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关于「如何推导 φ(p^k) = p^k − p^{k−1}?」

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认识概念

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欧拉函数的一般公式是 φ(n)=n∏i=1m(1−1pi)\varphi(n) = n \prod_{i=1}^{m} \left(1 - \frac{1}{p_i}\right),其中 p1,p2,…,pmp_1, p_2, \ldots, p_m 是 nn 的不同质因数。该公式是通过结合 φ\varphi 的积性、质数幂公式 φ(pk)=pk−pk−1\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} 以及算术基本定理推导出来的。

适用条件:nn 是大于 1 的正整数。;p1,…,pmp_1, \ldots, p_m 是 nn 的所有不同质因数。