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关于「为什么闭区间 [0,1] 在极限点定义下是紧致的？」

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理解原因

区间 [0,1] 是紧致的，因为它的每一个无限子集都有一个留在 [0,1] 内部的极限点。例如，子集 { $1/n$ } 聚集在 0 处，并且由于区间是闭的，0 包含在 [0,1] 中。

适用条件：E 是闭区间 [0,1]。；紧致性由豪斯多夫的极限点定义来判断。；S 是 [0,1] 的无限子集。

掌握方法

豪斯多夫通过要求集合 E 的每一个无限子集 S 都有一个位于 E 内部的极限点来定义紧致性。这防止了无限子集在没有在集合内部聚集的情况下逃逸到无穷远。

适用条件：E 是一个集合。；S 是 E 的任意无限子集 (S ⊂ E)。；极限点必须属于 E。