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定积分是通过取划分数量 $n$ 趋于无穷大时黎曼和的极限得到的。当 $n \to \infty$ 时，每个子区间的宽度 $\frac{1}{n}$ 趋于零，矩形面积之和收敛于曲线下方的精确面积。

适用条件：函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是黎曼可积的。；划分是均匀的，有 $n$ 个子区间。；取 $n \to \infty$ 的极限。

定积分是通过取划分数量 $n$ 趋于无穷大时黎曼和的极限得到的。当 $n \to \infty$ 时，每个子区间的宽度 $\frac{1}{n}$ 趋于零，矩形面积之和收敛于曲线下方的精确面积。

适用条件：函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是黎曼可积的。；划分是均匀的，有 $n$ 个子区间。；取 $n \to \infty$ 的极限。

通过将底面区域均匀划分为小矩形网格，并在每个单元格上构建垂直的长方体来近似体积。每个长方体的高度对应于采样点处的曲面值，这些长方体体积的总和构成了真实体积的粗略近似。

适用条件：底面区域是一个闭合的平面区域 D。；曲面是光滑且向上凸起的。；网格划分是均匀的。

通过将底面区域均匀划分为小矩形网格，并在每个单元格上构建垂直的长方体来近似体积。每个长方体的高度对应于采样点处的曲面值，这些长方体体积的总和构成了真实体积的粗略近似。

适用条件：底面区域是一个闭合的平面区域 D。；曲面是光滑且向上凸起的。；网格划分是均匀的。

证明分为四个步骤：将区域 D 划分为小矩形，利用泰勒展开近似单个矩形上的线积分，对这些积分求和使得内部边界相互抵消，最后取网格尺寸趋于零的极限以导出旋度的二重积分。

适用条件：区域 D 是一个闭合的平面区域。；函数 P 和 Q 在 D 附近具有连续的一阶偏导数。；边界 L 是分片光滑的。

证明分为四个步骤：将区域 D 划分为小矩形，利用泰勒展开近似单个矩形上的线积分，对这些积分求和使得内部边界相互抵消，最后取网格尺寸趋于零的极限以导出旋度的二重积分。

适用条件：区域 D 是一个闭合的平面区域。；函数 P 和 Q 在 D 附近具有连续的一阶偏导数。；边界 L 是分片光滑的。

通过将底面区域 $D$ 划分为小的矩形网格来近似体积。在每个网格单元上，构建一个垂直的长方体棱柱，其高度等于该单元格内样本点处的函数值 $f(\xi_i, \eta_i)$。

适用条件：立体上方由光滑曲面 $z=f(x,y)$ 界定，下方由平面区域 $D$ 界定。；底面区域 $D$ 被均匀划分为微小的矩形网格。；$\Delta\sigma_i$ 表示第 $i$ 个子区域的面积。；$(\xi_i, \eta_i)$ 是在第 $i$ 个子区域内选择的样本点。

通过将底面区域 $D$ 划分为小的矩形网格来近似体积。在每个网格单元上，构建一个垂直的长方体棱柱，其高度等于该单元格内样本点处的函数值 $f(\xi_i, \eta_i)$。

适用条件：立体上方由光滑曲面 $z=f(x,y)$ 界定，下方由平面区域 $D$ 界定。；底面区域 $D$ 被均匀划分为微小的矩形网格。；$\Delta\sigma_i$ 表示第 $i$ 个子区域的面积。；$(\xi_i, \eta_i)$ 是在第 $i$ 个子区域内选择的样本点。

曲面的通量可以通过将其划分为小矩形块来近似。如果块足够小，它就近似于一个平坦的平面段，在该段上法向量和场都保持有效恒定。

适用条件：表面是弯曲的。；表面被划分为小矩形块。；块足够小以近似平坦平面。

曲面的通量可以通过将其划分为小矩形块来近似。如果块足够小，它就近似于一个平坦的平面段，在该段上法向量和场都保持有效恒定。

适用条件：表面是弯曲的。；表面被划分为小矩形块。；块足够小以近似平坦平面。