为什么最后一个非零余数 $r_n$ 是 $\gcd(a,b)$？

欧几里得算法将旧的除数移到左边（新的被除数），将旧的余数移到较小数的位置（新的除数），以递归地简化问题。这种移位确保随后的每个除法步骤都在更小的数字上进行，同时保持原始数对的最大公约数，直到达到余数为零为止。

适用条件：算法应用于两个正整数。；前一个余数不为零。；过程持续直到获得余数 0。

要形成下一个除法行，你取前一行的除数，并将其作为新行的被除数。然后，你取前一行的余数，并将其作为新行的除数。

适用条件：你刚刚完成了欧几里得算法中的一个除法步骤。；前一个余数不为 0。

要开始求 $\gcd(10,45)$ 的欧几里得算法，需将较大的数写成较小的数乘以一个未知的商加上一个未知的余数。具体来说，建立除法方程 $45 = 10 \cdot q + r$。

适用条件：输入是正整数。；较大的数放在方程的左边。；商是整数，且余数满足 $0 \le r < 10$。

要求两个大数的最大公约数，需反复应用带余数除法步骤。首先用较大的数除以较小的数。

适用条件：输入是两个正整数。；每一步都应用除法算法。；当余数等于 0 时停止过程。

欧几里得算法的核心变换是将求 $\gcd(a,b)$ 的问题替换为求 $\gcd(b, a \bmod b)$，其中 $a \bmod b$ 是 $a$ 除以 $b$ 的余数。这在保持最大公约数不变的同时减小了问题规模。

适用条件：整数 $a$ 和 $b$ 满足 $a \ge b > 0$。；余数 $a \bmod b$ 严格小于 $b$。