你想弄懂什么？

用于通过欧拉-拉格朗日方程最小化积分 $F$ 的拉格朗日量 $\mathscr{L}$ 是 $\mathscr{L} = g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j$。这是泛函 $F$ 的被积函数。

适用条件：应用于积分 $F$。；$\dot{x}^i$ 和 $\dot{x}^j$ 是关于 $\lambda$ 的导数。；$g_{ij}$ 是度规分量。

用于通过欧拉-拉格朗日方程最小化积分 $F$ 的拉格朗日量 $\mathscr{L}$ 是 $\mathscr{L} = g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j$。这是泛函 $F$ 的被积函数。

适用条件：应用于积分 $F$。；$\dot{x}^i$ 和 $\dot{x}^j$ 是关于 $\lambda$ 的导数。；$g_{ij}$ 是度规分量。

最小化长度泛函 $L$ 被描述为很棘手。当 $\lambda$ 是仿射参数时，最小化更简单的泛函 $F = \int_A^B g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j\,d\lambda$ 等价于最小化 $L$，而且要容易得多。

适用条件：$\lambda$ 必须是仿射参数。；在该条件下，$F$ 被用作 $L$ 的更简单的替代品。

最小化长度泛函 $L$ 被描述为很棘手。当 $\lambda$ 是仿射参数时，最小化更简单的泛函 $F = \int_A^B g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j\,d\lambda$ 等价于最小化 $L$，而且要容易得多。

适用条件：$\lambda$ 必须是仿射参数。；在该条件下，$F$ 被用作 $L$ 的更简单的替代品。