你想弄懂什么？

在此背景下，$A \circ B$ 表示先应用 B，然后将 A 应用于所得结果的变换。该记号遵循最右侧变换首先作用于输入向量的约定。

适用条件：A 和 B 被视为同一空间（此处为三维空间）上的变换。；B 的输出必须是 A 可接受的输入。

追踪标准基向量的像之所以能确定所有其他点的目的地，是因为任何任意向量都可以表示为这些基向量的线性组合。由于线性变换保持向量加法和标量乘法，任意向量的变换恰好是将相同的系数应用于变换后的基向量。

适用条件：变换是线性的。；在使用标准基向量 $\hat{i} = [1, 0]^T$ 和 $\hat{j} = [0, 1]^T$ 的二维平面中工作。

将向量重写为标准基向量的线性组合可以利用变换的线性性质。与其直接计算完整的矩阵-向量乘积，不如分别对每个基向量应用变换（这对应于矩阵的列），然后使用原始系数组合结果。

适用条件：向量在 $R^3$ 中。；系数是向量相对于标准基的坐标。；A 是线性的：应用它保持和与标量倍数。

原点保持不变是因为线性要求 $T(av+bw)=aT(v)+bT(w)$。如果我们设 $v=0$ 和 $w=0$（或者简单地考虑零向量），$T(0) = T(0\cdot v) = 0\cdot T(v) = 0$。

适用条件：变换是线性的。；将线性定义应用于零向量。

我们乘以 5 是因为变换矩阵 $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 的行列式绝对值为 5。行列式代表线性变换的面积缩放因子。

适用条件：变换矩阵为 $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$。；原始面积已知。；在标准正交坐标中使用普通欧几里得面积。

在计算复合变换 $A \circ B$ 时，矩阵 B 代表第一个变换。它的列是标准基向量在 B 下的像。

适用条件：A 和 B 是表示线性变换的 3x3 矩阵。；目标是找到复合变换的矩阵表示。