为什么局部化被认为是分式域构造的推广？

适用条件

• $R$ 是一个交换环。
• 在特殊情况下，$R$ 是一个整环且 $S$ 是 $R$ 的非零元素集合。

理解与推导

1. 从一般的交换环 $R$ 和乘法闭子集 $S$ 开始。
2. 将局部化 $S^{-1}R$ 定义为分数 $r/s$。
3. 注意到如果 $R$ 是整环且 $S$ 是非零元素集合，$S^{-1}R$ 恰好是 $R$ 的分式域。

例子

讲师说这在 $R$ 是整环的情况下已经很熟悉了，然后取 $S$ 为 $R$ 去掉零，就得到了 $R$ 的分式域。黑板上写着 "If $R$ is an integral domain" 然后 "$S \subset R_0 \Rightarrow S^{-1}R =$ field of fractions"。

容易误解的地方

• 认为像 $r/s$ 这样的分数只有在底环是整环时才有意义。
• 假设局部化总是产生一个域。

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相关概念

继续追问

• 交换环 $R$ 在乘法闭集 $S$ 处的局部化 $S^{-1}R$ 的定义是什么？
• 在什么条件下，$R$ 中的元素 $a$ 在 $S^{-1}R$ 中变为零？