为什么区域 D 是单连通的对于通过围道积分定义原函数 $F(z)$ 很重要？

适用条件

• 区域 D 是单连通的。
• 函数 f 在 D 上是全纯的。
• 原函数 $F(z)$ 被定义为从固定基点 $z_0$ 到 z 的围道积分。

理解与推导

1. 识别原函数 $F(z)$ 的定义为 $f(w)$ 沿从 $z_0$ 到 $z$ 的路径 $\gamma_z$ 的围道积分。
2. 认识到在复平面中，两点之间通常有多条路径。
3. 应用单连通区域的性质：从 $z_0$ 到 $z$ 的任何两条路径都可以在不离开该区域的情况下连续变形为彼此。
4. 调用柯西定理，该定理指出全纯函数在单连通区域内任何闭围道上的积分为零。
5. 得出从 $z_0$ 到 $z$ 沿任何路径的积分都相同的结论，确保 $F(z)$ 是一个单值、良定义的函数。

例子

讲师解释说，因为区域是单连通的，“我们选择哪条路并不重要……从 z naught 到 z 沿每条路的积分与沿其他每条路的积分相同”。

容易误解的地方

• 假设围道积分总是路径无关的，而不管区域的拓扑结构如何。
• 认为在有孔洞（非单连通）的区域上的全纯函数总是具有由路径积分定义的良定义的单值原函数。

观看对应讲解

继续追问

• 在这个证明中，全纯函数原函数的显式公式是什么？
• 区域的开性如何帮助计算导数？