斯托克斯公式演示

在斯托克斯定理中，$S$ 表示特定的选定定向曲面，其边界为 $C$。基平面投影仅是一种视觉辅助，用于帮助可视化几何形状，并不自动代表曲面 $S$ 本身。

适用条件：可视化中包含阴影基区域。；定理指的是具有边界 $C$ 的定向曲面 $S$。

边界方向必须遵循右手定则，以确保沿曲线 $C$ 的行进方向与曲面 $S$ 的选定法向量之间的一致性。如果右手的拇指指向法向量的方向，手指卷曲的方向即为边界曲线的正向行进方向。

适用条件：曲面 $S$ 有一个选定的定向法向量。；边界曲线 $C$ 沿特定方向行进。

斯托克斯公式将向量场 $\vec{F}$ 绕闭合边界曲线 $C$ 的线积分与 $\vec{F}$ 的旋度在曲面 $S$ 上点乘定向单位法向量的曲面积分等同起来。左侧沿边界累积场的切向分量，而右侧在整个曲面上累积旋度的法向分量。

适用条件：曲面 $S$ 是定向的分片光滑曲面。；向量场 $\vec{F}$ 在曲面附近是 $C^1$ 的。；$C$ 的边界方向由 $S$ 的选定法向量通过右手定则诱导。

单个向上的法向箭头是不够的，因为法向量通常在曲面上是变化的。曲面的方向由连续的法向量场定义，而不是恒定方向。

适用条件：曲面 $S$ 是弯曲的（非平面）。；定理要求具有连续法向量场的定向曲面。