你想弄懂什么？

$\sqrt{x}$ 的原函数是 $\frac{2}{3}x^{3/2}$。这是通过将 $\sqrt{x}$ 重写为 $x^{1/2}$ 并应用积分的幂法则得到的，该法则指出对于 $n \neq -1$，$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$。

适用条件：函数是 $\sqrt{x}$。；应用了积分的幂法则。；指数 $n = 1/2$。

$\sqrt{x}$ 的原函数是 $\frac{2}{3}x^{3/2}$。这是通过将 $\sqrt{x}$ 重写为 $x^{1/2}$ 并应用积分的幂法则得到的，该法则指出对于 $n \neq -1$，$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$。

适用条件：函数是 $\sqrt{x}$。；应用了积分的幂法则。；指数 $n = 1/2$。

对于关于形心 y 轴的特定阴影区域，面积惯性矩 $I_y$ 的最终数值约为 $0.762 \text{ m}^4$。该值是通过计算定积分 $\int_0^2 x^2 (2 - \sqrt{2} x^{1/2}) dx$ 得到的，该积分简化为 $\frac{2^4}{3} - \sqrt{2} \left(\frac{2}{7}\right) 2^{3.5}$。

适用条件：区域由 $y = 2$（顶部）和 $y = \sqrt{2} x^{1/2}$（底部）从 $x=0$ 到 $x=2$ 界定。；轴是形心 y 轴。；单位为米。

对于关于形心 y 轴的特定阴影区域，面积惯性矩 $I_y$ 的最终数值约为 $0.762 \text{ m}^4$。该值是通过计算定积分 $\int_0^2 x^2 (2 - \sqrt{2} x^{1/2}) dx$ 得到的，该积分简化为 $\frac{2^4}{3} - \sqrt{2} \left(\frac{2}{7}\right) 2^{3.5}$。

适用条件：区域由 $y = 2$（顶部）和 $y = \sqrt{2} x^{1/2}$（底部）从 $x=0$ 到 $x=2$ 界定。；轴是形心 y 轴。；单位为米。

最终值是 $2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$。这是通过在转换后的限 $x=3$ 和 $x=2$ 处求值原函数 $\frac{2}{3}x^{3/2}$ 并相减得到的。

适用条件：积分是 $\int_0^{\ln 2} e^u \sqrt{1+e^u} du$。；使用换元 $x = 1 + e^u$。；积分限转换为 2 和 3。；原函数是 $\frac{2}{3}x^{3/2}$。

最终值是 $2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$。这是通过在转换后的限 $x=3$ 和 $x=2$ 处求值原函数 $\frac{2}{3}x^{3/2}$ 并相减得到的。

适用条件：积分是 $\int_0^{\ln 2} e^u \sqrt{1+e^u} du$。；使用换元 $x = 1 + e^u$。；积分限转换为 2 和 3。；原函数是 $\frac{2}{3}x^{3/2}$。

记号 $\frac{d}{dx}f(-2)$ 表示专门在水平输入坐标 $x = -2$ 处计算函数 $f$ 的导数。它指的是在该确切横坐标处图的切线的瞬时斜率，而不是指输出或函数值恰好为 $-2$ 的点。

适用条件：该表达式评估应用于函数 $f$ 的导数算子。；括号内的参数严格是自变量（输入 $x$）。

记号 $\frac{d}{dx}f(-2)$ 表示专门在水平输入坐标 $x = -2$ 处计算函数 $f$ 的导数。它指的是在该确切横坐标处图的切线的瞬时斜率，而不是指输出或函数值恰好为 $-2$ 的点。

适用条件：该表达式评估应用于函数 $f$ 的导数算子。；括号内的参数严格是自变量（输入 $x$）。