为什么在测试分段函数的连续性时必须检查每一侧的正确分支？

在内部点 $a$ 处，如果函数通过三个测试，它就是连续的：$f(a)$ 有定义，双侧极限 $\lim_{x\to a}f(x)$ 存在，且该极限等于 $f(a)$。双侧极限的存在要求左极限和右极限一致。

适用条件：点 $a$ 是函数定义域的内部点。；双侧极限要求左极限和右极限一致。

某一点的连续性要求双侧极限存在且等于函数值。双侧极限仅当左极限和右极限相等时才存在。

适用条件：该点是定义域的内部点。；左极限和右极限是有限的但不相等。

连续性可以通过三种方式失效：缺失值违反了第一个测试（函数无定义）；跳跃违反了共同双侧极限的存在性（左右极限不同）；可去间断点发生在极限存在但与分配的函数值不同的时候。

适用条件：分析适用于正在测试连续性的点。；跳跃特别意味着左极限和右极限不一致。；可去间断点意味着极限存在但不等于 $f(a)$。

当某一点的左极限和右极限都存在但不相等时，即识别为跳跃间断点。由于单侧极限不同，双侧极限不存在，从而阻止函数在该点连续。

适用条件：函数在该点两侧均有定义。；左极限和右极限都存在且为有限数值。；左极限不等于右极限。

当某一点的双侧极限存在，但函数在该点无定义或函数值不等于极限时，就会发生可去间断点。具体来说，如果左右极限相等（例如都等于 3），但 $f(a)$ 不同（例如 5），则该间断点是可去的。

适用条件：该点的左极限和右极限相等。；双侧极限存在。；$f(a)$ 无定义或 $f(a) \neq \lim_{x \to a} f(x)$。