为什么 epsilon-delta 定义要求 x 不等于 a？

适用条件

• 极限关注的是 $f(x)$ 在 $a$ 附近的趋势。
• $f(a)$ 在 $a$ 处可能未定义或不连续。

理解与推导

1. 认识到极限 $L$ 是当 $x \to a$ 时 $f(x)$ 趋近的值。
2. 理解实际值 $f(a)$ 与极限的存在性或值无关。
3. 应用条件 $0 < |x - a|$ 将定义域限制在 $a$ 的去心邻域。
4. 得出该排除允许即使函数在 $a$ 处有孔或跳跃，极限仍可存在的结论。

例子

演讲者明确指出，“我唯一不能向你保证的是当 x 等于 a 时会发生什么。”黑板上显示了条件 $0<|x-a|<\delta$，这在数学上强制了 $x \neq a$。

容易误解的地方

• 认为极限取决于函数在 $x = a$ 处的确切值。
• 认为函数必须在 $a$ 处有定义极限才存在。
• 混淆函数的极限与其在某点的连续性。

观看对应讲解

继续追问

• 如果函数在该点未定义，极限还能存在吗？
• 带有孔的函数图像如何说明这一概念？
• 极限和连续性有什么区别？