在计算矩形脉冲的傅里叶变换时，为什么正弦项被消除？

适用条件

• 积分区间是 $[-1, 1]$。
• 被积函数包含 $\sin(\omega t)$。
• $\omega$ 相对于积分变量 $t$ 是常数。

理解与推导

1. 使用欧拉公式展开复指数：$e^{-i\omega t} = \cos(\omega t) - i\sin(\omega t)$。
2. 识别余弦项的奇偶性：$\cos(\omega(-t)) = \cos(\omega t)$，所以它是偶函数。
3. 识别正弦项的奇偶性：$\sin(\omega(-t)) = -\sin(\omega t)$，所以它是奇函数。
4. 应用对称区间积分的性质：如果 $f(t)$ 是奇函数，则 $\int_{-a}^{a} f(t) dt = 0$。
5. 得出 $\int_{-1}^{1} \sin(\omega t) dt = 0$ 的结论。
6. 仅保留余弦项：$\int_{-1}^{1} \cos(\omega t) dt$。
7. 利用余弦的偶函数性质进一步简化：$2 \int_{0}^{1} \cos(\omega t) dt$。

例子

视频指出：“因为这是一个偶函数……这是一个奇函数……所以奇函数消失。”黑板显示了从 $\int_{-1}^{1} (\cos \omega t - i \sin \omega t) dt$ 到 $2 \int_{0}^{1} \cos \omega t dt$ 的过渡。

容易误解的地方

• 认为正弦项为零是因为 $\sin(0)=0$；它为零是因为积分的对称性。
• 假设余弦项也消失；它不会，因为它是偶函数。
• 在确定奇偶性时混淆变量 $t$ 和 $\omega$；奇偶性是相对于积分变量 $t$ 确定的。

观看对应讲解

继续追问

• 消除正弦项后剩下什么？
• 如何计算余弦积分？
• 这种对称性论证在非对称区间上是否成立？