你想弄懂什么？

仅测试连续项是不够的，因为柯西条件要求*每一对*足够靠后的项都彼此接近，而不仅仅是相邻的项。一个数列可以有趋于零的连续差，但仍然发散或在长区间上无法紧密聚集。

适用条件：数列定义在实数上。；条件检查 $|a_{n+1} - a_n| \to 0$。；柯西条件要求 $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall m, n > N: |a_m - a_n| < \varepsilon$。

仅测试连续项是不够的，因为柯西条件要求*每一对*足够靠后的项都彼此接近，而不仅仅是相邻的项。一个数列可以有趋于零的连续差，但仍然发散或在长区间上无法紧密聚集。

适用条件：数列定义在实数上。；条件检查 $|a_{n+1} - a_n| \to 0$。；柯西条件要求 $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall m, n > N: |a_m - a_n| < \varepsilon$。

有限动画只能显示有限数量的项和一个特定的容差 $\varepsilon$。然而，柯西条件是一个全称陈述：它必须对*每一个*正 $\varepsilon$ 和某个 $N$ 之后的*每一对*索引都成立。

适用条件：动画显示了有限数量的数列项。；动画使用了特定的、固定的容差 $\varepsilon$。；柯西条件要求 $\forall \varepsilon > 0$ 和 $\forall m, n > N$。

有限动画只能显示有限数量的项和一个特定的容差 $\varepsilon$。然而，柯西条件是一个全称陈述：它必须对*每一个*正 $\varepsilon$ 和某个 $N$ 之后的*每一对*索引都成立。

适用条件：动画显示了有限数量的数列项。；动画使用了特定的、固定的容差 $\varepsilon$。；柯西条件要求 $\forall \varepsilon > 0$ 和 $\forall m, n > N$。