三阶矩阵的复合运算｜Khan Academy

1. 公式
   观察依据

   白色矩阵标签 A 显示为 [[-3, 0, 0], [-3, -2, -4], [3, 3, 1]]。

2. 声音
   观察依据

   开场把显示的矩阵解释为三维空间中的变换。

A

表示三维空间中变换的 3×3 矩阵。

3×3 实矩阵

1. 公式
   观察依据

   红色矩阵标签 B 显示为 [[-2, 0, -2], [-3, 2, 4], [2, 3, -4]]。

2. 声音
   观察依据

   开场将另一个显示矩阵标记为B。

B

其列经 A 变换后形成 A∘B 各列的 3×3 矩阵。

3×3 实矩阵

1. 公式
   观察依据

   左下角表达式读作 A ∘ B = [[6, _, 6], [4, _, 14], [-13, _, 2]]，中间列为空白。

2. 声音
   观察依据

   课程要讨论复合变换并求空白的中间列。

A \circ B

先应用 B 再应用 A 得到的复合变换；此处表示为 3×3 矩阵。

3×3 实矩阵

1. 公式
   观察依据

   向量 [1, 0, 0]^T 作为 B 中间列分解的一部分被写出。

2. 声音
   观察依据

   分解使用沿x轴的坐标方向。

\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}

R^3 中 x 方向的标准基向量。

R^3

1. 公式
   观察依据

   向量 [0, 1, 0]^T 在 B 中间列的分解中出现，乘以 2。

2. 声音
   观察依据

   分解也使用沿y轴的坐标方向。

\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}

R^3 中 y 方向的标准基向量。

R^3

1. 公式
   观察依据

   向量 [0, 0, 1]^T 在 B 中间列的分解中出现，乘以 3。

2. 声音
   观察依据

   最后一个基向量项使用沿z轴的坐标方向。

\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}

R^3 中 z 方向的标准基向量。

R^3

1. 公式
   观察依据

   矩阵 A 被写为一个 3x3 矩阵，其列向量为 [-3, -3, 3]、[0, -2, 3] 和 [0, -4, 1]。

A

表示线性变换的 3x3 矩阵。

3x3 实矩阵

1. 公式
   观察依据

   矩阵 B 被写为一个 3x3 矩阵，其列向量为 [-2, -3, 2]、[0, 2, 3] 和 [-2, 4, -4]。

B

表示线性变换的 3x3 矩阵。

3x3 实矩阵

1. 公式
   观察依据

   表达式 A o B 用于表示由矩阵 A 和 B 所代表的变换的复合。

A o B

由矩阵 A 和 B 所代表的线性变换的复合。

3x3 实矩阵

1. 公式
   观察依据

   向量 [1, 0, 0] 被用作第一个标准基向量。

e_1

R^3 中的第一个标准基向量。

R^3

1. 公式
   观察依据

   向量 [0, 1, 0] 被用作第二个标准基向量。

e_2

R^3 中的第二个标准基向量。

R^3

1. 公式
   观察依据

   向量 [0, 0, 1] 被用作第三个标准基向量。

e_3

R^3 中的第三个标准基向量。

R^3

1. 声音
   观察依据

   讲解明确约定B先作用，A后作用。

2. 公式
   观察依据

   显示的记号为 A ∘ B。

在此片段中，A ∘ B 表示先应用 B，然后将 A 应用于结果的变换。视觉记号在 A 和 B 之间使用小圆圈，而不是普通的并列。

1. A 和 B 被视为同一空间上的变换，此处为三维空间。

2. B 的输出必须是 A 可接受的输入。

1. 声音
   观察依据

   构造时把B的一列输入A，将得到的像放入结果的对应列。

2. 动画
   观察依据

   紫色椭圆标记 B 的第一列和 A∘B 的第一列；橙色椭圆标记 B 的第三列和 A∘B 的第三列；红色椭圆标记 B 的中间列。

A∘B 的矩阵可以逐列构建：A∘B 的第 j 列是 B 的第 j 列在 A 下的像。片段通过视觉上配对已知的第一列和第三列，然后聚焦于缺失的中间列来演示这一点。

1. A 是由矩阵表示的线性变换。

2. 列被读取为 A 定义域中的向量。

1. A ∘ B 的复合顺序

1. 公式
   观察依据

   中间列向量 [0, 2, 3]^T 被重写为 0[1,0,0]^T + 2[0,1,0]^T + 3[0,0,1]^T。

2. 声音
   观察依据

   对输入先按坐标方向分解，再应用变换。

向量 [0, 2, 3]^T 被表达为 R^3 中标准基向量的线性组合。这为下一步做准备，即对每个基向量分量应用变换 A，而不是对原始坐标应用。

1. 向量位于 R^3 中。

2. 系数是向量相对于标准基的坐标。

1. 声音
   观察依据

   讲解保留系数，将每个坐标方向替换为它在变换下的像。

2. 公式
   观察依据

   在此陈述之前，黑板上仍显示着分解为标准基向量的式子。

1. 在本条目的前段时间范围内：片段在明确写出 A e_1, A e_2, A e_3 的像或将它们组合成最终中间列之前结束。 完整视频的后续部分继续代入并算出数值和。

A的线性性质使我们可以用原来的系数，把各基向量在A下的像相加。此处先说明规则，视频后续再代入矩阵的列并完成计算。

1. A为线性映射，即作用后保留向量加法与数乘关系。

2. e_i 是 A 定义域中的基向量。

1. 用标准基向量书写向量

1. 声音
   观察依据

   后续讲解使用输入矩阵的列，而不是仅用单个坐标方向。

2. 公式
   观察依据

   显示了表达式 A o B，并使用 B 的列向量来计算结果矩阵。

为了找到复合变换 A o B 的矩阵表示，将变换 A 应用于矩阵 B 的每一列。得到的向量构成了矩阵 A o B 的列。

1. A 和 B 都是 3x3 矩阵。

2. 该运算在实数域上进行。

3. 这里是输入与输出空间相容的实线性映射，采用标准列向量坐标表示。

1. A
2. B
3. A o B

1. 声音
   观察依据

   讲解将两矩阵及其复合解释为同一空间上的变换。

2. 公式
   观察依据

   显示了三个 3×3 数组：A、B 和一个部分完成的 A∘B。

显示的每个 3×3 矩阵都可以被视为三维空间中的变换，复合 A∘B 也可以由一个 3×3 矩阵表示。

1. 矩阵是 3×3 的。

2. 它们被解释为三维空间上的变换。

3. 这里是输入与输出空间相容的实线性映射，采用标准列向量坐标表示。

对于本例中显示的两个矩阵 A 和 B 及其复合 A∘B。

1. 声音
   观察依据

   已给出的外侧列用于说明空白列也遵循相同的列向量取像规则。

2. 动画
   观察依据

   第一列和第三列在 B 和 A∘B 之间用匹配的颜色圈出。

A∘B 的第一列 [6,4,-13]^T 是对 B 的第一列 [-2,-3,2]^T 应用 A 的结果，A∘B 的第三列 [6,14,2]^T 是对 B 的第三列 [-2,4,-4]^T 应用 A 的结果。

1. A 和 B 是显示的矩阵。

2. 列被解释为变换 A 的输入向量。

对于显示矩阵中明确展示的第一列和第三列。

1. 声音
   观察依据

   前段把空白列的问题连接到标准基分解和基向量的变换像。

2. 公式
   观察依据

   黑板显示 A、B、部分 A∘B 矩阵以及分解式 0[1,0,0]^T + 2[0,1,0]^T + 3[0,0,1]^T。

3. 动画
   观察依据

   彩色椭圆连接 B 的列与 A∘B 的列，并将 B 的中间列隔离为目标。

1. 在本条目的前段时间范围内：推导在屏幕上计算出最终数值中间列之前停止。 完整视频的后续部分继续代入并算出数值和。

2. 在本条目的前段时间范围内：A e_1, A e_2 和 A e_3 的显式值未在此片段中写出。 完整视频的后续部分继续代入并算出数值和。

1. 公式

   $$B_{:,2}=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix}$$
   解释

   确定 B 的中间列为必须由 A 变换的向量。

   步骤依据

   直接从显示的矩阵 B 读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(A\circ B)_{:,2}=A\left(\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix}\right)$$
   解释

   根据复合的逐列规则，A∘B 缺失的中间列是 B 的中间列在 A 下的像。

   步骤依据

   使用课程解释的列向量取像规则和线性性质。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix}=0\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$$
   解释

   将输入向量重写为标准基向量的线性组合。

   步骤依据

   使用课程解释的列向量取像规则和线性性质。

   视频直接表达
4. 公式

   $$A\left(0e_1+2e_2+3e_3\right)=0A(e_1)+2A(e_2)+3A(e_3)$$
   解释

   将每个基向量替换为其在 A 下的像，并提取标量系数。

   步骤依据

   使用课程解释的列向量取像规则和线性性质。

   视频直接表达
5. 公式

   $$A(e_1)=\begin{bmatrix}-3\\-3\\3\end{bmatrix},\quad A(e_2)=\begin{bmatrix}0\\-2\\3\end{bmatrix},\quad A(e_3)=\begin{bmatrix}0\\-4\\1\end{bmatrix}$$
   解释

   所需的像是 A 的列，因此计算可以从显示的矩阵 A 继续。

   步骤依据

   依据已显示的A所作的补充计算；同一完整视频在后续实际展开该计算。

   补充解释
6. 公式

   $$0\begin{bmatrix}-3\\-3\\3\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}0\\-2\\3\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}0\\-4\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-16\\9\end{bmatrix}$$
   解释

   将所述方法完成计算得出缺失的中间列。

   步骤依据

   依据已显示的A所作的补充计算；同一完整视频在后续实际展开该计算。

   补充解释

此前段确立对列向量取像的计算准备。本条目补充向后展开计算，得到[0,-16,9]^T；后续时间段实际算出并显示同一中间列。

1. 声音
   观察依据

   计算用对应输入坐标给A的各列加权，然后把向量相加。

2. 公式
   观察依据

   计算过程显示为 0*[-3,-3,3] + 2*[0,-2,3] + 3*[0,-4,1]，简化后得到 [0, -16, 9]。

1. 公式

   $$0 \cdot \begin{bmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} + 3 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}$$
   解释

   将变换 A 应用于 B 的第二列 [0, 2, 3]。这是通过以 B 第二列的元素作为系数，对 A 的各列进行线性组合来完成的。

   步骤依据

   矩阵-向量乘法的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -4 \\ 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -12 \\ 3 \end{bmatrix}$$
   解释

   计算每一项的标量乘法。

   步骤依据

   向量的标量乘法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\begin{bmatrix} 0+0+0 \\ 0-4-12 \\ 0+6+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -16 \\ 9 \end{bmatrix}$$
   解释

   将得到的向量按分量相加，得到最终的列向量。

   步骤依据

   向量加法。

   视频直接表达

矩阵 A o B 的第二列是 [0, -16, 9]。

1. 公式
   观察依据

   问题显示为 A=[[-3,0,0],[-3,-2,-4],[3,3,1]], B=[[-2,0,-2],[-3,2,4],[2,3,-4]], 且 A∘B=[[6,_,6],[4,_,14],[-13,_,2]]。

2. 声音
   观察依据

   题目要求求出复合矩阵中尚未填入的一列。

1. 在本条目的前段时间范围内：示例仅在片段中设置；最终中间列条目未在结束前写出。 完整视频的后续部分继续代入并算出数值和。

给定两个 3×3 矩阵 A 和 B 以及一个部分完成的 A∘B 矩阵，其中第一列和第三列已填充，确定缺失的中间列。

1. $A=\begin{bmatrix}-3&0&0\\-3&-2&-4\\3&3&1\end{bmatrix}$

2. $B=\begin{bmatrix}-2&0&-2\\-3&2&4\\2&3&-4\end{bmatrix}$

3. $A\circ B=\begin{bmatrix}6&-&6\\4&-&14\\-13&-&2\end{bmatrix}$

计算 A∘B 的中间列。

1. 公式

   $$(A\circ B)_{:,2}=A\left(B_{:,2}\right)$$
   解释

   使用复合的逐列解释。

   步骤依据

   使用课程解释的列向量取像规则和线性性质。

   视频直接表达
2. 公式

   $$B_{:,2}=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix}$$
   解释

   从显示的矩阵读取 B 的中间列。

   步骤依据

   从 B 直接视觉提取。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix}=0\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$$
   解释

   将输入向量分解为标准基向量。

   步骤依据

   写在黑板上并在音频中解释。

   视频直接表达
4. 公式

   $$A\left(\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix}\right)=0A\left(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\right)+2A\left(\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\right)+3A\left(\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right)$$
   解释

   对每个基向量分量应用 A。

   步骤依据

   使用课程解释的列向量取像规则和线性性质。

   视频直接表达
5. 公式

   $$=\begin{bmatrix}0\\-16\\9\end{bmatrix}$$
   解释

   如果使用 A 的列继续计算，缺失的中间列评估为此向量。

   步骤依据

   依据已显示的A所作的补充计算；同一完整视频在后续实际展开该计算。

   补充解释

补充预览结果：中间列为$\begin{bmatrix}0\\-16\\9\end{bmatrix}$。完整视频的后续部分在屏幕上完成这一计算。

将完成的中间列代入 A∘B 并检查它是否等于 A 乘以 B 的中间列；或者，使用显示的 A 和 B 验证完整乘积 AB。

1. 公式
   观察依据

   完整的示例展示了如何通过用 A 变换 B 的每一列来计算 A o B。第一列和第三列已预先填好，第二列在片段中计算得出。

给定矩阵 A = [[-3, 0, 0], [-3, -2, -4], [3, 3, 1]] 和 B = [[-2, 0, -2], [-3, 2, 4], [2, 3, -4]]，求复合变换 A o B 的矩阵。

1. 提供了矩阵 A。

2. 提供了矩阵 B。

3. A o B 的第一列已计算为 [6, 4, -13]。

4. A o B 的第三列已计算为 [6, 14, 2]。

计算矩阵 A o B 的第二列。

1. 公式

   $$A \mathbf{b}_2 = 0 \cdot \mathbf{a}_1 + 2 \cdot \mathbf{a}_2 + 3 \cdot \mathbf{a}_3$$
   解释

   识别出 B 的第二列为 [0, 2, 3]，并将变换表示为 A 的各列的线性组合。

   步骤依据

   通过列变换进行矩阵复合的方法。

   视频直接表达
2. 公式

   $$0 \cdot \begin{bmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} + 3 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}$$
   解释

   将矩阵 A 的实际列向量代入线性组合中。

   步骤依据

   代入法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\begin{bmatrix} 0 \\ -4 \\ 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -12 \\ 3 \end{bmatrix}$$
   解释

   执行标量乘法。第一项变为零向量，可以省略。

   步骤依据

   标量乘法及零向量的性质。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\begin{bmatrix} 0 \\ -16 \\ 9 \end{bmatrix}$$
   解释

   将两个结果向量相加，得到最终的第二列。

   步骤依据

   向量加法。

   视频直接表达

A o B 的第二列是 [0, -16, 9]。完整矩阵为 [[6, 0, 6], [4, -16, 14], [-13, 9, 2]]。

将结果填入预先绘制的 A o B 矩阵结构中，完成示例。

1. 图示
   观察依据

   黑色背景显示三个手写矩阵：左上角白色的 A，右上角红色的 B，以及左下角白色的 A∘B，其中间列占位符为空白。

2. 动画
   观察依据

   黄色指针点在 A、B 和空白中间列之间移动，同时演讲者介绍问题。

1. 矩阵 A

2. 矩阵 B

3. 部分矩阵 A∘B

4. 黄色指针点

1. 指针将注意力从 A 和 B 转移到 A∘B 的空白中间列。

1. A 和 B 的条目保持不变。

2. A∘B 的第一列和第三列保持可见，而中间列保持空白。

视觉布局确立了任务：从给定矩阵推断复合变换矩阵缺失的中间列。

1. 动画
   观察依据

   围绕 B 的第一列画了一个紫色椭圆，然后围绕 A∘B 的第一列画了一个。

2. 动画
   观察依据

   围绕 B 的第三列画了一个橙色椭圆，然后围绕 A∘B 的第三列画了一个。

3. 动画
   观察依据

   围绕 B 的中间列画了一个红色椭圆。

1. B 的第一列

2. B 的第三列

3. B 的中间列

4. A∘B 的第一列

5. A∘B 的第三列

6. 紫色椭圆

7. 橙色椭圆

8. 红色椭圆

1. 匹配的列按颜色分组以显示对应关系。

2. 注意力从已知列转移到未知的中间列。

1. 矩阵内的数值条目不变。

2. 列的顺序保持为第一、中间、第三。

动画明确了规则：A∘B 的每一列都是通过对 B 的对应列应用 A 获得的。

1. 公式
   观察依据

   在矩阵右侧，演讲者写下 0[1,0,0]^T + 2[0,1,0]^T + 3[0,0,1]^T。

2. 动画
   观察依据

   黄色指针悬停在新添加的基向量项上。

1. 在本条目的前段时间范围内：在片段结束前没有出现进一步的 A(e_i) 书面替换。 完整视频的后续部分继续代入并算出数值和。

1. 隐式引用的向量 [0,2,3]^T

2. 标准基向量 [1,0,0]^T, [0,1,0]^T, [0,0,1]^T

3. 标量系数 0, 2, 3

1. 单个列向量被替换为基向量的显式线性组合。

1. 表示的向量保持为 [0,2,3]^T。

2. 矩阵 A、B 和 A∘B 留在黑板左侧。

这一视觉步骤为应用线性做准备：分别变换每个基方向并使用相同的系数重新组合。

1. 动画
   观察依据

   彩色圆圈（红色、紫色、黄色）出现在矩阵 A 的列和相应的标准基向量周围，然后移动以高亮显示矩阵 B 的列。

1. 矩阵 A

2. 矩阵 B

3. 标准基向量

4. 彩色圆圈

1. 圆圈从高亮标准基向量移动到高亮矩阵 B 的列。

1. 矩阵 A 和 B 在板上保持静止。

这一视觉辅助演示了通过对基向量应用变换来寻找变换矩阵的方法，在这里被推广为通过对矩阵 B 的列应用变换 A 来实现。

1. 动画
   观察依据

   讲解者写出 A o B 第二列的线性组合，执行标量乘法并相加结果，填入最终数值。

1. 手写方程

2. 向量

3. 矩阵 A o B

1. 方程依次写出。

2. 数值被计算并填入矩阵 A o B。

1. 矩阵 A 和 B 的初始设置保持可见。

此事件展示了计算复合矩阵某一列的分步算术过程。

1. 声音
   观察依据

   讲解明确此记号中右侧变换先作用。

人们可能认为 A∘B 意味着先应用 A 然后应用 B，因为 A 写在前面。

在此片段中，A∘B 定义为先应用 B 然后应用 A，因此最右边的变换先作用。

1. 声音
   观察依据

   将各分量重新相加前，要先把基方向替换为变换后的像。

在将向量写为标准基向量的组合后，人们可能错误地保持基向量不变，只乘以系数。

正确的下一步是将每个基向量 e_i 替换为 A(e_i)，然后使用相同的标量系数重新组合。

1. 声音
   观察依据

   既定的复合顺序导出对列向量取像的构造。

2. 动画
   观察依据

   在引入复合顺序后立即突出显示列配对。

将复合定义为“先 B，后 A”被应用于获得实用规则：A∘B 的每一列是对 B 的对应列应用 A。

1. 声音
   观察依据

   随后将需要变换的输入列展开为坐标方向的组合。

2. 公式
   观察依据

   分解出现在讨论对中间列应用 A 之后。

为了计算对特定列应用 A，片段将问题简化为变换标准基方向并重新组合它们。

1. 声音
   观察依据

   重新组合时保留每个系数，并变换它对应的基方向。

1. 在本条目的前段时间范围内：在此摘录中没有明确说出“线性”这个词。 完整视频的后续部分继续代入并算出数值和。

从基分解到变换每一项的步骤依赖于 A 的线性行为，尽管片段陈述了程序而不是命名该属性。

1. 声音
   观察依据

   讲解比较矩阵的基向量像与复合所需的列向量输入。

通过对标准基向量应用变换来寻找变换矩阵的方法，被推广为通过对矩阵 B 的列应用 A 来寻找复合变换 A o B。

1. 声音
   观察依据

   讲解明确两个变换的作用顺序。

1. A ∘ B 的复合顺序

1. 声音
   观察依据

   构造通过对输入列取像获得结果列。

2. 动画
   观察依据

   对应的列用匹配的颜色圈出。

1. A∘B 的列来自对 B 的列应用 A

1. 公式
   观察依据

   向量 [0,2,3]^T 被重写为 0e_1+2e_2+3e_3。

2. 声音
   观察依据

   讲解利用变换后的坐标方向完成计算。

1. 用标准基向量书写向量
2. 先变换基方向，再重新组合

1. 声音
   观察依据

   此处已完成方法准备，后续部分继续进行算术计算。

2. 公式
   观察依据

   显示的 A 包含继续计算所需的列。

1. 在本条目的前段时间范围内：此答案未在片段中显示；它是通过继续显示的方法获得的。 完整视频的后续部分继续代入并算出数值和。

1. A∘B 的列来自对 B 的列应用 A
2. 先变换基方向，再重新组合

1. 声音
   观察依据

   后续例题演示对列向量取像的方法。

1. 通过列变换进行矩阵复合
2. 计算两个 3x3 矩阵的复合

1. 声音
   观察依据

   复合把B的输出作为A的输入。

1. 通过列变换进行矩阵复合
2. s109-cr-basis-to-columns