为什么泰勒级数项的分母中有一个阶乘？

适用条件

• 函数在中心点 a 处 n 次可微。
• n 是非负整数。

理解与推导

1. 隔离泰勒级数的第 n 项：$\frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$。
2. 对该项应用 n 阶导数算子 $\frac{d^n}{dx^n}$。
3. 利用导数的线性性质，将常数系数 $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ 提取出来。
4. 反复应用幂法则，对 $(x - a)^n$ 精确求导 n 次。
5. 观察到多项式求导产生的系数是乘积 $n(n-1)\cdots(1)$，即等于 $n!$。
6. 将提取出的常数与新系数相乘：$\frac{f^{(n)}(a)}{n!} \cdot n!$。
7. 得出 n! 项相互抵消，恰好留下 $f^{(n)}(a)$ 的结论。

例子

视频展示了逐步推导过程：$\frac{d^n}{dx^n} ((x - a)^n) = n!$，然后将其代回得到 $\frac{f^{(n)}(a)}{n!} n! = f^{(n)}(a)$。

容易误解的地方

• 假设阶乘只是一种标准的格式约定，而不是必要的数学抵消。
• 认为 $(x-a)^n$ 的 n 阶导数只是 $(x-a)^0$，而没有伴随的 $n!$ 系数。

观看对应讲解

继续追问

• 在 $x=a$ 处取 n 阶导数时，泰勒级数中的其他项会发生什么？
• 泰勒多项式近似函数的核心直觉是什么？