为什么视频说函数可以由级数定义？

适用条件

• 表达式是一个无穷级数。
• 等式 $f(x) = \text{级数}$ 被作为定义。

理解与推导

1. 承认函数由闭式表达式定义的常见直觉。
2. 引入无穷级数也可以作为定义规则的概念。
3. 将函数名 $f(x)$ 设为等于求和式 $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$。
4. 得出对特定的 $x$ 计算级数即可得到函数值 $f(x)$ 的结论。

例子

演讲者明确提到了这种设置的令人惊讶之处，指出虽然看起来很奇怪，但函数确实可以由级数定义，并在黑板上写下 $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$。

容易误解的地方

• 认为只有闭式公式才能定义函数。
• 认为级数仅仅是用来操作的表达式，不能作为函数定义。

观看对应讲解

继续追问

• 如何逐项展开求和式 $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$？
• 余弦函数的麦克劳林级数是什么？
• 部分和如何近似由级数定义的函数？