为什么要用不等价的不可约表示而不是出现的顺序来重新标记块？

适用条件

• 原始的块对角分解是可用的。
• 等价的不可约直和项被归入同一个标签下。

理解与推导

1. 从按出现顺序编号块的块对角形式开始。
2. 认识到某些块可能代表相同的不可约表示。
3. 重新标记块，使得索引 $j$ 指的是不等价的不可约表示类型。
4. 将所有相同不可约类型的副本组合在一起。
5. 引入重数 $a_j$ 来计算 $\Gamma^j$ 出现的次数。
6. 写出紧凑的表达式 $\Gamma = \bigoplus_j a_j \Gamma^j$。

例子

讲师说：“现在使用这些标签 1, 2, 3 等等作为不等价不可约表示的标签可能是有意义的。”幻灯片引入了“（重新标记）”并将分解重写为 $\Gamma = \Gamma^1 \oplus \cdots \oplus \Gamma^1 \oplus \Gamma^2 \oplus \cdots \oplus \Gamma^2 \oplus \cdots = \bigoplus_j a_j \Gamma^j$。

容易误解的地方

• 认为索引 1, 2, 3, ... 总是标记不同的不可约类型，仅仅因为它们标记了不同的对角块。
• 认为重新标记改变了分解的数学内容。

观看对应讲解

继续追问

• 在 $\bigoplus_j a_j \Gamma^j$ 中，系数 $a_j$ 意味着什么？
• 在这里，表示是完全可约的意味着什么？