为什么当 AB ≠ ∅ 时，我们只能说事件“可能”独立，而不能说“一定”独立？

适用条件

• 事件 A 和 B 的交集非空（$AB \neq \emptyset$）。
• 事件 A 是事件 B 的子集（$A \subset B$）。

理解与推导

1. 承认 $AB \neq \emptyset$ 意味着 A 和 B 可以同时发生。
2. 构造一个反例，其中 A 完全包含在 B 中（$A \subset B$）。
3. 观察到如果 A 发生，B 必然发生，这意味着在 A 发生的条件下 B 的条件概率为 1（$P(B|A) = 1$）。
4. 注意除非 $P(B) = 1$，否则 $P(B|A) \neq P(B)$，证明它们不独立。
5. 得出非空交集只允许独立的可能性，而不是确定性的结论。

例子

想象掷一个标准的六面骰子。设 A 为“掷出 2”，B 为“掷出偶数”。A 是 B 的子集，所以 $AB \neq \emptyset$。然而，如果 A 发生，B 必然发生，这使得它们高度相关，而不是独立的。

容易误解的地方

• 假设如果两个事件可以同时发生，它们必定是独立的。
• 将能够共存与不存在统计影响混淆。

观看对应讲解

继续追问

• 视频如何使用韦恩图来反驳非空交集意味着独立性的说法？
• 非空交集与独立性有什么关系？