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微分方程介绍 | 一阶微分方程 | 可汗学院

Khan Academy · YouTube · 7:49

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视频中的要点

01本例中，什么才构成一个微分方程
02撇号记法与函数记法
03同一方程的莱布尼茨记法

来自学习笔记

y'' + 2y' = 3y

本例中，什么才构成一个微分方程

选中时刻

微分方程导论

建议预备知识

基本的导数记法
对函数及其自变量的理解
熟悉一阶导数和二阶导数
基础代数（求解二次方程）
函数的概念
导数的概念
函数记号 $y(x)$
一阶导数与二阶导数
指数函数的链式法则
同类项的代数化简
指数函数的基本求导法则
理解一阶导数与二阶导数
能够合并同类代数项
熟悉函数记号与导数记号

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这段持续120秒的入门白板讲解，通过一个具体例题 y'' + 2y' = 3y 来定义微分方程；随后将同一关系式分别改写为函数记号形式 f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ ，以及莱布尼茨记号形式 $d^2y/dx^2 + 2 dy/dx = 3y$ 。用大括号将三种形式归组，同时讲解者强调：它们表达的是同一个数学命题。该片段最后明确指出，微分方程的解是一个函数，或一类函数，而非某个单一数值。本节通过与熟悉的代数方程对比来引入微分方程。教师在白板上指出：像 $x^2 + 3x + 2 = 0$ 这样的代数方程具有数值解（ $x = -2$ ， $x = -1$ ），而像 y'' + 2y' = 3y 这样的微分方程则具有函数形式的解。本节还演示了同一微分方程的三种等价记法。这段时长为120秒的白板讲解引入微分方程 y''+2y'=3y，同时以另外两种形式展示：f''(x)+2f'(x)= $3f(x)$ 与 $d^2y/dx^2+2dy/dx=3y$ ，并附注‘解：函数（们）’。主讲人提出解 $y_1(x)=e^{-3x}$ ，请观众暂停并计算导数，随后利用链式法则推导出 $y_1$ '=-3e^{-3x} 与 $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ 。通过彩色编码方式将各项代入方程，得到 $9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}$ ，直观呈现验证过程。本片段在代入行处结束，尚未口头给出最终化简式 $3e^{-3x}=3e^{-3x}$ 。本节白板导学片段通过直接处理微分方程 y'' + 2y' = 3y（以三种等价记法呈现），解释函数满足微分方程的含义。首先，主讲人验证函数 $y_1(x) = e^{-3x}$ 满足该方程：计算其一阶导数 $y_1$ ' 和二阶导数 $y_1$ ''，代入原方程并化简，得到恒等式 $3e^{-3x} = 3e^{-3x}$ 。接着，主讲人指出这并非唯一解，并引入第二个候选解 $y_2 = e^x$ ；计算得 $y_2$ ' = $e^x$ 和 $y_2$ '' = $e^x$ ，代入后得到 $e^x + 2e^x = 3e^x$ ，从而确认 $y_2$ 也是一个解。本片段强调通过代入进行直接验证，并借助两个不同的指数函数说明解的非唯一性。最后预告后续将讨论解的类型、求解方法及可视化。

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章节

0:00微分方程导论 0:22第一个示例：y'' + 2y' = 3y 0:38函数记号形式 0:54莱布尼茨记号形式 1:14这三种形式含义相同 1:34解是函数，而不是数字 2:00微分方程导论 2:10与代数方程的对比 2:48解的性质：数值解与之对比函数解 3:05微分方程的等价记法 4:00以三种记号形式展示的微分方程 4:03提出的解

y_1(x)=e^{-3x}

4:28利用链式法则求得的一阶导数 4:43通过重复使用链式法则求二阶导数 4:56计划代入微分方程进行验证 5:08按项着色的逐项验证 6:00微分方程及第一个候选解

y_1(x)=e^{-3x}

6:28过渡：第一个解不唯一 6:38第二个候选解

y_2=e^x

及其验证 7:32后续微分方程主题的预告收尾

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

视频片段以一块黑色数字黑板开场，左上方标题为“微分方程”。讲述者将本主题定位为对微分方程概念的入门介绍，将具体应用留待后续讲解。

第一个数学对象出现： $y'' + 2y' = 3y$ 。书写的同时，讲述者明确指出这是一个微分方程的例子。其关键结构特征在于：未知函数的导数与其自身同时出现在等式中。

在说明 $y$ 是关于 $x$ 的函数之后，同一关系被重写为新式子： $f''(x) + 2f'(x) = 3f(x)$ 。此举使因变量与自变量更明确： $f$ 替代了 $y$ ，且所有导数均在 $x$ 处取值。

第三种记法被引入——莱布尼茨记法。黑板上此时显示 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$ 。此处，求导变量 $x$ 直接写在导数符号内部，而因变量仍为 $y$ 。

当三行表达式同时呈现时，一个大花括号将它们归为一组。讲述者强调：这并非三个不同问题，而是同一个微分方程的三种等价表达方式。用自然语言表述，该方程要求寻找满足“其二阶导数加上两倍的一阶导数等于其自身三倍”的函数。

片段结尾由记法转向理解。黑板上写出“解：函数（们）”，讲述者解释道：求解微分方程，意味着找出一个函数或一类函数，而非某个单一的数值解。这正是微分方程与普通代数方程在核心概念上的根本区别。

视频开头在屏幕左侧展示了二阶线性微分方程的三种等价形式： $y'' + 2y' = 3y$ 、 $f''(x) + 2f'(x) = 3f(x)$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$ 。其下方注明：解为“函数（或函数族）”。

为建立直观理解，教师在屏幕右侧引入一个熟悉的概念：代数方程。他写出一个简单的二次方程： $x^2 + 3x + 2 = 0$ 。

接着，他通过因式分解该代数方程得到 $(x+2)(x+1) = 0$ ，从而得出数值解： $x = -2$ 或 $x = -1$ 。此步骤强调了代数方程的解是特定的数值。

教师进行了直接对比：代数方程的解是数字，而微分方程则描述了一个函数与其导数之间的关系。因此，它的解本身必须是函数。

回到左侧的微分方程，教师指出，这三种不同的记号所表示的正是完全相同的数学关系。他准备通过清空黑板上的空间，来展示实际的函数解长什么样子。

他解释道，将提供若干解的例子，以验证这一概念，并说明微分方程通常拥有一整类可能的解，而不仅仅是一个单独的解。

教师开始书写第一个例题的解，并将其标记为 $y_1$ ；同时提到，也可将其写作 $y_1(x)$ ，以明确显示它对变量 $x$ 的依赖关系。

黑板将本主题呈现为一个微分方程，并用一个大括号将三个黄色表达式归为一组： $y''+2y'=3y$ 、 $f''(x)+2f'(x)=3f(x)$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}=3y$ 。其下方标注“解：函数（或函数族）”，表明未知量是一个函数，而非单个数值。

左侧，主讲人写出一个候选解 $y_1(x)=e^{-3x}$ 。音频指出这是“一个解”，并请观众暂停视频，计算 $y_1$ 的一阶与二阶导数，再检验该提议函数是否满足所展示的微分方程。

一阶导数直接由指数复合函数求得。根据链式法则，内层函数 $-3x$ 的导数为 $-3$ ，而外层指数函数的导数仍为 $e^{-3x}$ 。由此得到所写结果 $y_1'=-3e^{-3x}$ 。

二阶导数沿用相同思路。对 $-3e^{-3x}$ 再次求导又引入一个因子 $-3$ ，因此系数相乘得 $(-3)(-3)=9$ 。黑板上记为 $y_1''=9e^{-3x}$ 。

在获得 $y_1$ 、 $y_1'$ 和 $y_1''$ 后，主讲人转入代入验证环节。相关方程为 $y''+2y'=3y$ ，因此其中每一处出现的 $y''$ 、 $y'$ 和 $y$ 均需替换为该提议解对应的表达式。

代入过程以逐项高亮方式呈现： $y''$ 项被替换为 $9e^{-3x}$ ， $2y'$ 项变为 $2(-3e^{-3x})=-6e^{-3x}$ ，右侧的 $3y$ 变为 $3e^{-3x}$ 。黑板最终显示 $9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}$ 。

从所展示的代入式出发，左侧经代数化简后得到 $3e^{-3x}$ ，与右侧完全一致。该片段结束时，主讲人仍在书写或口述右侧项，因此最终的口头确认未被录下；但可见的等式已完整提供验证步骤。

本片段起始时，右侧固定显示一个标题为“微分方程”的参考面板。三行并列呈现同一方程的不同记法： $y'' + 2y' = 3y$ 、 $f''(x) + 2f'(x) = 3f(x)$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$ 。其下方板书注明“解：函数（们）”，明确指出求解该方程即为寻找满足该关系式的函数。

左侧，主讲人以已提出的函数 $y_1(x)=e^{-3x}$ 为对象展开演算。导数计算按顺序写出： $y_1'=-3e^{-3x}$ 与 $y_1''=9e^{-3x}$ 。这些并非独立断言，而是为代入所展示的微分方程所做的准备步骤。

将上述结果代入 $y''+2y'=3y$ ，得到左侧组合式 $9e^{-3x}+2(-3e^{-3x})$ ，板书将其写为 $9e^{-3x}+-6e^{-3x}=3e^{-3x}$ 。关键的代数步骤是合并同类项： $9e^{-3x}-6e^{-3x}=3e^{-3x}$ 。最终得到的恒等式 $3e^{-3x}=3e^{-3x}$ 旁标有对勾符号，确认验证完成。

基于此次成功的代入，主讲人得出结论： $y_1(x)=e^{-3x}$ 确实是该微分方程的一个解。推理过程直接明了：在算出所需导数并代入后，方程化简为一个恒真式，因此该候选函数确为解。

接下来的要点偏重概念理解而非具体计算：主讲人明确指出，这并非唯一解。该陈述既为引入第二个例子做铺垫，也提醒观众避免一种常见误解——误以为找到一个有效函数就穷尽了全部解集。

板书上引入一个新的候选函数： $y_2=e^x$ 。其导数仍以先前相同风格写出： $y_2'=e^x$ 与 $y_2''=e^x$ 。主讲人还邀请观众暂停思考，自行验证该结论，强调解的检验是一种可习得的程序，而非被动接受的内容。

本次代入过程采用与方程面板颜色匹配的对应项进行。二阶导数贡献 $e^x$ ，而 $2y'$ 贡献 $2e^x$ ，故左侧化为 $e^x+2e^x$ ；右侧 $3y$ 则变为 $3e^x$ 。因此，板书将验证结果记为 $e^x+2e^x=3e^x$ 。

由于 $e^x+2e^x$ 恰好化简为 $3e^x$ ，代入后的方程在所展示的情境中对所有 $x$ 均成立。主讲人由此得出结论： $y_2=e^x$ 同样是一个解。结合此前对 $y_1$ 的验证结果，我们已获得该微分方程的两个不同且均已验证的解。

结尾总结并未在板书上增添新的数学内容，而是将前述示例定位为起点。主讲人指出，后续视频将探讨解的形态、解的类型分类、求解微分方程的各类方法，以及解的可视化方式。

知识卡片

本例中，什么才构成一个微分方程

该片段通过实例引入微分方程。所展示的方程包含未知函数 $y$ 、它的一阶导数 $y'$ 以及它的二阶导数 $y''$ 。这种函数与其各阶导数混合出现的形式，正是此处着重强调的典型特征。

y'' + 2y' = 3y

撇号记法与函数记法

若将 $y$ 视为关于 $x$ 的函数，则同一方程可写作 $f''(x) + 2f'(x) = 3f(x)$ 。此版本显式命名了函数，并表明所有导数均对 $x$ 求取。

f''(x) + 2f'(x) = 3f(x)

同一方程的莱布尼茨记法

第三种等价形式采用莱布尼茨记法： $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$ 。这种记法使每个导数项中的求导变量清晰可见。

\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y

记法可以改变，含义不会改变

黑板上并列展示的这三个方程用大括号括起，因为讲解者指出它们表示同一事物。本课要点在于：改变记法并不会自动改变其背后所表达的数学关系。

微分方程的解是一个函数

最后一个关键点是：微分方程的解不是一个数，而是一个函数，或可能是一类（或一个集合）函数。黑板将此总结为“解：函数（们）”。

微分方程与之对比代数方程

代数方程（例如 $x^2 + 3x + 2 = 0$ ）旨在寻找使该等式成立的变量的数值解；而微分方程（例如 $y'' + 2y' = 3y$ ）则旨在寻找满足给定关系的函数（及其导数）。

导数的等价记号

同一个微分方程可用多种标准记号书写。例如， $y$ 关于 $x$ 的二阶导数可写作 $y''$ 、 $f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$ ；它们均表示同一个数学对象。

y'' = f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2}

微分方程的解是函数

由于微分方程将一个函数与其导数联系起来，求解它意味着找出使该等式恒成立的具体函数（或函数集合）。其解不是一个单独的数字，而是一条将输入映射到输出的规则。

同一微分方程的三种记法

视频引入方程 $y''+2y'=3y$ ，并同时展示两种等价的记法变体： $f''(x)+2f'(x)=3f(x)$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}=3y$ 。大括号的分组表明：同一微分关系可用不同函数名及不同导数记号来表达。

y''+2y'=3y

解是函数

黑板上明确写着“解：函数（们）”。对于微分方程，所要求的是一个函数，其导数能使该方程成立。示例候选解是函数 $y_1(x)=e^{-3x}$ ，而非一个数。

候选解 $y_1(x)=e^{-3x}$

主讲人写出 $y_1(x)=e^{-3x}$ ，并称其为该微分方程的一个解。为验证这一说法，需对该函数求导，次数与方程阶数一致；本例中方程为二阶，因此需要 $y_1'$ 和 $y_1''$ 。

y_1(x)=e^{-3x}

使用链式法则求一阶导数

对 $e^{-3x}$ 求导需使用链式法则：外层指数函数的导数为其自身，内层函数 $-3x$ 的导数为 $-3$ 。因此 $y_1'=-3e^{-3x}$ 。

y_1'=-3e^{-3x}

重复使用链式法则求二阶导数

二阶导数通过对 $y_1'=-3e^{-3x}$ 求导得到：常数因子 $-3$ 保留在外，对 $e^{-3x}$ 求导又引入一个因子 $-3$ 。于是 $y_1''=(-3)(-3)e^{-3x}=9e^{-3x}$ 。

y_1''=9e^{-3x}

代入验证

为验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是否满足 $y''+2y'=3y$ ，将已计算出的表达式代入方程：将 $y''$ 替换为 $9e^{-3x}$ ，将 $2y'$ 替换为 $2(-3e^{-3x})=-6e^{-3x}$ ，将 $3y$ 替换为 $3e^{-3x}$ 。所展示的代入式为 $9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}$ ，其化简结果为恒等式。

9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}

以三种等价记法呈现的微分方程

板书右侧在标题“微分方程”下并列展示了同一方程的三种形式：撇号记法、函数记法与莱布尼茨记法。这种视觉分组表明： $y''+2y'=3y$ 、 $f''(x)+2f'(x)=3f(x)$ 与 $\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}=3y$ 实为同一关系式的不同书写方式。

y'' + 2y' = 3y

微分方程的一个解是一个函数

黑板上明确在方程下方写出“解：函数（们）”。本片段中，“验证一个解”是指取一个关于 $x$ 的待定函数，计算该方程所要求的导数，代入原方程，再判断所得等式是否成立。

验证方法：求导、代入、化简

两个例题均采用相同步骤：首先计算待定函数的一阶与二阶导数；然后将这些表达式代入 $y''+2y'=3y$ ；最后化简等式两边，并检验是否得到恒等式。这是本片段所展示的核心方法。

例1：验证 $y_1(x)=e^{-3x}$

该待定函数 $y_1(x)=e^{-3x}$ 的导数为 $y_1'=-3e^{-3x}$ 和 $y_1''=9e^{-3x}$ 。代入后得到 $9e^{-3x}+2(-3e^{-3x})=3e^{-3x}$ ，化简为 $9e^{-3x}-6e^{-3x}=3e^{-3x}$ ，再进一步化简为恒等式 $3e^{-3x}=3e^{-3x}$ 。因此， $y_1$ 是一个解。

9e^{-3x} + -6e^{-3x} = 3e^{-3x}

解的非唯一性

在验证完一个解后，主讲人指出它并非唯一解。随后，视频给出另一个不同的指数函数，它也满足同一个微分方程。这直接说明：一个微分方程可以拥有多个互不相同的解。

例2：验证 $y_2=e^x$

第二个待定函数是 $y_2=e^x$ 。它的一阶与二阶导数均为 $e^x$ 。将其代入方程得到 $e^x+2e^x=3e^x$ ，通过合并同类项可知该式成立。因此， $y_2$ 也是该微分方程的一个解。

e^x + 2e^x = 3e^x

暂停并验证提示

在引入 $y_2=e^x$ 时，主讲人鼓励观众暂停播放，独立验证该结论。此举强调：解的验证是一种需主动进行的代数检验过程，依赖于求导与代入，而非死记硬背的事实。

后续主题预览

结尾处将这两个例子作为引言。主讲人表示，后续视频将探讨解的形态、解的类型、求解微分方程的方法，以及解的可视化。

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 31

y''

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
手写项 y'' 出现在第一个显示的方程中。
声音
观察依据
说话者在书写该项时说“y 的二阶导数”。

符号

y''

含义

y 关于自变量的二阶导数。

适用范围

适用于可微函数 y；本片段中，自变量随后被明确为 x。

y'

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
手写项 2y' 出现在第一个显示的方程中。
声音
观察依据
说话者在书写该项时说“加上 2 乘以 y 的一阶导数”。

符号

含义

y 关于自变量的一阶导数。

适用范围

适用于可微函数 y；本片段中，自变量随后被明确为 x。

y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
手写项 3y 出现在第一个显示的方程的右侧。
声音
观察依据
说话者说“等于 3 乘以 y”。

符号

含义

因变量或未知函数值。

适用范围

本片段中，当改写为函数记号和莱布尼茨记号时，y 被视为 x 的函数。

f''(x)

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
手写项 f''(x) 出现在第二个展示的方程中。
声音
观察依据
说话人说：“我们的函数关于 x 的二阶导数”。

符号

f''(x)

含义

函数 f 在 x 处的二阶导数。

适用范围

x 是自变量；f 是函数，在函数记号中替代 y。

f'(x)

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
手写项 2f'(x) 出现在第二个展示的方程中。
声音
观察依据
说话人说：“加上 2 乘以我们的函数的一阶导数”。

符号

f'(x)

含义

函数 f 在 x 处的一阶导数。

适用范围

x 是自变量；f 是函数，在函数记号中替代 y。

$f(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
手写项 $3f(x)$ 出现在第二个展示的方程右侧。
声音
观察依据
说话人说：“等于 3 乘以我们的函数”。

符号

$f(x)$

含义

函数 f 在 x 处的取值。

适用范围

x 是自变量。

$\frac{d^2y}{dx^2}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
手写的分式 $d^2y/dx^2$ 出现在第三个显示的方程中。
声音
观察依据
说话人说：“y 关于 x 的二阶导数”。

符号

$\frac{d^2y}{dx^2}$

含义

y 关于 x 的二阶导数（莱布尼茨记法）。

适用范围

y 是 x 的可微函数。

$\frac{dy}{dx}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
手写的分式 $dy/dx$ 在第三个显示的方程中乘以 2。
声音
观察依据
说话人说：“加上 2 乘以 y 关于 x 的一阶导数”。

符号

$\frac{dy}{dx}$

含义

y 关于 x 的一阶导数（莱布尼茨记法）。

适用范围

y 是 x 的可微函数。

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“如果我们说 y 是 x 的函数”。
公式
观察依据
变量 x 出现在 f''(x)、f'(x)、 $f(x)$ 、 $dx^2$ 和 dx 中。

符号

含义

求导所依据的自变量。

适用范围

该片段中未明确给出定义域。

y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
符号 y 出现在微分方程示例中，例如 y'' + 2y' = 3y。

符号

含义

微分方程中的因变量或函数。

适用范围

关于 x 的实值函数。

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
符号 x 出现在代数方程示例 $x^2 + 3x + 2 = 0$ 中，也出现在微分方程记号 $dy/dx$ 中。

符号

含义

自变量。

适用范围

实数。

f

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
符号 f 出现在微分方程示例 f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ 中。

符号

含义

函数记号，表示因变量是 x 的函数。

适用范围

实值函数。

知识点 · 14

微分方程的一个例子

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人通过说“下面是一个微分方程的例子”来引入一个例子。
公式
观察依据
屏幕上显示方程 y'' + 2y' = 3y。
声音
观察依据
写完后，主讲人说：“这里这个就是一个微分方程。”

定义

解释

该片段将 y'' + 2y' = 3y 呈现为一个微分方程的例子。此处展示的关键特征是：该方程同时包含了未知函数 y 的导数以及 y 本身。

公式

y'' + 2y' = 3y

适用条件

y 被视为一个未知的可微函数。
该方程关联的是 y、y' 和 y''，而非仅数值型的未知量。

先修条目

同一微分方程的函数记号形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“如果我们说 y 是 x 的函数，那么我们还可以用函数记号来表示它。”
公式
观察依据
在第一个方程下方写出方程 f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ 。

公式

解释

当 y 明确被视为 x 的函数时，同一个方程可用 $f(x)$ 、f'(x) 和 f''(x) 表示。这使得因变量与自变量在形式上一目了然。

公式

f''(x) + 2f'(x) = 3f(x)

适用条件

y 被替换为 $f(x)$ 。
x 是自变量。

先修条目

微分方程的一个例子
f''(x)
f'(x)
$f(x)$
x

同一微分方程的莱布尼茨记法形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“或者，如果我们想使用莱布尼茨记法，也可以写成……”
公式
观察依据
方程 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$ 写在另外两种形式的下方。

公式

解释

第三种展示形式使用莱布尼茨记法表示导数。它与前两个方程表达相同的关系，同时在导数符号中直接标出求导变量。

公式

\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y

适用条件

y 是 x 的函数。
导数被写作包含 dy 和 dx 的分数形式。

先修条目

微分方程的一个例子
$\frac{d^2y}{dx^2}$
$\frac{dy}{dx}$
y
x

微分方程的解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“微分方程的解是一个函数，或一类函数。它不仅仅是一个数值，也不是一组数值。”
公式
观察依据
“解：”一词后紧跟着“函数（们）”。

定义

解释

该片段将微分方程的解定义为一个函数，或可能是一组／一类函数，而非单个数字。这与普通代数方程形成对比——后者的解通常是数值。

公式

适用条件

适用于本片段中所展示的这类微分方程。
该解必须使导数关系成立。

先修条目

微分方程的一个例子

微分方程的定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上展示了微分方程的三种等价形式：y'' + 2y' = 3y，f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ ，以及 $d^2y/dx^2 + 2dy/dx = 3y$ 。
声音
观察依据
教师指出，这三种形式表达的是同一关系，其解是一个函数或一组函数。

定义

解释

微分方程是将一个函数与其导数关联起来的方程。微分方程的解是满足该关系的函数（或函数集合）。

公式

y'' + 2y' = 3y

适用条件

该方程必须至少包含一个未知函数的导数。

先修条目

代数方程的定义

代数方程的定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
教师写出代数方程 $x^2 + 3x + 2 = 0$ ，并求解得到 $x = -2$ 或 $x = -1$ 。
声音
观察依据
教师解释说，代数方程的解是数值或一组数值。

定义

解释

代数方程是含有变量代数表达式的方程。代数方程的解是满足该方程的具体数值。

公式

x^2 + 3x + 2 = 0

适用条件

该方程涉及多项式或其他代数表达式。

同一微分方程的三种书写记号

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板右侧在“微分方程”标题下列出了三个等价的手写形式：y''+2y'=3y，f''(x)+2f'(x)= $3f(x)$ ，以及 $d^2y/dx^2+2dy/dx=3y$ 。
声音
观察依据
说话者在代入 y''+2y'=3y 时，称其为“这个微分方程”。

定义

解释

视频以三种记号形式呈现了一个二阶线性微分方程：用 y 表示的撇号记号、用 $f(x)$ 表示的函数名记号，以及莱布尼茨导数记号。视觉排版用大括号将它们归为一组，表明它们是同一关系的不同写法。

公式

y''+2y'=3y

适用条件

因变量可记为 y 或 $f(x)$ 。
导数均对 x 求取。
所展示的这几种形式被视为同一方程的等价记号。

微分方程的解作为一个函数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在三个方程下方，黑板上写着“解：函数（们）”。
声音
观察依据
说话者称目标是验证 $y_1$ “确实满足这个微分方程。”

定义

解释

黑板明确将微分方程的解标注为“函数（们）”，以此区别于求解数值未知量。在该例中，所提出的解是函数 $y_1(x)=e^{-3x}$ 。

公式

适用条件

待求解的未知量是一个函数。
解必须在代入后使微分方程成立。

用链式法则对指数型复合函数求导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“这里只需应用链式法则：负三 x 对 x 的导数就是负三，而 e 的负三 x 次方对负三 x 的导数就是 e 的负三 x 次方。”
公式
观察依据
黑板上写出 $y_1$ '=-3e^{-3x}，然后 $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ 。

方法

解释

为对 $e^{-3x}$ 求导，视频应用链式法则：将外层指数函数的导数（仍为 $e^{-3x}$ ）与内层函数 -3x 的导数（即 -3）相乘；重复该过程可得二阶导数。

公式

\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}u'(x)

适用条件

指数部分是 x 的可导函数。
本例中， $u(x)=-3x$ ，且 u'(x)=-3。

通过代入法验证所提出的解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“现在我们只需将这些值，或说这些表达式，代入微分方程，来验证该函数确实满足此方程。”
公式
观察依据
黑板上由先前算出的导数及原方程构造出 $9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}$ 。

方法

解释

所展示的方法是：先计算所提函数所需的各阶导数，再将其代入微分方程，最后检验所得等式是否成立。此处将 $y_1$ 、 $y_1$ ' 和 $y_1$ '' 代入方程 y''+2y'=3y。

公式

适用条件

所提出的解必须具有足够阶数的可导性，以满足方程的阶数要求。
方程中所有出现的 y、y′ 和 y″ 都必须一致地替换。

对所显示方程的背景分类

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
所显示的方程 y″ + 2y′ = 3y 中，y″、y′ 和 y 均以线性形式出现；经整理后，其系数分别为常数 1、2 和 -3。

待核验内容

视频中未使用“线性”“齐次”或“常系数”这些术语。

定义

解释

编辑背景说明：所展示的方程是一个二阶线性齐次常系数常微分方程。该分类并未在视频片段中口头陈述，而是由可见公式推导得出。

公式

y''+2y'-3y=0

适用条件

此标签是分析人员添加的分类，并非视频中使用的术语。
该分类适用于将所有项移至等式一侧后的所显示方程 y″ + 2y′ = 3y。

正在讨论的微分方程的等价记法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
右侧以大括号分组展示三个等价形式：y''+2y'=3y、f''(x)+2f'(x)= $3f(x)$ ，以及 $d^2y/dx^2+2 dy/dx=3y$ 。
声音
观察依据
说话者在检验候选解时，称其为“这个微分方程”。

定义

解释

该片段以三种可互换的记法呈现同一个微分方程：y 的撇号记法、 $f(x)$ 的函数记法，以及将导数写作分数形式的莱布尼茨记法。视觉上的分组表明它们是同一方程，而非独立的问题。

公式

y'' + 2y' = 3y

适用条件

该方程被表示为 y、y' 与 y'' 之间的一个单一关系式。
同一关系式分别用 $f(x)$ 以及 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 、 $\frac{dy}{dx}$ 重写。

定理与条件 · 7

所展示的三个方程表示同一关系。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者说：“这三个方程实际上都在表达同一件事。”
公式
观察依据
可见三个纵向排列的方程：y'' + 2y' = 3y，f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ ，以及 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$ 。
动画
观察依据
一个大型左大括号将全部三个方程括在一起。

命题

方程 y'' + 2y' = 3y、f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ 以及 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$ 是同一个微分方程的不同记法形式。

前提

在第二和第三种形式中，y 被理解为关于 x 的函数。
撇号记号与莱布尼茨分数记号分别表示对应的一阶导数与二阶导数。

量词

对于同一个未知函数，所展示的三种符号形式表达了完全相同的导数关系。

所展示的微分方程所要求的内容

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者将该方程转述为：能否找到一些函数，使得其二阶导数加上两倍的一阶导数等于该函数本身的三倍？
公式
观察依据
所展示的三个方程均包含一个二阶导数项、一个一阶导数项以及函数本身。

命题

所展示的微分方程要求找出满足如下条件的函数：其二阶导数加上其一阶导数的两倍，等于该函数本身的三倍。

前提

未知对象是一个函数。
该函数具有一阶导数和二阶导数。

量词

至少存在对满足所述导数关系的函数的寻找；本片段并未求解这些函数。

声称 $y_1(x) = e$ ⁻3ˣ 满足该微分方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“其中一个解是 y₁(x) = e⁻³ˣ”，随后通过代入法验证了该解。
公式
观察依据
最终显示的代入式为 9e⁻3ˣ + (-6e⁻3ˣ) = 3e⁻3ˣ。

命题

函数 $y_1(x) = e$ ⁻3ˣ 满足 y″ + 2y′ = 3y。

前提

y下标 $1(x)$ 等于 e 的负3x 次方。
导数均对变量 x 求取。
该微分方程为 y'' + 2y' = 3y。

量词

对于所展示的函数 $y_1$ 及其可导定义域内的所有 x，代入后能使该方程成立。

断言所展示的三个方程是记号上的变体。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
花括号将 y'' + 2y' = 3y、f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ 和 $d^2y/dx^2 + 2dy/dx = 3y$ 这三个式子归为一类，并在标题“微分方程”下列出。

待核验内容

视频通过视觉方式将这些形式归为一组，但并未明确说出“等价”一词。

命题

所展示的三个方程表示同一微分关系，仅因未知函数名称与导数记号不同而写法各异。

前提

y 和 $f(x)$ 均表示未知函数。
y' 和 $dy/dx$ 均表示一阶导数。
y'' 和 $d^2y/dx^2$ 均表示二阶导数。

量词

对于黑板上所显示的方程，所展示的三种形式是同一关系的不同写法。

$y_1(x)=e^{-3x}$ 满足所展示的微分方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $y_1(x)=e^{-3x}$ ， $y_1$ '=-3e^{-3x}， $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ ，接着是 $9e^{-3x}+-6e^{-3x}=3e^{-3x}$ 和 $3e^{-3x}=3e^{-3x}$ ，并附有一个对勾标记。
声音
观察依据
主讲人说：“因此， $y_1$ 确实是该微分方程的一个解。”

命题

函数 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是微分方程 y''+2y'=3y 的一个解。

前提

该微分方程为 y''+2y'=3y。
候选函数为 $y_1(x)=e^{-3x}$ 。

量词

针对特定函数 $y_1(x)=e^{-3x}$ 。

该微分方程具有不止一个解。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲话者说：‘但我们将看到，它并非该微分方程的唯一解。’
公式
观察依据
引入并验证了第二个候选解 $y_2=e^x$ 。

命题

所展示的微分方程没有唯一解；本片段中至少呈现了两个不同的解。

前提

该微分方程为 y''+2y'=3y。
$y_1(x)=e^{-3x}$ 和 $y_2=e^x$ 均被验证为解。

量词

至少存在两个不同的解函数。

$y_2=e^x$ 满足所展示的微分方程。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示： $y_2=e^x$ ， $y_2$ '= $e^x$ ， $y_2$ ''= $e^x$ ，然后 $e^x+2e^x=3e^x$ 。
声音
观察依据
说话人说：“因此， $y_2$ 也是该微分方程的一个解。”

命题

函数 $y_2=e^x$ 是微分方程 y''+2y'=3y 的一个解。

前提

该微分方程为 y''+2y'=3y。
待检验的函数是 $y_2=e^x$ 。

量词

针对特定函数 $y_2=e^x$ 。

推导与证明 · 7

将同一个微分方程改写为三种不同记号形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上依次显示 y'' + 2y' = 3y，接着是 f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ ，最后是 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$ 。
声音
观察依据
讲述者口头将每一项从一种记号映射到下一种记号。
动画
观察依据
在三种形式写完后，用大括号将它们归为一组。

视觉说明

步骤

公式
$y'' + 2y' = 3y$
解释
从示例微分方程紧凑的撇号记号形式开始。
步骤依据
直接书写在屏幕上，并被口头明确标识为一个微分方程。
视频直接表达
公式
$f''(x) + 2f'(x) = 3f(x)$
解释
将 y 替换为 $f(x)$ ，使因变量显式地表示为 x 的函数，并将 y' 和 y'' 替换为 f'(x) 和 f''(x)。
步骤依据
讲述者指出，这是用函数记号书写的同一个方程。
视频直接表达
公式
$\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$
解释
使用莱布尼茨记号重写这些导数，其中 y 为因变量，x 为求导变量。
步骤依据
讲话者明确指出，这是同一关系式的莱布尼茨记号表达形式。
视频直接表达
公式
解释
得出结论：屏幕上显示的三行式子并非三个不同问题，而是同一个微分方程的三种等价写法。
步骤依据
解说员指出，这三种形式均表示同一含义，而大括号在视觉上将它们归为一组。
视频直接表达

结论

该片段演示了：撇号记号、函数记号与莱布尼茨记号均可表达同一个微分方程。

求解代数方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
教师将 $x^2 + 3x + 2 = 0$ 因式分解为 ( $x+2$ )( $x+1$ ) = 0，并得出 $x = -2$ 或 $x = -1$ 。

数值验证

步骤

公式
$x^2 + 3x + 2 = 0$
解释
从给定的二次方程开始。
步骤依据
由教师给出。
视频直接表达
公式
$(x+2)(x+1) = 0$
解释
对二次表达式进行因式分解。
步骤依据
代数因式分解。
视频直接表达
公式
$x = -2 \text{ or } x = -1$
解释
令每个因式等于零，以求出方程的根。
步骤依据
零乘积性质。
视频直接表达

结论

该代数方程的解为 $x = -2$ 和 $x = -1$ 。

$y_1$ 的一阶导数的推导过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人讲解 $e^{-3x}$ 的导数的链式法则。
公式
观察依据
黑板上写出 $y_1$ ' = -3e^{-3x}。

严格证明

步骤

公式
$y_1(x)=e^{-3x}$
解释
从黑板上写出的待验证解出发。
步骤依据
视频中已给出。
视频直接表达
公式
$\frac{d}{dx}(-3x)=-3$
解释
对内层指数 -3x 关于 x 求导。
步骤依据
幂函数/常数倍数求导法则。
视频直接表达
公式
$\frac{d}{du}e^u=e^u$
解释
对外层指数函数关于其指数求导。
步骤依据
自然指数函数的标准导数。
依据视频推导
公式
$y_1'=-3e^{-3x}$
解释
将外层导数与内层导数相乘。
步骤依据
链式法则。
视频直接表达

结论

待验证解的一阶导数为 $y_1$ ' = -3e^{-3x}。

$y_1$ 的二阶导数推导过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“完全相同的想法，这个函数的导数是负三乘以负三，结果为九乘以 e 的负三 x 次方。”
公式
观察依据
黑板上写出 $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ 。

严格证明

步骤

公式
$y_1'=-3e^{-3x}$
解释
使用刚刚计算出的一阶导数。
步骤依据
上一步推导的结果。
视频直接表达
公式
$\frac{d}{dx}(-3e^{-3x})=-3\frac{d}{dx}(e^{-3x})$
解释
将常数因子 -3 提到导数符号外。
步骤依据
常数倍数法则。
依据视频推导
公式
$\frac{d}{dx}(e^{-3x})=-3e^{-3x}$
解释
再次对指数函数求导，仍采用相同的链式法则模式。
步骤依据
链式法则。
视频直接表达
公式
$y_1''=(-3)(-3)e^{-3x}=9e^{-3x}$
解释
将两个因子 -3 与 -3 相乘。
步骤依据
算术化简。
视频直接表达

结论

所设解的二阶导数为 $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ 。

将 $y_1$ 及其各阶导数代入微分方程。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人代入二阶导数、两倍的一阶导数以及三倍的 y，并指出该表达式“必须等于三倍的 y”。
公式
观察依据
黑板上写出 $9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}$ 。

待核验内容

视频片段在主讲人口头陈述简化结论 $3e^{-3x}=3e^{-3x}$ 前结束；该等式已显示在黑板上。

严格证明

步骤

公式
$y''+2y'=3y$
解释
从黑板上显示的微分方程出发。
步骤依据
已知方程。
视频直接表达
公式
$y_1''=9e^{-3x}$
解释
用所求得的试探解的二阶导数替换 y''。
步骤依据
此前推导出的公式。
视频直接表达
公式
$2y_1'=2(-3e^{-3x})=-6e^{-3x}$
解释
用所求得的一阶导数替换 y'，再乘以 2。
步骤依据
此前推导出的公式及算术化简。
视频直接表达
公式
$3y_1=3e^{-3x}$
解释
用试探解替换 y，再乘以 3。
步骤依据
已知 $y_1(x)=e^{-3x}$ 。
视频直接表达
公式
$9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}$
解释
将代入后的方程写在黑板上。
步骤依据
代入到 y''+2y'=3y 中。
视频直接表达
公式
$3e^{-3x}=3e^{-3x}$
解释
合并左侧的同类项： $9e^{-3x}-6e^{-3x}=3e^{-3x}$ 。
步骤依据
代数化简；这一最终化简步骤在视频片段结束前未被口述。
依据视频推导

结论

代入后的表达式使等式两边相等，从而验证了 $y_1(x)=e^{-3x}$ 满足该微分方程。

验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 满足微分方程 y''+2y'=3y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左栏写出 $y_1(x)=e^{-3x}$ ， $y_1$ '=-3e^{-3x}， $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ 。
公式
观察依据
下一行代入方程，得到 $9e^{-3x}+-6e^{-3x}=3e^{-3x}$ 。
公式
观察依据
化简行写作 $3e^{-3x}=3e^{-3x}$ ，并标有对勾。
声音
观察依据
说话人解释： $9e^{-3x}$ 加上 -6e^{-3x} 得到 $3e^{-3x}$ ，这与等式右边相等。

严格证明

步骤

公式
$y_1(x)=e^{-3x}$
解释
从所提出的解函数出发。
步骤依据
题目已写在黑板上。
视频直接表达
公式
$y_1'=-3e^{-3x}$
解释
计算所给解的一阶导数。
步骤依据
对 $e^{-3x}$ 关于 x 求导。
视频直接表达
公式
$y_1''=9e^{-3x}$
解释
计算所给解的二阶导数。
步骤依据
对 -3e^{-3x} 关于 x 求导。
视频直接表达
公式
$9e^{-3x}+2(-3e^{-3x})=3e^{-3x}$
解释
将 $y_1$ '' 和 $y_1$ ' 代入微分方程左端，右端写作 $3y_1=3e^{-3x}$ 。
步骤依据
直接代入 y''+2y'=3y。
依据视频推导
公式
$9e^{-3x}+-6e^{-3x}=3e^{-3x}$
解释
化简左端代入后的表达式。
步骤依据
乘法运算 $2(-3e^{-3x})=-6e^{-3x}$ 。
视频直接表达
公式
$3e^{-3x}=3e^{-3x}$
解释
合并同类项，得到一个恒等式。
步骤依据
代数化简 $9e^{-3x}-6e^{-3x}$ 。
视频直接表达

结论

由于代入后得到恒等式，因此 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是该微分方程的一个解。

验证 $y_2=e^x$ 满足微分方程 y''+2y'=3y。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $y_2=e^x$ ， $y_2$ '= $e^x$ ， $y_2$ ''= $e^x$ 。
公式
观察依据
左下角的代入行变为 $e^x+2e^x=3e^x$ 。
声音
观察依据
主讲人指出 $e^x$ 的二阶导数也是 $e^x$ ，随后验证该等式成立。

严格证明

步骤

公式
$y_2=e^x$
解释
引入第二个待验证的解函数。
步骤依据
黑板与音频中均已给出。
视频直接表达
公式
$y_2'=e^x$
解释
计算一阶导数。
步骤依据
$e^x$ 对 x 的导数。
视频直接表达
公式
$y_2''=e^x$
解释
计算二阶导数。
步骤依据
$e^x$ 的导数仍是 $e^x$ 。
视频直接表达
公式
$e^x+2e^x=3e^x$
解释
将 $y_2$ '' 与 $y_2$ ' 代入微分方程并化简。
步骤依据
直接代入微分方程 y''+2y'=3y，再合并同类项。
视频直接表达

结论

由于代入后的方程化简为一个恒等式，因此 $y_2=e^x$ 也是该微分方程的一个解。

例题详解 · 5

演算示例：同一个微分方程在多种记号下的表达

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
完整演算展示包括：y'' + 2y' = 3y，f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ ，以及 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$ 。
声音
观察依据
讲话者边书写边逐项朗读，并解释记号的变化。

题目

写出一个微分方程的例子，并用其他标准记号表达同一个方程。

已知条件

起始方程为 y'' + 2y' = 3y。
y 可视为 x 的函数。

目标

用函数记号和莱布尼茨记号展示等价形式。

步骤

公式
$y'' + 2y' = 3y$
解释
用素数记号表示该方程。
步骤依据
这是板书上的初始示例。
视频直接表达
公式
$f''(x) + 2f'(x) = 3f(x)$
解释
将未知函数用 $f(x)$ 表示。
步骤依据
主讲人称这是同一方程的函数记号形式。
视频直接表达
公式
$\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$
解释
将导数改写为莱布尼茨形式。
步骤依据
主讲人明确指出这是莱布尼茨记号。
视频直接表达
公式
解释
将三行式子归为一组，以强调它们的等价性。
步骤依据
在三个方程外画上大括号，旁白说明它们表示同一事物。
视频直接表达

结果

所展示的三种等价形式分别为：y'' + 2y' = 3y、f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ ，以及 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$ 。

检验

逐项对应关系清晰可见：二阶导数项彼此对应，一阶导数项的系数均为2，右侧各项的系数均为3。

微分方程的等价记法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上并列写出 y'' + 2y' = 3y、f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ 以及 $d^2y/dx^2 + 2dy/dx = 3y$ 。
声音
观察依据
教师说：‘这三个表达式实际上表示的是同一个对象。’

题目

用不同的标准记法表示同一个微分方程。

已知条件

该微分方程将一个函数与其一阶导数和二阶导数联系起来。

目标

展示该方程的三种等价写法。

步骤

公式
$y'' + 2y' = 3y$
解释
使用撇号记号表示对自变量的导数。
步骤依据
标准微积分记号。
视频直接表达
公式
$f''(x) + 2f'(x) = 3f(x)$
解释
使用函数记号 $f(x)$ 明确体现对 x 的依赖关系。
步骤依据
标准函数记号。
视频直接表达
公式
$\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$
解释
使用莱布尼茨记号表示导数。
步骤依据
标准微积分记号。
视频直接表达

结果

这三个表达式代表完全相同的数学关系。

检验

授课教师明确指出它们表示同一事物。

验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是否满足微分方程 y''+2y'=3y。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者引入 $y_1(x)=e^{-3x}$ ，请观众暂停并自行验证，随后逐步完成验证过程。
公式
观察依据
黑板上显示： $y_1(x)=e^{-3x}$ ， $y_1$ '=-3e^{-3x}， $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ ，以及代入式 $9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}$ 。

待核验内容

由于视频片段在代入行展示过程中结束，因此缺少最后的口头确认。

题目

检验所提出的函数 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是否满足微分方程 y''+2y'=3y。

已知条件

微分方程：y''+2y'=3y。
所提出的解： $y_1(x)=e^{-3x}$ 。
导数均对 x 求导。

目标

计算 $y_1$ ' 和 $y_1$ ''，将它们代入方程，并判断该方程是否成立。

步骤

公式
$y_1(x)=e^{-3x}$
解释
明确所提出的解。
步骤依据
视频中已给出。
视频直接表达
公式
$y_1'=-3e^{-3x}$
解释
使用链式法则求一次导数。
步骤依据
$e^{u(x)}$ 的导数为 $e^{u(x)}u$ '(x)，其中 $u(x) = -3x$ 。
视频直接表达
公式
$y_1''=9e^{-3x}$
解释
再次使用相同的链式法则思想求导。
步骤依据
常数倍法则与链式法则得出 (-3)(-3) $e^{-3x} = 9e^{-3x}$ 。
视频直接表达
公式
$9e^{-3x}+2(-3e^{-3x})=3e^{-3x}$
解释
将 $y_1$ ''、 $y_1$ ' 和 $y_1$ 代入 y'' + 2y' = 3y。
步骤依据
直接代入所展示的微分方程。
视频直接表达
公式
$9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}$
解释
化简中间项 $2(-3e^{-3x})$ 。
步骤依据
算术乘法。
视频直接表达
公式
$3e^{-3x}=3e^{-3x}$
解释
合并左侧的同类项。
步骤依据
$9e^{-3x}-6e^{-3x}=3e^{-3x}$ ；该化简结果可见于代入过程的终点，但在视频片段结束前未作口头说明。
依据视频推导

结果

是的， $y_1(x)=e^{-3x}$ 满足该微分方程，因为代入后得到 $3e^{-3x}=3e^{-3x}$ 。

检验

验证过程即代入本身：左侧 y''+2y' 变为 $9e^{-3x}+(-6e^{-3x})$ ，化简后为 $3e^{-3x}$ ，与右侧 $3y=3e^{-3x}$ 一致。

例题：验证 $y_1(x)=e^{-3x}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左侧的例题使用 $y_1(x)=e^{-3x}$ ，并在 $3e^{-3x}=3e^{-3x}$ 后标有对勾。
声音
观察依据
讲解者叙述了化简过程，并得出结论： $y_1$ 确实是该微分方程的一个解。

题目

检验 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是否满足微分方程 y''+2y'=3y。

已知条件

微分方程：y''+2y'=3y。
待检验函数： $y_1(x)=e^{-3x}$ 。

目标

通过代入法判断该待检验函数是否为解。

步骤

公式
$y_1'=-3e^{-3x}$
解释
对待检验函数求一次导数。
步骤依据
指数函数的标准求导法则。
视频直接表达
公式
$y_1''=9e^{-3x}$
解释
再次求导，得到二阶导数。
步骤依据
指数函数的标准求导法则。
视频直接表达
公式
$9e^{-3x}+-6e^{-3x}=3e^{-3x}$
解释
将导数代入方程。
步骤依据
左边使用 y''+2y'，右边使用 3y。
视频直接表达
公式
$3e^{-3x}=3e^{-3x}$
解释
化简左边，并与右边比较。
步骤依据
合并同类项。
视频直接表达

结果

是的， $y_1(x)=e^{-3x}$ 是一个解。

检验

最终显示的等式是一个恒等式，并标有对勾符号。

例：验证 $y_2=e^x$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上引入 $y_2=e^x$ ，列出其导数，并写出 $e^x+2e^x=3e^x$ 。
声音
观察依据
主讲人邀请观众暂停并自行验证，然后指出 $y_2$ 也是一个解。

题目

检验 $y_2=e^x$ 是否满足微分方程 y''+2y'=3y。

已知条件

微分方程：y''+2y'=3y。
候选函数： $y_2=e^x$ 。

目标

判断第二个候选函数是否也是该微分方程的解。

步骤

公式
$y_2'=e^x$
解释
对候选函数求一次导数。
步骤依据
$e^x$ 的导数是 $e^x$ 。
视频直接表达
公式
$y_2''=e^x$
解释
再次求导。
步骤依据
$e^x$ 的二阶导数仍是 $e^x$ 。
视频直接表达
公式
$e^x+2e^x=3e^x$
解释
将结果代入微分方程并化简。
步骤依据
直接代入 y''+2y'=3y。
视频直接表达

结果

是的， $y_2=e^x$ 也是一个解。

检验

代入后的方程化简为真命题 $e^x+2e^x=3e^x$ 。

图示与动画 · 10

示例前的标题强调

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
左上角已标有标题“微分方程”。
动画
观察依据
在标题附近画了一个粉红色的星号状标记，随后在“微分”一词下方画了一条粉红色的波浪下划线。
声音
观察依据
说话人在此时段介绍微分方程这一主题。

图中对象

标题文字“微分方程”
粉色星号状标记
粉色波浪下划线

变化过程

装饰性强调标记被添加在标题附近及下方。
此时间段内尚未写出任何数学公式。

不变量

主题仍为微分方程的引入。
背景保持为黑色数字黑板。

数学含义

视觉强调提示新概念的开始，此时首个具体方程尚未引入。

用大括号将等价形式纵向堆叠分组

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
依次写下三个方程：y'' + 2y' = 3y，f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ ，以及 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$ 。
动画
观察依据
画出一个大型白色左大括号，将这三个方程归为一组。
声音
观察依据
说话者指出，这三个方程表达的是同一数学关系。

图中对象

第一个方程采用撇号记法
第二个方程采用函数记法
第三个方程采用莱布尼茨记法
大型分组大括号

变化过程

每一行新增一种表示相同导数关系的记法。
该大括号在视觉上将三条独立的行整合为一个统一的概念。

不变量

系数2和3在所有形式中保持不变。
二阶导数、一阶导数与函数之间的结构关系始终如一。

数学含义

该动画旨在说明：记法可以变化，而其背后的数学陈述保持不变。

关于“解”含义的书面总结

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
“解：”一词书写在分组后的方程下方。
公式
观察依据
“Solution:”后书写“函数（们）”一词。
声音
观察依据
讲话者指出，微分方程的解是一个函数或一类函数。

图中对象

标注“Solution:”
文字“function(s)”

变化过程

板书内容从示例方程切换为对解的类型所作的简明口头定义。

不变量

此前的三道方程示例仍保留在上方可见区域。

数学含义

最后的板书笔记凝练了本片段的核心概念要点：求解微分方程意味着寻找函数，而非数值。

白板上的对比布局

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
屏幕被分为左右两部分：左侧为微分方程，右侧正在书写一个代数方程。

图中对象

微分方程模块
代数方程区块
光标

变化过程

教师在屏幕右侧书写代数方程及其解，而微分方程则静止保留在左侧。

不变量

左侧的微分方程三种形式在此片段中不发生变化。

数学含义

该视觉布局直接支持对两类方程及其各自解的概念性对比。

静态板书布局，用于引出该微分方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑色数字白板右上方标有标题“微分方程”，中间用大括号将三个黄色方程归为一组，下方附有注释“解：函数（或函数组）”。

图中对象

标题“微分方程”
用大括号归组的三个方程
方程 y''+2y'=3y
方程 f''(x)+2f'(x)= $3f(x)$
方程 $d^2y/dx^2+2dy/dx=3y$
注释“解：函数（或函数组）”

变化过程

版面布局在整个片段中始终可见，新内容从左侧逐步添加。

不变量

微分方程的三种展示形式始终保留在右侧。
标注“解：函数（们）”的文字始终位于方程下方。

数学含义

视觉组织将通式及其记号变体与左侧的演算验证过程分隔开来。

依次写出所提出的解及其各阶导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
手写绿色文字依次出现： $y_1(x)=e^{-3x}$ ，接着 $y_1$ '=-3e^{-3x}，再接着 $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ 。

图中对象

$y_1(x)=e^{-3x}$
$y_1$ '=-3e^{-3x}
y 下标 1 的二阶导数等于 9 乘以 e 的负 3x 次方
光标/笔迹运动

变化过程

首先写出所提出的解。
在其下方添加一阶导数。
二阶导数添加在一阶导数下方。

不变量

右侧的微分方程保持不变，而左侧的导数计算逐步构建完成。

数学含义

动画展示验证前的准备阶段：计算二阶方程所需的所有导数项。

按颜色编码将方程中的各项映射到已计算出的表达式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
粉色框标出 y'' 和 $y_1$ ''；蓝色框标出 2y' 和 $y_1$ '；代入式以彩色术语写出： $9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}$ 。

待核验内容

所用颜色名称仅为视觉近似，但高亮效果可区分对应项。

图中对象

y'' 外加方框
$y_1$ '' 外加方框
2y' 外加方框
$y_1$ ' 外加方框
代入表达式： $9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}$

变化过程

二阶导数项被高亮，并与 $9e^{-3x}$ 对应匹配。
一阶导数项被高亮显示，并与乘以 $6e^{-3x}$ 后的表达式匹配2。
右端项 3y 与 $3e^{-3x}$ 对应匹配。

不变量

原方程 y''+2y'=3y 仍作为代入操作的参考结构。

数学含义

视觉编码采用逐项代入的方式，而非整体重写，从而清晰表明每个计算所得表达式替换了微分方程中的哪一部分。

右侧固定显示的方程面板

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
屏幕右侧显示标题“微分方程”，其下用大括号将同一方程的三种等价形式归为一组。
图示
观察依据
在最上方的形式中，彩色方框分别以粉色高亮 y''、以蓝色高亮 2y'。

图中对象

标题：微分方程
三种归为一组的方程形式
用颜色高亮标出的项 y'' 和 2y'
文字：“解：函数（们）”

变化过程

该面板在整个片段中持续可见，而左侧则随着逐步代入运算实时更新。

不变量

所显示的微分方程本身不发生变化。
这三种形式始终作为等价表达式归为一组。

数学含义

右侧面板作为参考方程，用于逐一检验左侧的每个候选函数。

左侧对 $y_1$ 的完整验证过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
左侧显示 $y_1(x)=e^{-3x}$ ， $y_1$ '=-3e^{-3x}， $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ ，随后是代入行及化简后的恒等式，并附有对勾标记。
动画
观察依据
书写内容随讲解者口述计算过程逐步呈现。

图中对象

y 下标 $1(x)$ 等于 e 的负 3x 次方
y subscript 1 的导数等于负 3 乘以 e 的负 3x 次方
y 下标 1 的二阶导数等于 9 乘以 e 的负 3x 次方
代入行： $9e^{-3x} + -6e^{-3x} = 3e^{-3x}$
最终行： $3e^{-3x} = 3e^{-3x}$ ，后带对勾标记

变化过程

先写出导数行，再写出代入行，接着是化简后的等式，最后是确认标记。

不变量

在整个该子序列中，候选函数始终保持为 $y_1(x) = e^{-3x}$ 。

数学含义

视觉序列编码了证明结构：提出候选函数、求导、代入微分方程、化简、验证恒等式。

为 $y_2$ 增加第二个完整验证过程。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
在左上方中部附近新增一个模块： $y_2 = e^x$ ， $y_2$ ' = $e^x$ ， $y_2$ '' = $e^x$ 。
图示
观察依据
在左下方新增一行： $e^x + 2e^x = 3e^x$ 。
动画
观察依据
这些行出现在说话人引入第二个例子之后。

图中对象

y 下标 2 等于 e 的 x 次方
y 下标 2 的导数等于 e 的 x 次方
y 下标 2 的二阶导数等于 e 的 x 次方
代入式： $e^x + 2e^x = 3e^x$

变化过程

第二个候选解及其导数被添加在先前演算的上方。
在先前关于 $y_1$ 的验证下方，另写一行新的代入式。

不变量

右侧的微分方程保持不变。
$y_1$ 的首次验证结果仍保留在板书上。

数学含义

黑板上逐步积累多个已验证的解，以说明解的非唯一性。

易错点 · 7

切勿将微分方程的解与数值解混淆

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲话者明确提醒，解不仅仅是一个值或一组值。
公式
观察依据
板书写作“Solution: function(s)”

误区

微分方程像普通代数方程一样求解，仅得出数值。

说明

本片段中，主讲人指出解是一个函数，或是一类/一组函数，因为未知量本身就是一个函数，且以它及其导数的形式出现。

不同的导数记法并不一定意味着不同的方程。

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
解说员称这三个方程表达的是同一事物。
动画
观察依据
大括号将这三个不同记法的方程归为一组。

待核验内容

这一误解条目是分析者对视频所纠正要点的表述；视频并未明确将其标为误解。

误区

从 y'' 改为 f''(x) 或改为 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 会改变数学问题。

说明

该片段表明：当底层函数和变量相同时，这些记法是同一导数关系的替代表示。

混淆代数方程与微分方程的解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师对比两类解：‘这里的解是数字……而这里的解则是函数与其导数之间的一种关系。因此，解……将是一个函数，或一组函数。’

误区

误以为微分方程的解像代数方程一样是一个数字。

说明

代数方程的解是一个数值，而微分方程的解是一个函数（或一组函数）。

混淆微分方程的解与数值解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上明确在微分方程下方写出“解：函数（们）”。
声音
观察依据
主讲人将 $y_1(x)=e^{-3x}$ 视为待验证的函数，代入方程中检验。

误区

学习者可能期望微分方程的解是一个数，就像代数方程那样。

说明

视频通过视觉方式明确指出解是“函数（们）”，且所展示的例题通过将函数 $y_1(x)=e^{-3x}$ 及其各阶导数代入方程来验证该函数。

仅检查函数取值，而未检查所有导数项

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人请观众“求出 y₁ 的一阶导数和二阶导数，并验证它确实满足该微分方程。”
公式
观察依据
验证过程中使用了 $y_1$ ' 和 $y_1$ ''，而不仅使用 $y_1$ 。

误区

学习者可能认为，验证解只需代入函数 y 本身即可。

说明

由于方程中含有 y' 和 y''，视频在代入前先计算出 $y_1$ '=-3e^{-3x} 和 $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ 。

假设一个微分方程仅有唯一解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人明确指出： $y_1$ “并非该微分方程的唯一解”。
公式
观察依据
随后引入并验证第二个不同的解 $y_2 = e^x$ 。

误区

人们可能仅凭找到一个有效的函数，就推断该微分方程具有唯一解。

说明

该片段通过验证第二个不同的解，直接反驳了这一点，表明该方程至少有两个解。

将验证视为仅由教师执行的行为

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：‘我鼓励你再次暂停视频，并验证它确实是一个解。’

误区

学习者可能被动地观看代入过程，而非独立检验代数推导。

说明

视频明确提示观众暂停，并验证 $y_2=e^x$ 是否满足该断言。

概念关系 · 13

微分方程的一个例子 → 同一微分方程的函数记号形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，若 y 是 x 的函数，则该方程可用函数记法书写。
公式
观察依据
y'' + 2y' = 3y 被重写为 f''(x) + 2f'(x) = $3f(x)$ 。

等价

解释

一旦将 y 明确为 $f(x)$ ，函数记法形式即为素号记法示例的等价改写。

同一微分方程的函数记号形式 → 同一微分方程的莱布尼茨记法形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人将莱布尼茨记法作为书写同一方程的另一种方式引入。
公式
观察依据
第三行 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = 3y$ 被添加在其他形式下方。

等价

解释

莱布尼茨记号提供了同一微分关系的第三种等价表示形式。

微分方程的一个例子 → 微分方程的解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在讨论完成组的方程后，主讲人转而介绍这类方程的解是什么。
公式
观察依据
黑板上在例题下方写下“解：函数（或函数类）”。

应用

解释

这个微分方程示例引出了通义定义：求解此类方程意味着寻找函数，而非数值。

代数方程的定义 → 微分方程的定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师特意引入代数方程，以将其解的类型与微分方程的解进行对比。

对比

解释

代数方程具有数值解，而微分方程具有函数解。

用链式法则对指数型复合函数求导 → $y_1$ 的二阶导数推导过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者在推导 $y_1$ ' 时明确调用了链式法则，并对 $y_1$ '' 再次强调使用“完全相同的想法”。
公式
观察依据
公式 $y_1$ '=-3e^{-3x} 和 $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ 均源于对 $e^{-3x}$ 的求导。

证明依赖

解释

二阶导数的计算依赖于一阶导数所采用的链式法则方法。

通过代入法验证所提出的解 → 验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是否满足微分方程 y''+2y'=3y。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，现在可将已算得的表达式代入微分方程，以验证该解是否成立。
公式
观察依据
代入步骤中严格使用此前写出的 $y_1$ ' 和 $y_1$ '' 表达式。

应用

解释

在例题演算中，代入法被用于验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是否为解。

微分方程的解作为一个函数 → 验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是否满足微分方程 y''+2y'=3y。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写着“解：函数（们）”，随后给出 $y_1(x)=e^{-3x}$ 作为候选解。
声音
观察依据
讲解者称 $y_1(x)=e^{-3x}$ 为“一个解”。

应用

解释

该例题应用了微分方程解的定义：即满足该方程的函数。

同一微分方程的三种书写记号 → 声称 $y_1(x) = e$ ⁻3ˣ 满足该微分方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
大括号将以下三式归为一组：y''+2y'=3y、f''(x)+2f'(x)= $3f(x)$ ，以及 $d^2y/dx^2+2dy/dx=3y$ 。

待核验内容

这种等价性通过分组方式直观呈现；视频并未单独证明它。

包含

解释

验证声明使用了第一个展示的记号 y''+2y'=3y，它是该组等价记号形式中的一种。

正在讨论的微分方程的等价记法 → 微分方程的解作为函数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
所展示的三个方程在标题‘微分方程’下由一个大括号统一归组。

包含

解释

符号面板中包含应用解概念所针对的方程；这些归组形式是同一数学对象的不同写法，其解均为函数。

通过代入法验证所提出的解 → 例题：验证 $y_1(x)=e^{-3x}$

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
$y_1$ 示例遵循方法条目所述的‘计算导数、代入、化简’模式。

应用

解释

通用验证方法在第一个例题中实例化，其中 $y_1(x)=e^{-3x}$ 。

通过代入法验证所提出的解 → 例：验证 $y_2=e^x$

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
$y_2$ 示例再次计算导数、代入并化简为恒等式。

应用

解释

相同的验证方法第二次应用于 $y_2=e^x$ 。

例题：验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ → 该微分方程具有不止一个解。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在得出 $y_1$ 是一个解的结论后，主讲人立即指出它并非唯一解，并引入 $y_2$ 。

证明依赖

解释

首个经验证的例子确立了一个解，而随后的第二个例子则用于说明解的非唯一性。

问题定位 · 16

微分方程的一个简单例子是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
第一个示例方程 y'' + 2y' = 3y 被写出，并被命名为微分方程。

涉及知识点

微分方程的一个例子

在微分方程中，y''、f''(x) 和 $d^2y/dx^2$ 之间有何关联？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
三种等价形式依次上下排列显示。
声音
观察依据
讲述者解释函数记号与莱布尼茨记号。

涉及知识点

微分方程的一个例子
同一微分方程的函数记号形式
同一微分方程的莱布尼茨记法形式

为什么微分方程的解是函数而不是一个数？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，解是一个函数或一类函数，而不仅仅是一个数值。
公式
观察依据
黑板上写下“解：函数（或函数类）”。

涉及知识点

微分方程的解

代数方程的解与微分方程的解有何区别？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师明确讲解了解的类型差异。

涉及知识点

代数方程的定义
微分方程的定义

同一个微分方程为何能用不同的记法来书写？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
展示了同一微分方程的三种不同记法。

涉及知识点

微分方程的定义

黑板上正在引入哪一个微分方程？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上展示了 y''+2y'=3y 及其两种等价的记号形式。

涉及知识点

同一微分方程的三种书写记号
断言所展示的三个方程是记号上的变体。

为什么微分方程的解被描述为函数而非数字？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
“解：函数（们）”这一注释出现在方程下方。

涉及知识点

微分方程的解作为一个函数
混淆微分方程的解与数值解

如何求 $e^{-3x}$ 的一阶和二阶导数？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人讲解了 $e^{-3x}$ 的链式法则。
公式
观察依据
黑板上写出 $y_1$ '=-3e^{-3x} 和 $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ 。

涉及知识点

用链式法则对指数型复合函数求导
$y_1$ 的一阶导数的推导过程
$y_1$ 的二阶导数推导过程

如何验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 满足 y''+2y'=3y？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，应将导数表达式代入微分方程以验证解的正确性。
公式
观察依据
代入过程的算式为 $9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}$ 。

涉及知识点

通过代入法验证所提出的解
验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是否满足微分方程 y''+2y'=3y。
将 $y_1$ 及其各阶导数代入微分方程。

代入步骤中，不同颜色的方框分别代表什么含义？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
方框突出显示 y''、2y' 以及代入过程中计算出的对应项。

待核验内容

所用颜色的确切名称仅为近似描述。

涉及知识点

按颜色编码将方程中的各项映射到已计算出的表达式
通过代入法验证所提出的解

本片段中讨论的是哪个微分方程？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
右侧面板显示了微分方程 y''+2y'=3y 及其等价形式。

涉及知识点

正在讨论的微分方程的等价记法

如何验证一个给定函数是某个微分方程的解？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
两个例子均通过计算导数并代入原方程来完成。

涉及知识点

通过代入法验证所提出的解
例题：验证 $y_1(x)=e^{-3x}$
例：验证 $y_2=e^x$

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 引言叙述与标题强调；此时仅出现主题名称，尚无公式。

已覆盖 · 写出并识别第一个微分方程示例。

已覆盖 · 同一方程改写为函数记号形式。

已覆盖 · 同一方程改写为莱布尼茨记号形式。

已覆盖 · 将三种形式归为一组，并说明它们彼此等价。

已覆盖 · 该片段以定义微分方程的解收尾：解是一个函数，或一类函数。

已覆盖 · 本节内容通过将微分方程与代数方程对比，引出微分方程的概念，重点探讨其解的本质以及等价的记法形式。

已覆盖 · 黑板上已显示标题、微分方程的三种记号形式，以及‘解：函数（们）’。

已覆盖 · 写出待验证的解 $y_1(x)=e^{-3x}$ ，主讲人请观众暂停视频，自行计算一阶与二阶导数以完成验证。

已覆盖 · 利用链式法则推导出一阶导数 $y_1$ '=-3e^{-3x} 和二阶导数 $y_1$ ''= $9e^{-3x}$ 。

已覆盖 · 主讲人由导数计算自然过渡到说明：这些表达式将被代入原微分方程。

已覆盖 · 逐项代入得到 $9e^{-3x}+(-6e^{-3x})=3e^{-3x}$ ；最终代数化简结果 $3e^{-3x}=3e^{-3x}$ 可由当前显示的等式推出，但在本片段结束前未口头陈述。

已覆盖 · 该片段以右侧的微分方程面板开始，并完成对 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是一个解的验证。

已覆盖 · 主讲人通过指出第一个解并非唯一解来实现过渡，从而引出第二个例子。

已覆盖 · 引入第二个候选解 $y_2=e^x$ ，对其求导、代入原方程并验证，确认它也是该方程的一个解。

已覆盖 · 主讲人总结道，这只是初步介绍，并预告后续将讨论解的类型、求解方法及可视化等内容；除已展示的方程与解的概念外，未新增任何数学内容。

探索视频中的知识

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微分方程建模

微分方程介绍 | 一阶微分方程 | 可汗学院

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

本例中，什么才构成一个微分方程

撇号记法与函数记法

同一方程的莱布尼茨记法

记法可以改变，含义不会改变

微分方程的解是一个函数

微分方程 与之对比 代数方程

导数的等价记号

微分方程的解是函数

同一微分方程的三种记法

解是函数

候选解y1(x)=e−3xy_1(x)=e^{-3x}y1​(x)=e−3x

使用链式法则求一阶导数

重复使用链式法则求二阶导数

代入验证

以三种等价记法呈现的微分方程

微分方程的一个解是一个函数

验证方法：求导、代入、化简

例1：验证 y1(x)=e−3xy_1(x)=e^{-3x}y1​(x)=e−3x

解的非唯一性

例2：验证 y2=exy_2=e^xy2​=ex

暂停并验证提示

后续主题预览

详细学习笔记

y''

y'

y

f''(x)

f'(x)

f(x)f(x)f(x)

d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}dx2d2y​

dydx\frac{dy}{dx}dxdy​

x

y

x

f

微分方程的一个例子

同一微分方程的函数记号形式

同一微分方程的莱布尼茨记法形式

微分方程的解

微分方程的定义

代数方程的定义

同一微分方程的三种书写记号

微分方程的解作为一个函数

用链式法则对指数型复合函数求导

通过代入法验证所提出的解

对所显示方程的背景分类

正在讨论的微分方程的等价记法

所展示的三个方程表示同一关系。

所展示的微分方程所要求的内容

声称 y1(x)=ey_1(x) = ey1​(x)=e⁻3ˣ 满足该微分方程

断言所展示的三个方程是记号上的变体。

y1(x)=e−3xy_1(x)=e^{-3x}y1​(x)=e−3x 满足所展示的微分方程

该微分方程具有不止一个解。

y2=exy_2=e^xy2​=ex 满足所展示的微分方程。

将同一个微分方程改写为三种不同记号形式

求解代数方程

y1y_1y1​ 的一阶导数的推导过程

y1y_1y1​ 的二阶导数推导过程

将 y1y_1y1​ 及其各阶导数代入微分方程。

验证 y1(x)=e−3xy_1(x)=e^{-3x}y1​(x)=e−3x 满足微分方程 y''+2y'=3y

验证 y2=exy_2=e^xy2​=ex 满足微分方程 y''+2y'=3y。

演算示例：同一个微分方程在多种记号下的表达

微分方程的等价记法

验证 y1(x)=e−3xy_1(x)=e^{-3x}y1​(x)=e−3x 是否满足微分方程 y''+2y'=3y。

例题：验证 y1(x)=e−3xy_1(x)=e^{-3x}y1​(x)=e−3x

例：验证 y2=exy_2=e^xy2​=ex

示例前的标题强调

用大括号将等价形式纵向堆叠分组

关于“解”含义的书面总结

白板上的对比布局

静态板书布局，用于引出该微分方程

依次写出所提出的解及其各阶导数

按颜色编码将方程中的各项映射到已计算出的表达式

右侧固定显示的方程面板

左侧对 y1y_1y1​ 的完整验证过程

微分方程与之对比代数方程

候选解 $y_1(x)=e^{-3x}$

例1：验证 $y_1(x)=e^{-3x}$

例2：验证 $y_2=e^x$

$f(x)$

$\frac{d^2y}{dx^2}$

$\frac{dy}{dx}$

声称 $y_1(x) = e$ ⁻3ˣ 满足该微分方程

$y_1(x)=e^{-3x}$ 满足所展示的微分方程

$y_2=e^x$ 满足所展示的微分方程。

$y_1$ 的一阶导数的推导过程

$y_1$ 的二阶导数推导过程

将 $y_1$ 及其各阶导数代入微分方程。

验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 满足微分方程 y''+2y'=3y

验证 $y_2=e^x$ 满足微分方程 y''+2y'=3y。

验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是否满足微分方程 y''+2y'=3y。

例题：验证 $y_1(x)=e^{-3x}$

例：验证 $y_2=e^x$

左侧对 $y_1$ 的完整验证过程

为 $y_2$ 增加第二个完整验证过程。

用链式法则对指数型复合函数求导 → $y_1$ 的二阶导数推导过程

通过代入法验证所提出的解 → 验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是否满足微分方程 y''+2y'=3y。

微分方程的解作为一个函数 → 验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 是否满足微分方程 y''+2y'=3y。

同一微分方程的三种书写记号 → 声称 $y_1(x) = e$ ⁻3ˣ 满足该微分方程

通过代入法验证所提出的解 → 例题：验证 $y_1(x)=e^{-3x}$

通过代入法验证所提出的解 → 例：验证 $y_2=e^x$

例题：验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ → 该微分方程具有不止一个解。

在微分方程中，y''、f''(x) 和 $d^2y/dx^2$ 之间有何关联？

如何求 $e^{-3x}$ 的一阶和二阶导数？

如何验证 $y_1(x)=e^{-3x}$ 满足 y''+2y'=3y？