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连续性确保了当区间宽度 $h$ 趋近于零时，$f$ 在 $[x, x+h]$ 上的平均值收敛于瞬时值 $f(x)$。如果没有连续性，局部行为可能会剧烈振荡或有跳跃，阻止差商的极限稳定在一个单一且明确定义的值 $f(x)$ 上。

适用条件：$A(x) = \int_a^x f(t) dt$；$f$ 在 $x$ 处连续

连续性确保了当区间宽度 $h$ 趋近于零时，$f$ 在 $[x, x+h]$ 上的平均值收敛于瞬时值 $f(x)$。如果没有连续性，局部行为可能会剧烈振荡或有跳跃，阻止差商的极限稳定在一个单一且明确定义的值 $f(x)$ 上。

适用条件：$A(x) = \int_a^x f(t) dt$；$f$ 在 $x$ 处连续

正规方程的解被认为是最小二乘解，因为它满足了最小化残差范数 $\|\vec{b} - A\vec{x}\|$ 的充要条件。推导表明，最小化该范数等价于要求残差 $A\vec{x}^* - \vec{b}$ 正交于列空间 $C(A)$。

适用条件：原始系统 $A\vec{x}=\vec{b}$ 可能不相容；$A^T A \vec{x}^* = A^T \vec{b}$ 有解

正规方程的解被认为是最小二乘解，因为它满足了最小化残差范数 $\|\vec{b} - A\vec{x}\|$ 的充要条件。推导表明，最小化该范数等价于要求残差 $A\vec{x}^* - \vec{b}$ 正交于列空间 $C(A)$。

适用条件：原始系统 $A\vec{x}=\vec{b}$ 可能不相容；$A^T A \vec{x}^* = A^T \vec{b}$ 有解

函数 $\sin(1/x)$ 在 $x \to 0$ 时没有极限，因为可以构造两个趋近于 0 的数列，其函数值分别在 1 和 -1 之间振荡，违反了所有数列必须收敛于同一极限的要求。

适用条件：在考虑极限时，定义域排除 $x=0$。；数列必须由函数有定义的点组成。；聚点是 $x_0 = 0$。

函数 $\sin(1/x)$ 在 $x \to 0$ 时没有极限，因为可以构造两个趋近于 0 的数列，其函数值分别在 1 和 -1 之间振荡，违反了所有数列必须收敛于同一极限的要求。

适用条件：在考虑极限时，定义域排除 $x=0$。；数列必须由函数有定义的点组成。；聚点是 $x_0 = 0$。

交点代表迭代的不动点，即输入等于平均过程的输出。数学上，在交点处，恒等函数 $f(x)=x$ 的值等于反比例函数 $g(x)=a/x$ 的值。

适用条件：常数 $a > 0$。；变量 $x > 0$。；函数为 $f(x) = x$ 和 $g(x) = a/x$。

交点代表迭代的不动点，即输入等于平均过程的输出。数学上，在交点处，恒等函数 $f(x)=x$ 的值等于反比例函数 $g(x)=a/x$ 的值。

适用条件：常数 $a > 0$。；变量 $x > 0$。；函数为 $f(x) = x$ 和 $g(x) = a/x$。

定义要求 $x \neq a$（表示为 $0 < |x - a|$），因为极限描述的是函数*趋近于*点 $a$ 时的行为，而不是它在点 $a$ *处*的值。函数可能在 $x = a$ 处未定义，或者其值 $f(a)$ 可能与极限 $L$ 不同。

适用条件：极限关注的是 $f(x)$ 在 $a$ 附近的趋势。；$f(a)$ 在 $a$ 处可能未定义或不连续。

定义要求 $x \neq a$（表示为 $0 < |x - a|$），因为极限描述的是函数*趋近于*点 $a$ 时的行为，而不是它在点 $a$ *处*的值。函数可能在 $x = a$ 处未定义，或者其值 $f(a)$ 可能与极限 $L$ 不同。

适用条件：极限关注的是 $f(x)$ 在 $a$ 附近的趋势。；$f(a)$ 在 $a$ 处可能未定义或不连续。

奇对称意味着 $f(-x) = -f(x)$。余弦函数是偶函数（$\cos(-x) = \cos(x)$），常数项也是偶函数。

适用条件：函数是以 $2\pi$ 为周期的周期函数。；函数几乎处处满足 $f(-x) = -f(x)$。

奇对称意味着 $f(-x) = -f(x)$。余弦函数是偶函数（$\cos(-x) = \cos(x)$），常数项也是偶函数。

适用条件：函数是以 $2\pi$ 为周期的周期函数。；函数几乎处处满足 $f(-x) = -f(x)$。