视频资料生成并经过独立核验。若有疑问，请核对原视频或联系原作者。