为什么仅测试连续项对于柯西条件是不够的？

仅测试连续项是不够的，因为柯西条件要求*每一对*足够靠后的项都彼此接近，而不仅仅是相邻的项。一个数列可以有趋于零的连续差，但仍然发散或在长区间上无法紧密聚集。经典的反例是数列

a_n = \log n

，其中当

n \to \infty

时

|a_{n+1} - a_n| \to 0

，但数列本身发散到无穷大且不是柯西数列。

适用条件

数列定义在实数上。
条件检查 $|a_{n+1} - a_n| \to 0$ 。
柯西条件要求 $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall m, n > N: |a_m - a_n| < \varepsilon$ 。

卡片“连续差是不够的”指出：“例如 log n 的连续差趋于零但发散。柯西条件控制了尾部中的所有对。”

假设如果对于大的 $n$ 有 $|a_{n+1} - a_n| < \varepsilon$ ，那么对于所有 $m, n > N$ 都有 $|a_m - a_n| < \varepsilon$ 。
认为小步长意味着路径在尾部不能远离其起点。