你想弄懂什么？

要构造 3x3 矩阵，需观察三个标准基向量（$\hat{i}$、$\hat{j}$ 和 $\hat{k}$）在变换后落在哪里。将这些变换后向量的最终坐标记录为列向量。

适用条件：在三维笛卡尔空间中工作。；变换是线性的。

原点保持不变是因为线性要求 $T(av+bw)=aT(v)+bT(w)$。如果我们设 $v=0$ 和 $w=0$（或者简单地考虑零向量），$T(0) = T(0\cdot v) = 0\cdot T(v) = 0$。

适用条件：变换是线性的。；将线性定义应用于零向量。

从几何上看，$2\times 2$ 矩阵的行列式代表线性变换缩放面积的比例因子。具体来说，它是由矩阵列向量形成的平行四边形的有符号面积。

适用条件：矩阵为 $2\times 2$。；变换是线性的。；在标准正交坐标中使用普通欧几里得面积。

矩阵-向量乘法被重新构想为：使用输入向量的分量缩放变换后的基向量（即矩阵的列），然后将它们相加。这在矩阵定义的倾斜坐标系中构建了最终位置，而不仅仅是遵循繁琐的算术配方。

适用条件：输入和输出坐标使用固定的标准基。；矩阵表示移动向量的主动线性映射。

我们创建一个 $2 \times 2$ 矩阵，其中第一列记录 $\hat{i}$ 落在哪里的坐标，第二列记录 $\hat{j}$ 落在哪里的坐标。这个矩阵完整地表示了线性变换。

适用条件：在二维空间中工作。；知道 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 的像。

复合矩阵 $A \circ B$ 的第 j 列是 B 的第 j 列在 A 下的像。要找到缺失列，需识别 B 中的对应列，将其视为输入向量，并对它应用变换 A。

适用条件：A 是由矩阵表示的线性变换。；列被读取为 A 定义域中的向量。

如果变换矩阵的列线性相关，这意味着变换将空间压缩到更低的维度。例如，二维平面可能会被压扁成一维直线或一个点。

适用条件：矩阵表示线性变换。；列是线性相关的。

矩阵表示为 $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。在这个变换中，标准基向量 $\hat{i}$ 保持在 $[1, 0]^T$ 不变，而 $\hat{j}$ 沿对角线滑动到 $[1, 1]^T$。

适用条件：水平剪切保持 $\hat{i}$ 固定。；$\hat{j}$ 沿对角线滑动到 $[1, 1]^T$。

要找到变换后区域的面积，需将原始面积乘以变换矩阵行列式的绝对值。公式为：$\text{新面积} = \text{旧面积} \cdot |\det(A)|$。

适用条件：变换是线性的并由 $2\times 2$ 矩阵表示。；原始面积已知。；在标准正交坐标中使用普通欧几里得面积。

当相乘两个矩阵 $A$ 和 $B$ 形成 $AB$ 时，最右边的矩阵 $B$ 所代表的变换首先作用于初始空间，随后是最左边的矩阵 $A$ 作用于已经变换过的结果。

适用条件：执行矩阵乘法 $AB$；矩阵代表线性空间变换；向量被视为列向量

三维线性变换完全由跟踪标准基向量（$\hat{i}$、$\hat{j}$ 和 $\hat{k}$）落点的位置决定。这三个变换后向量的坐标被记录为列向量，从而形成一个 3x3 矩阵。

适用条件：在三维笛卡尔空间中工作；使用沿 x、y 和 z 轴对齐的标准基向量；变换是线性的（保持网格线平行且间距均匀，并固定原点）

有效的线性变换保持网格线笔直、平行且间距均匀。非线性扭曲涉及这些线的弯曲或卷曲。

适用条件：观察二维坐标网格的运动。；检查线的笔直性、平行性和等距性。