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关于「如何为该常微分方程获得齐次根 $r=-2$ 和 $r=-1$？」

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理解原因

特解使用 $Ate^{-t}$ 是因为强迫项 $e^{-t}$ 已经是相关齐次方程的解。在待定系数法中，如果强迫函数与齐次解重叠（共振），标准猜测必须乘以 $t$ 以确保线性无关。

适用条件：常微分方程是线性的且具有常系数。；强迫项包含 $e^{-t}$ 。； $r=-1$ 是齐次特征方程的根。