你想弄懂什么？

该例子以 4 结束，是因为反复应用减法规则最终得到 4。首先，$12 - 8 = 4$，形成数对 8 和 4。

适用条件：从数对 12 和 8 开始。；反复用较大的数减去较小的数。

该例子以 4 结束，是因为反复应用减法规则最终得到 4。首先，$12 - 8 = 4$，形成数对 8 和 4。

适用条件：从数对 12 和 8 开始。；反复用较大的数减去较小的数。

严格来说，欧几里得算法的标准停止条件是继续直到余数为 0。然后最后一个非零余数就是最大公约数。

适用条件：输入是自然数。；正在应用欧几里得算法。

严格来说，欧几里得算法的标准停止条件是继续直到余数为 0。然后最后一个非零余数就是最大公约数。

适用条件：输入是自然数。；正在应用欧几里得算法。

要计算 $\gcd(5295, 4321)$，应用欧几里得算法，反复用前一个除数除以前一个余数。从 $5295 = 1 \cdot 4321 + 974$ 开始。

适用条件：输入是 5295 和 4321。；使用欧几里得算法。；每一步都应用除法算法。

要计算 $\gcd(5295, 4321)$，应用欧几里得算法，反复用前一个除数除以前一个余数。从 $5295 = 1 \cdot 4321 + 974$ 开始。

适用条件：输入是 5295 和 4321。；使用欧几里得算法。；每一步都应用除法算法。

令 k 等于 a 除以 b 的下取整，会将项 $a-k\cdot b$ 转换为 a 除以 b 的余数。由于 a mod $b = a$ - floor($a/b$)·b，将其代入递推公式 gcd(a,b)=gcd(b,$a-k\cdot b$) 得到 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，这就是欧几里得算法。

适用条件：k 被设为 floor($a/b$)。；b 不为零（由除法运算隐含，尽管视频中未明确说明）。

令 k 等于 a 除以 b 的下取整，会将项 $a-k\cdot b$ 转换为 a 除以 b 的余数。由于 a mod $b = a$ - floor($a/b$)·b，将其代入递推公式 gcd(a,b)=gcd(b,$a-k\cdot b$) 得到 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，这就是欧几里得算法。

适用条件：k 被设为 floor($a/b$)。；b 不为零（由除法运算隐含，尽管视频中未明确说明）。

一旦新余数为 0，除法就是精确的，这意味着当前的除数能完美整除前一个被除数。算法的终止规则指出，原始数对的最大公约数是最后一个非零余数，也就是这次最终精确除法的除数。

适用条件：欧几里得算法已应用于两个正整数。；一个除法步骤产生了余数 0。；输入是 10 和 45。

一旦新余数为 0，除法就是精确的，这意味着当前的除数能完美整除前一个被除数。算法的终止规则指出，原始数对的最大公约数是最后一个非零余数，也就是这次最终精确除法的除数。

适用条件：欧几里得算法已应用于两个正整数。；一个除法步骤产生了余数 0。；输入是 10 和 45。

在显示的欧几里得算法中，$a$ 和 $b$ 是要找最大公约数的两个初始自然数。$q_i$ 代表第 $i$ 个除法步骤中的商。

适用条件：这些符号来自左板上欧几里得算法的一般陈述。

在显示的欧几里得算法中，$a$ 和 $b$ 是要找最大公约数的两个初始自然数。$q_i$ 代表第 $i$ 个除法步骤中的商。

适用条件：这些符号来自左板上欧几里得算法的一般陈述。

要计算 1785 和 546 的最大公约数，应用欧几里得算法，反复用前一个除数除以前一个余数。从 1785 除以 546 开始。

适用条件：输入是 1785 和 546。；使用欧几里得算法。；每一步都应用除法算法。

要计算 1785 和 546 的最大公约数，应用欧几里得算法，反复用前一个除数除以前一个余数。从 1785 除以 546 开始。

适用条件：输入是 1785 和 546。；使用欧几里得算法。；每一步都应用除法算法。

要开始求 $\gcd(1701, 3768)$ 的欧几里得算法，需将较大的数（3768）放在除法方程的左边，将较小的数（1701）作为除数。写出 $3768 = 1701 \cdot q + r$。

适用条件：输入是正整数。；较大的数首先用在方程的左边。；商是整数，且余数满足 $0 \le r < 1701$。

要开始求 $\gcd(1701, 3768)$ 的欧几里得算法，需将较大的数（3768）放在除法方程的左边，将较小的数（1701）作为除数。写出 $3768 = 1701 \cdot q + r$。

适用条件：输入是正整数。；较大的数首先用在方程的左边。；商是整数，且余数满足 $0 \le r < 1701$。

公因数也能整除差，是因为除法被解释为重复的减法。如果一个数能整除较大的数和较小的数，那么从较大的数中反复减去较小的数，最终留下的差也能被同一个除数整除。

适用条件：例子中有两个数。；所选的除数能以演讲者描述的方式整除。；减法是用较小的数从较大的数中进行的。

公因数也能整除差，是因为除法被解释为重复的减法。如果一个数能整除较大的数和较小的数，那么从较大的数中反复减去较小的数，最终留下的差也能被同一个除数整除。

适用条件：例子中有两个数。；所选的除数能以演讲者描述的方式整除。；减法是用较小的数从较大的数中进行的。

这段 C++ 代码在循环结束后返回 `b` 而不是 `r`，因为循环条件是 `$r > 0$`。当循环终止时，`r` 已经变成了 0，这不是最大公约数。

适用条件：循环条件是 `while ($r > 0$)`。；变量 `a`、`b` 和 `r` 在循环内按 `$a = b$; $b = r$; $r = a$ % b;` 更新。

这段 C++ 代码在循环结束后返回 `b` 而不是 `r`，因为循环条件是 `$r > 0$`。当循环终止时，`r` 已经变成了 0，这不是最大公约数。

适用条件：循环条件是 `while ($r > 0$)`。；变量 `a`、`b` 和 `r` 在循环内按 `$a = b$; $b = r$; $r = a$ % b;` 更新。

递推公式指出，对于任意整数 k，a 和 b 的最大公约数等于 b 和 a 减去 k 乘以 b 的最大公约数。这个恒等式允许将第一个参数替换为原始参数的整数线性组合，同时保持最大公约数不变。

适用条件：a 和 b 是整数。；k 是任意整数。

递推公式指出，对于任意整数 k，a 和 b 的最大公约数等于 b 和 a 减去 k 乘以 b 的最大公约数。这个恒等式允许将第一个参数替换为原始参数的整数线性组合，同时保持最大公约数不变。

适用条件：a 和 b 是整数。；k 是任意整数。

最后一个非零余数 $r_n$ 是 $\gcd(a,b)$，因为欧几里得算法在每一步都保持最大公约数不变：$\gcd(a,b) = \gcd(b,r_1) = \gcd(r_1,r_2) = \dots = \gcd(r_n, 0)$。由于任何数都能整除 0，$r_n$ 和 0 的最大公约数就是 $r_n$ 本身。

适用条件：当余数为 0 时算法终止。；$r_n$ 是序列中的最后一个非零余数。

最后一个非零余数 $r_n$ 是 $\gcd(a,b)$，因为欧几里得算法在每一步都保持最大公约数不变：$\gcd(a,b) = \gcd(b,r_1) = \gcd(r_1,r_2) = \dots = \gcd(r_n, 0)$。由于任何数都能整除 0，$r_n$ 和 0 的最大公约数就是 $r_n$ 本身。

适用条件：当余数为 0 时算法终止。；$r_n$ 是序列中的最后一个非零余数。