高等数学 $1.1(12)$-函数的上界和下界

1. 公式
   观察依据

   画面中写出 $y=f(x)$

2. 声音
   观察依据

   教师说“这儿有一个函数 $y=f(x)$”

$y=f(x)$

所讨论的函数

视频未说明

1. 公式
   观察依据

   画面中写出 $x \in I$

2. 声音
   观察依据

   教师说“这个 I 呢，是它定义域里的一个子区间”

$x \in I$

自变量 x 属于区间 I

I

1. 公式
   观察依据

   画面中写出 $I \subseteq D$

2. 声音
   观察依据

   教师说“这个 I 呢，是它定义域里的一个子区间”

$I \subseteq D$

区间 I 是定义域 D 的子集

视频未说明

1. 公式
   观察依据

   画面中写出实数 $K_1$，并出现 $f(x) \leqslant K_1$

2. 声音
   观察依据

   教师说“如果存在一个实数 $K_1$”

$K_1$

用于界定函数值不超过它的实数，即上界

实数

1. 公式
   观察依据

   画面中写出实数 $K_2$，并出现 $f(x) \geqslant K_2$

2. 声音
   观察依据

   教师说“我们现在呢有一个实数 $K_2$”

$K_2$

用于界定函数值不小于它的实数，即下界

实数

1. 图示
   观察依据

   坐标系横轴上标出 a、b，区间 I 位于 a 与 b 之间

2. 声音
   观察依据

   教师说“区间 ab 的图形我把它画出来”

1. 视频未明确说明 a、b 与 I 的端点是否严格等同，仅从图示看 I 位于 a、b 之间

a,b

图示中区间 I 所在的横轴范围端点标记

实数

1. 公式
   观察依据

   画面中多次出现 $y=f(x)$

$f(x)$

函数表达式

实数集上的函数

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 $x \in I$

I

自变量的取值区间

实数区间

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 $I \subseteq D$

D

函数的定义域

实数集的子集

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 $f(x) \le K_1$

$K_1$

函数的上界常数

实数

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 $f(x) \ge K_2$

$K_2$

函数的下界常数

实数

1. 公式
   观察依据

   画面写出“若存在实数 $K_1$，使得对于任意的点 $x \in I$，有 $f(x) \leqslant K_1$，则称函数 $y=f(x)$ 在 I 上有上界。”

2. 声音
   观察依据

   教师说“如果存在一个实数 $K_1$，使得区间 I 内的任意一点的函数值都不超过这个 $K_1$，那么这个时候呢，这个函数在 I 上就是有上界的”

3. 图示
   观察依据

   图中画出水平线 $K_1$，曲线 $y=f(x)$ 在区间 I 上位于该线下方或与之相切

视频给出上界定义：若存在实数 $K_1$，使得对区间 I 内任意 x 都有 $f(x) \leqslant K_1$，则称函数 $y=f(x)$ 在 I 上有上界。教师口头将 $K_1$ 比作“顶”。

1. 设有函数 $y=f(x)$

2. $x \in I$

3. $I \subseteq D$

4. 存在实数 $K_1$

1. $y=f(x)$
2. $x \in I$
3. $I \subseteq D$
4. $K_1$

1. 公式
   观察依据

   画面写出“若存在实数 $K_2$，使得对于任意的点 $x \in I$，有 $f(x) \geqslant K_2$，则称函数 $y=f(x)$ 在 I 上有下界。”

2. 声音
   观察依据

   教师说“使得这个函数在这个 I 这个区间内的函数值呢，都是比这个 $K_2$ 要大的……那么这个 $K_2$ 图上看起来就是个底”

3. 图示
   观察依据

   图中画出水平线 $K_2$，曲线 $y=f(x)$ 在区间 I 上位于该线上方或与之相切

1. 音频中教师说“都是比这个 $K_2$ 要大的”，而画面公式为 $f(x) \geqslant K_2$；以画面公式为准，视频未进一步解释这一表述差异

视频给出下界定义：若存在实数 $K_2$，使得对区间 I 内任意 x 都有 $f(x) \geqslant K_2$，则称函数 $y=f(x)$ 在 I 上有下界。教师口头将 $K_2$ 比作“底”。

1. 设有函数 $y=f(x)$

2. $x \in I$

3. $I \subseteq D$

4. 存在实数 $K_2$

1. $y=f(x)$
2. $x \in I$
3. $I \subseteq D$
4. $K_2$

1. 公式
   观察依据

   画面文字：若存在实数 $K_1$，使得对于任意的点 $x \in I$，有 $f(x) \le K_1$，则称函数 $y=f(x)$ 在 I 上有上界

如果存在一个实数 $K_1$，使得对于区间 I 内的任意 x，函数值 $f(x)$ 都不大于 $K_1$，那么称该函数在 I 上有上界。

1. $K_1$ 为实数

2. $x \in I$

3. $I \subseteq D$

1. 公式
   观察依据

   画面文字：若存在实数 $K_2$，使得对于任意的点 $x \in I$，有 $f(x) \ge K_2$，则称函数 $y=f(x)$ 在 I 上有下界

如果存在一个实数 $K_2$，使得对于区间 I 内的任意 x，函数值 $f(x)$ 都不小于 $K_2$，那么称该函数在 I 上有下界。

1. $K_2$ 为实数

2. $x \in I$

3. $I \subseteq D$

1. 公式
   观察依据

   画面文字：(3) 函数在 I 上有界的充要条件是函数在 I 上既有上界又有下界

2. 声音
   观察依据

   讲师口述：函数有界的充要条件是它既有上界又有下界

判断一个函数在某区间上是否有界，只需要看它是否同时满足有上界和有下界这两个条件。

1. 函数在区间 I 上讨论

1. 函数有上界的定义
2. 函数有下界的定义

1. 图示
   观察依据

   画面中央出现直角坐标系，横轴标 x，纵轴标 y，原点标 O

2. 动画
   观察依据

   随后画出曲线 $y=f(x)$，并在横轴上标出 a、b 与区间 I

3. 声音
   观察依据

   教师说“比如说函数图形是这样子的，区间 ab 的图形我把它画出来”

1. 坐标系

2. 曲线 $y=f(x)$

3. 横轴标记 a,b

4. 区间 I

1. 先出现坐标轴与原点 O

2. 再出现曲线 $y=f(x)$

3. 接着在横轴上标出 a、b 和区间 I

1. 函数记号保持为 $y=f(x)$

2. 讨论对象始终是区间 I 上的函数值

这一段用图像把抽象定义落到具体几何位置：后续上界、下界都将在同一坐标系中用水平线表示。

1. 图示
   观察依据

   在曲线上方画出水平线并标注 $K_1$

2. 动画
   观察依据

   曲线 $y=f(x)$ 在区间 I 上的部分位于 $K_1$ 下方或接触 $K_1$

3. 声音
   观察依据

   教师说“相当于有一个顶”

1. 水平线 $K_1$

2. 曲线 $y=f(x)$

3. 区间 I

1. 新增一条位于曲线上方的水平线 $K_1$

2. 强调区间 I 内所有函数值都不超过这条线

1. 曲线形状不变

2. 区间 I 的位置不变

$K_1$ 作为上界不是要求取到最大值，而是给区间 I 上所有函数值一个统一的上限；图像用“顶”来直观表达这一点。

1. 图示
   观察依据

   在曲线下方画出水平线并标注 $K_2$

2. 动画
   观察依据

   曲线 $y=f(x)$ 在区间 I 上的部分位于 $K_2$ 上方或接触 $K_2$

3. 声音
   观察依据

   教师说“图上看起来就是个底”

1. 水平线 $K_2$

2. 曲线 $y=f(x)$

3. 区间 I

1. 新增一条位于曲线下方的水平线 $K_2$

2. 强调区间 I 内所有函数值都不小于这条线

1. 曲线形状不变

2. 区间 I 的位置不变

$K_2$ 作为下界给区间 I 上所有函数值一个统一的下限；图像用“底”来直观表达这一点。

1. 图示
   观察依据

   画面左侧展示了函数 $y=f(x)$ 在区间 [a, b] 上的图像，上方有一条水平线标记为 $K_1$，下方有一条水平线标记为 $K_2$

1. 函数曲线 $y=f(x)$

2. 水平线 $K_1$

3. 水平线 $K_2$

4. 区间 [a, b]

1. 函数曲线始终位于 $K_1$ 下方或相交

2. 函数曲线始终位于 $K_2$ 上方或相交

图像直观地展示了函数值的范围被两条水平直线限制，即 $f(x) \le K_1$ 且 $f(x) \ge K_2$，说明了函数既有上界又有下界。

1. 图示
   观察依据

   $K_1$、$K_2$ 画成水平界线，曲线可在其下方/上方，也可接触

2. 公式
   观察依据

   定义使用 $\leqslant$ 与 $\geqslant$，而不是严格不等号

1. 这是分析员基于视频公式与图示补充的提醒，视频未明确点名该误区

容易把上界、下界误解成最大值、最小值，认为函数必须正好达到 $K_1$ 或 $K_2$。

视频中的定义只要求对任意 $x \in I$ 满足 $f(x) \leqslant K_1$ 或 $f(x) \geqslant K_2$；是否取等并未作为条件，因此上界、下界不必然等于最大值、最小值。

1. 公式
   观察依据

   先后给出 $f(x) \leqslant K_1$ 与 $f(x) \geqslant K_2$ 两个对称定义

2. 声音
   观察依据

   教师先讲“上界”，再讲“下界”，并用“顶”和“底”对照说明

上界与下界是关于同一函数在同一区间 I 上的两个相反方向的界限概念：前者限制函数值向上，后者限制函数值向下。

1. 图示
   观察依据

   先画出 $y=f(x)$ 与区间 I，再用水平线 $K_1$、$K_2$ 表示界限

2. 声音
   观察依据

   教师边画图边解释“顶”“底”

视频先用函数图像建立直观背景，再把上界、下界定义落到同一图像上，用水平线解释不等式含义。

1. 公式
   观察依据

   画面文字：函数在 I 上有界的充要条件是函数在 I 上既有上界又有下界

函数有界的概念包含了函数有上界和函数有下界两个子概念，且两者同时成立是函数有界的充要条件。

1. 公式
   观察依据

   画面文字：函数在 I 上有界的充要条件是函数在 I 上既有上界又有下界

函数有界的概念包含了函数有上界和函数有下界两个子概念，且两者同时成立是函数有界的充要条件。

1. 公式
   观察依据

   画面给出上界完整定义

2. 声音
   观察依据

   教师解释“任意一点的函数值都不超过这个 $K_1$”

1. 函数在区间上的上界

1. 公式
   观察依据

   画面给出下界完整定义

2. 声音
   观察依据

   教师解释 $K_2$ 是“底”

1. 函数在区间上的下界

1. 图示
   观察依据

   $K_1$、$K_2$ 均以水平线画出

2. 声音
   观察依据

   教师用“顶”“底”描述其几何意义

1. 上界的几何示意
2. 下界的几何示意

1. 公式
   观察依据

   画面文字定义了上界和下界

1. 函数有上界的定义
2. 函数有下界的定义

1. 公式
   观察依据

   画面文字给出了有界的充要条件

1. 函数有界的充要条件