你想弄懂什么？

最后一个非零余数 $r_n$ 是 $\gcd(a,b)$，因为欧几里得算法在每一步都保持最大公约数不变：$\gcd(a,b) = \gcd(b,r_1) = \gcd(r_1,r_2) = \dots = \gcd(r_n, 0)$。由于任何数都能整除 0，$r_n$ 和 0 的最大公约数就是 $r_n$ 本身。

适用条件：当余数为 0 时算法终止。；$r_n$ 是序列中的最后一个非零余数。

最后一个非零余数 $r_n$ 是 $\gcd(a,b)$，因为欧几里得算法在每一步都保持最大公约数不变：$\gcd(a,b) = \gcd(b,r_1) = \gcd(r_1,r_2) = \dots = \gcd(r_n, 0)$。由于任何数都能整除 0，$r_n$ 和 0 的最大公约数就是 $r_n$ 本身。

适用条件：当余数为 0 时算法终止。；$r_n$ 是序列中的最后一个非零余数。

这段 C++ 代码在循环结束后返回 `b` 而不是 `r`，因为循环条件是 `$r > 0$`。当循环终止时，`r` 已经变成了 0，这不是最大公约数。

适用条件：循环条件是 `while ($r > 0$)`。；变量 `a`、`b` 和 `r` 在循环内按 `$a = b$; $b = r$; $r = a$ % b;` 更新。

这段 C++ 代码在循环结束后返回 `b` 而不是 `r`，因为循环条件是 `$r > 0$`。当循环终止时，`r` 已经变成了 0，这不是最大公约数。

适用条件：循环条件是 `while ($r > 0$)`。；变量 `a`、`b` 和 `r` 在循环内按 `$a = b$; $b = r$; $r = a$ % b;` 更新。

将 $\gcd(a,b)$ 改为 $\gcd(b,r_1)$ 会使问题规模变小，因为余数 $r_1$ 严格小于除数 $b$。通过将较大的数 $a$ 替换为较小的余数 $r_1$，最大公约数函数的输入大小在每次迭代中都会减小。

适用条件：整数 $a$ 和 $b$ 满足 $a \ge b > 0$。；余数 $r_1$ 满足 $0 \le r_1 < b$。

将 $\gcd(a,b)$ 改为 $\gcd(b,r_1)$ 会使问题规模变小，因为余数 $r_1$ 严格小于除数 $b$。通过将较大的数 $a$ 替换为较小的余数 $r_1$，最大公约数函数的输入大小在每次迭代中都会减小。

适用条件：整数 $a$ 和 $b$ 满足 $a \ge b > 0$。；余数 $r_1$ 满足 $0 \le r_1 < b$。