连续性｜The Organic Chemistry Tutor

某一点的连续性要求双侧极限存在且等于函数值。双侧极限仅当左极限和右极限相等时才存在。

适用条件：该点是定义域的内部点。；左极限和右极限是有限的但不相等。

当某一点的左极限和右极限都存在但不相等时，即识别为跳跃间断点。由于单侧极限不同，双侧极限不存在，从而阻止函数在该点连续。

适用条件：函数在该点两侧均有定义。；左极限和右极限都存在且为有限数值。；左极限不等于右极限。

当某一点的双侧极限存在，但函数在该点无定义或函数值不等于极限时，就会发生可去间断点。具体来说，如果左右极限相等（例如都等于 3），但 $f(a)$ 不同（例如 5），则该间断点是可去的。

适用条件：该点的左极限和右极限相等。；双侧极限存在。；$f(a)$ 无定义或 $f(a) \neq \lim_{x \to a} f(x)$。

要使函数在内部点 $a$ 处连续，必须满足三个条件：首先，函数值 $f(a)$ 必须有定义；其次，双侧极限 $\lim_{x \to a} f(x)$ 必须存在；第三，该极限必须等于函数值 $f(a)$。在检查分段函数的极限时，必须评估 $a$ 两侧的相应分支。

适用条件：点 $a$ 是定义域的内部点。；函数在 $a$ 附近是分段的或有不同分支。

通过将间断点处的函数值重新定义为等于现有的双侧极限，可以将可去间断点恢复为连续。由于极限已经存在（左右极限相等），设置 $f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$ 即可满足连续性的所有三个条件。

适用条件：在点 $a$ 处双侧极限存在。；当前的函数值 $f(a)$ 要么无定义，要么与极限不同。

当且仅当左极限 $\lim_{x \to a^-} f(x)$ 和右极限 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ 都存在且等于相同的有限值时，双侧极限 $\lim_{x \to a} f(x)$ 才被认为存在。如果它们不相等，则双侧极限不存在。

适用条件：函数在 $a$ 的邻域内有定义（可能不包括 $a$ 本身）。；我们正在评估 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限。

关键区别在于双侧极限是否存在。在跳跃间断点中，左右极限存在但不相等，因此双侧极限不存在。

适用条件：比较内部点处的两种间断点类型。；两种情况下单侧极限均为有限值。

分段函数在不同区间上由不同的公式定义。为了确定 $x$ 趋近于边界点 $a$ 时的极限，你必须使用对 $x < a$ 有效的公式来计算左极限，并使用对 $x > a$ 有效的公式来计算右极限。

适用条件：函数是分段定义的。；点 $a$ 是分支之间的边界。