格拉阿赫的元胞自动机

1. 图示
   观察依据

   右上角的黑色整数计数器从0开始，每一代增加1，直至达到700。

n

右上角计数器所显示的细胞自动机的代数或迭代次数。

从0到700观察到的非负整数。

1. 图示
   观察依据

   视频展示了一种在六边形网格上的离散结构，该结构随计数器递增而逐代向外扩展。

2. 图示
   观察依据

   当 $n = 0$ 时，存在一个中心节点；当 $n = 1$ 时，出现六条分支；后续各代在末端添加更小的递归分支。

该片段呈现了一种类似细胞自动机的六边形晶格生长过程：从单个中心单元格出发，结构按计数器 n 标记的离散代数演化；每一代依据固定的局部规则添加新单元格，形成不断扩张的分形图案。

1. 该过程在时间上是离散的，每次 n 增加一即完成一次更新。

2. 底层晶格为六边形。

3. 生长从单个初始种子向外进行。

1. 图示
   观察依据

   从 $n = 0$ 到 $n = 1$，中心节点逐渐长出六条臂。

2. 图示
   观察依据

   从 $n = 2$ 开始，每个暴露的末端反复萌发出三条新的子分支，形成自相似的 Y 形细分结构。

3. 图示
   观察依据

   整体轮廓保持六重对称性，而内部密度逐渐增加。

1. 精确的形式化转移规则并未显示在屏幕上；本条目记录的是可见的分支模式，而非完全明确的自动机规则。

可观察到的更新过程表现为递归式分支：初始种子生成六条主臂，随后每个活跃端点在下一步中再生成三条更小的分支。这种反复的端点分裂形成了嵌套的、自相似的簇，并随着 n 增大而逐步填满更多六边形平面区域。

1. 适用于所展示的增长动画。

2. 分支仅出现在外层端点处，而非所有已占据格点上均匀发生。

1. 六边形网格上的细胞自动机生长

1. 图示
   观察依据

   计数器数值及其对应形状全程可见：$n=0$为单个中心点，$n=1$为六臂星形，$n=2$为首次添加的环状线段，$n=3$为更多分支，至 $n=700$时形成致密的分形铺砌。

1. 公式

   $$$$
   解释

   当 $n=0$ 时，结构由六边形网格上的一个中心节点构成。

   步骤依据

   在开场帧中直接可见。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   当 $n=1$ 时，六条直线臂从中心向外延伸，确立六重对称性。

   步骤依据

   当计数器由 0 变为 1 时，该现象直接可见。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   在 $n=2$ 和 $n=3$ 时，臂部周围出现额外线段，使第一层变厚，并开始次级分枝。

   步骤依据

   随着计数器递增及新着色线段加入而可见。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   对于更大的 n，每个暴露的端点反复分裂为三条更小的分枝，形成嵌套的 Y 形图案。

   步骤依据

   当图案变得愈发复杂时，在视频中段区域可见。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   当 n 趋近于 700 时，递归分枝几乎填满整个可视平面，形成致密而多彩的分形纹理，同时保持整体六重对称的轮廓。

   步骤依据

   在最终帧中可见，此时图案几乎占据整个屏幕。

   视频直接表达

该动画展示了一种离散的生成过程：其局部分枝规则随时间推移，逐步产生日益复杂的全局分形结构。

1. 图示
   观察依据

   白色背景上叠加有淡紫色六边形网格，支撑着向外生长的黑色分枝结构。

2. 图示
   观察依据

   新加入的线段先以红色、橙色、黄色、绿色、蓝色和紫色等颜色高亮显示，随后融入整体更深色调的图案中。

3. 图示
   观察依据

   右上方计数器从 0 递增至 700。

1. 中心种子节点

2. 六条主枝

3. 次级与三级分枝

4. 六边形网格背景

5. 代数计数器

1. 每一代中被占据的格子数量都会增加。

2. 外端尖点反复分裂为更小的分枝。

3. 颜色高亮标记新添加的线段。

4. 整体形状从稀疏的星形逐渐扩展为覆盖屏幕大部分区域的致密分形。

1. 底层格点始终保持六边形结构。

2. 全局图案始终保有六重对称性。

3. 计数器每经过一代便单调递增一。

该视觉过程展示了一种递归式的元胞自动机生长机制：在六边形网格上，通过多次迭代应用一条简单的局部分枝规则，最终生成大规模的分形结构。

1. 图示
   观察依据

   颜色以结构化的色带形式呈现，突出显示新添加的区域，而非随意散落。

人们或许会将这种如彩虹般渐变的颜色变化理解为与数学无关的随机装饰。

在动画中，颜色变化追踪结构中新生成的部分，有助于揭示分形的递归生长顺序与分层演化过程。

1. 图示
   观察依据

   该片段始于一个简单的局部规则——表现为端点分叉，最终形成具有全局自相似性的分形图案。

元胞自动机生长的一般思想，此处通过一种可见的递归分叉机制得以具体实现，并由此生成分形图案。

1. 图示
   观察依据

   整段视频是反向索引过程下模式扩展的逐步可视化演示。

1. 六边形网格上的细胞自动机生长
2. 可见的递归式分支规则
3. 增长序列的视觉推导
4. 从单个种子出发的分形生长动画，最终形成致密的六边形图案

1. 图示
   观察依据

   整个动画中均可观察到端点反复分裂为三条更小分支的过程。

1. 确切的形式化规则并未在画面中明确写出。

1. 可见的递归式分支规则
2. 增长序列的视觉推导