为什么有限维赋范空间之间的每个线性算子都是紧算子？

适用条件

• 算子是线性的。
• 定义域和值域是有限维赋范空间。

理解与推导

1. 有限维赋范空间之间的线性算子自动是连续的。
2. 对于线性算子，连续性与有界性等价。
3. 因为算子是有界的，所以算子下单位球的像是一个有界集。
4. 对该有界像取闭包会产生一个闭且有界的集合。
5. 在有限维赋范空间中，每个闭且有界的集合都是紧致的。
6. 因此，单位球像的闭包是紧致的，满足紧算子的定义。

例子

黑板构建了如下链条：T: $\mathbb{F}^n \longrightarrow \mathbb{F}^m$ linear $\Rightarrow T$ is continuous / bounded $\Rightarrow T[B_1(0)] \subseteq \mathbb{F}^m$ bounded $\Rightarrow \overline{T[B_1(0)]} \subseteq \mathbb{F}^m$ compact.

容易误解的地方

• 假设单位球像的有界性本身足以证明紧致性；还必须取闭包。
• 认为该论证依赖于选择标准欧几里得范数，而讲师指出这些陈述并不依赖于特定的范数选择。

观看对应讲解

继续追问

• 这段视频中给出的紧算子的确切定义是什么？
• 为什么 $\ell^p(\mathbb{N})$ 上的恒等算子不是紧算子？
• 在定义紧算子时，为什么要对单位球的像取闭包？