为什么在有单位元的交换环中，零理想是极大的当且仅当该环是域？

适用条件

• 背景环 R 是有单位元的交换环。
• 考虑的理想是零理想 {0}。

理解与推导

1. 证明正向 (⇒)：假设 {0} 是 R 的极大理想。
2. 取 R 的任何非零元素 a。主理想 (a) 真包含 {0}。
3. 由 {0} 的极大性，(a) 必须等于整个环 R。
4. 因为 (a) = R，乘法单位元 $e \in (a)$，这意味着存在 $b \in R$ 使得 ab = e。
5. 得出每个非零 a 都有逆元 b，所以 R 是域的结论。
6. 证明反向 (⇐)：假设 R 是域。
7. 根据定理 2，域只有两个理想：{0} 和 R。
8. 因为包含 {0} 的理想只有 {0} 和 R，所以 {0} 是极大理想。

例子

视频陈述了定理 3：“零理想是有单位元的交换环的极大理想当且仅当该环是域。”证明表明，如果 {0} 是极大的，对于任何非零的 a，(a) = R，这意味着 ab = e，因此 R 是域。

容易误解的地方

• 假设该定理适用于非交换环或没有单位元的环，在这些情况下等价关系可能不成立。
• 混淆 {0} 是极大的条件与 {0} 是素理想的条件；{0} 是素理想当且仅当该环是整环。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么零理想 {0} 不是 Z 的极大理想？
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