最值定理

1. 字幕依据
   观察依据

   定理文字中在‘若 f 连续……’以及‘$f(c_1)$’、‘$f(c_2)$’、‘$f(x)$’中均使用了 f。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说‘若函数 f 连续’，并反复提及 $f(a)$、$f(b)$、$f(c_1)$ 和 $f(c_2)$。

f

极值定理中所讨论的实值函数。

在定理陈述中，假设 f 在闭区间 [a,b] 上连续。

1. 字幕依据
   观察依据

   定理文字中写明‘闭区间 [a, b]’。

2. 图示
   观察依据

   在第一张图中，x 轴上标出了 a 和 b，作为所考虑区间的两个端点。

[a,b]

假设 f 连续且在其上寻求极值的闭区间。

a 和 b 是端点值；视频中将它们视为满足 $a < b$ 的实数。

1. 字幕依据
   观察依据

   定理文字中引入了‘[a, b] 中的数 $c_1$ 和 $c_2$’。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出存在 [a,b] 中的数 $c_1$ 和 $c_2$。

3. 图示
   观察依据

   在第一张图中，$c_1$ 位于 a 和 b 之间，并对应图中所示的最高点。

$c_1$

f 在该区间上取得其最大值的 [a,b] 中的一点。

$c_1 \in [a,b]$；在示例图像中，它严格位于 a 和 b 之间。

1. 字幕依据
   观察依据

   定理文字中引入了‘[a, b] 中的数 $c_1$ 和 $c_2$’。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出，$c_2$ 对应于使 $f(c_2)$ 成为 $f(x)$ 在该区间上最小值的 x 值。

3. 图示
   观察依据

   在第一幅图像中，$c_2$ 标记在右端点 b 处，说话者称此时 $f(c_2) = f(b)$。

$c_2$

函数 f 在区间 [a,b] 上取得其最小值的点。

$c_2 \in [a,b]$；在演算示例中，$c_2 = b$。

1. 声音
   观察依据

   说话者说：‘那么我们这边有 $f(a)$，那边有 $f(b)$。’

2. 图示
   观察依据

   第一幅图像在 y 轴上标出了 $f(a)$ 和 $f(b)$，表示区间端点处的函数值。

$f(a)$, $f(b)$

函数在区间端点 a 和 b 处的取值。

因 a、$b \in [a,b]$，故该定义成立。

1. 声音
   观察依据

   说话者说：‘存在一个 f(c₁)，它代表最大值’，随后又说：‘f(c₂)……是 $f(x)$ 的最小值’。

2. 图示
   观察依据

   第一幅图像将 $f(c_1)$ 标在 $f(a)$ 上方，而将 $f(c_2) = f(b)$ 标在 $f(a)$ 下方。

$f(c_1)$, $f(c_2)$

定理陈述与示例中，函数 f 在区间 [a,b] 上的绝对最大值与绝对最小值，分别对应。

$c_1$、$c_2$ 属于 [a,b]。

1. 图示
   观察依据

   出现两根手绘坐标轴；横轴标有 a、b、$c_1$、$c_2$，纵轴标有 $f(a)$、$f(b)$、$f(c_1)$、$f(c_2)$。

1. 坐标轴未明确标注变量名（如 x 和 y），但其作用可从所绘制的函数图像中清晰辨识。

horizontal axis / vertical axis

图像中呈现的输入值及其对应的函数值。

在区间上绘制函数 f 时，以视觉方式使用。

1. 公式
   观察依据

   f 出现在定理陈述中，如‘若 f 连续……’，以及表达式 $f(c_1)$、$f(a)$、$f(c_2)=f(b)$ 中。

2. 声音
   观察依据

   说话人称‘f 是一个连续函数’。

f

一个关于单变量 x 的实值函数。

定理假设中所用的闭区间 [a, b]；通常定义在包含 [a, b] 的某个区间上。

1. 公式
   观察依据

   [a, b] 出现在文本‘闭区间 [a, b]’中。

2. 图示
   观察依据

   标为‘a’和‘b’的点标记了两个图中横轴线段的端点。

a, b

定义该闭区间端点的实数，函数在该区间上被假定为连续。

$a < b$（由区间 [a, b] 的标准记法隐含）。

1. 公式
   观察依据

   $c_1$ 和 $c_2$ 出现在文本‘[a, b] 内的数 $c_1$ 和 $c_2$’以及表达式 $f(c_1)$、$f(c_2)$ 中。

2. 图示
   观察依据

   点 $c_1$ 标在横轴上，对应曲线的峰值；点 $c_2$ 标在靠近 b 处，对应函数的最小值。

$c_1$, $c_2$

函数分别在区间 [a, b] 内取得其绝对最大值与绝对最小值的具体点。

$c_1$、$c_2$ 属于区间 [a, b]。

1. 公式
   观察依据

   x 出现在文本“$f(x)$ 的值”中的表达式 $f(x)$ 里。

2. 图示
   观察依据

   横轴表示输入变量 x。

x

函数 f 的自变量。

区间 [a, b] 内的取值。

1. 字幕依据
   观察依据

   标题为“极值定理”。

2. 字幕依据
   观察依据

   文字内容为：“若 f 在闭区间 [a, b] 上连续，则存在 [a, b] 中的数 $c_1$ 和 $c_2$，使得 $f(c_1)$ 与 $f(c_2)$ 分别为该区间上 $f(x)$ 的最大值与最小值。”

3. 声音
   观察依据

   讲解者以基本相同的措辞朗读该定理。

本视频将极值定理表述为：对定义在闭区间上的连续函数，该函数必在该区间内某处取得最大值与最小值；该结论是一种保证。定理陈述明确将极值的存在性与两个前提条件相联系：函数的连续性，以及定义域为闭的有界区间 [a,b]。

1. f 在 [a,b] 上连续

2. ［a,b］是一个闭区间

3. $c_1$和$c_2$必须位于［a,b］内

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出$f(c_1)$是函数$f(x)$在该区间上的最大值，$f(c_2)$是最小值

2. 图示
   观察依据

   第一张图用$f(c_1)$标出最高点，用$f(c_2)=f(b)$标出最低点

该片段区分了函数值$f(c_1)$和$f(c_2)$与输入点$c_1$和$c_2$。该定理关注的是极值出现的位置（即c值）以及极值本身的大小（即$f(c)$值）。在本例中，最大值出现在区间内部一点，而最小值出现在端点处

1. 极值仅在x ∈ ［a,b］范围内进行比较

2. 取到最大值或最小值的点必须属于［a,b］

1. 极值定理的陈述

1. 声音
   观察依据

   主讲人称$c_1$‘介于a与b之间’，并说明在此情形下$f(c_2)$等于$f(b)$

2. 图示
   观察依据

   在第一张图中，$c_1$被画在严格介于a与b之间的位置，而$c_2$被置于b处

所展示的示意图表明，极值定理并不要求两个极值点都位于区间内部：其中一个可位于内部（$c_1$），另一个可位于端点（$c_2=b$）。这是一种解读极值定理图像的实用方法：先比较端点处的函数值与内部的峰、谷值，再确定整个区间上最大和最小的函数值

1. 适用于在闭区间 [a,b] 上检查连续函数的图像

2. 端点值 $f(a)$、$f(b)$ 必须纳入比较范围

1. 在指定区间上的最大值与最小值

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字：'若 f 在闭区间 [a, b] 上连续，则存在 [a, b] 中的数 $c_1$ 和 $c_2$，使得 $f(c_1)$ 和 $f(c_2)$ 分别为该区间上 $f(x)$ 的最大值与最小值。'

极值定理保证：定义在闭的、有界区间上的连续函数，必在该区间内某处取得绝对最大值和绝对最小值。这些极值分别出现在 [a, b] 中的特定点 $c_1$ 和 $c_2$ 处。

1. 函数 f 必须连续。

2. 定义域必须是闭区间 [a, b]。

1. 声音
   观察依据

   说话人说道：“……因此我们无法得出与 f 是连续函数时相同的结论。”

2. 图示
   观察依据

   右侧图像展示了一个不连续函数（跳跃间断），在所示线段上，不存在某个单一点 c 能像连续情形那样给出全局最大值或最小值。

本视频说明：若去掉连续性条件，极值定理的结论可能不成立。定义在闭区间上的不连续函数可能既达不到最大值，也达不到最小值（例如：函数值渐近趋近某个值，或在端点处发生跳跃且该端点被排除/开区间）。

1. 适用于分析不满足极值定理连续性假设的函数。

1. 极值定理陈述

1. 字幕依据
   观察依据

   完整定理文字显示在屏幕上。

2. 声音
   观察依据

   主讲人逐字或近乎逐字朗读定理陈述。

若 f 在闭区间 [a,b] 上连续，则存在 $c_1$ 和 $c_2$ 属于 [a,b]，使得 $f(c_1)$ 是 $f(x)$ 在该区间上的最大值，$f(c_2)$ 是 $f(x)$ 在该区间上的最小值。

1. f 在 [a,b] 上连续

2. [a,b] 是一个闭区间

对每个满足该假设的函数 f，均存在 $c_1$、$c_2 \in [a,b]$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘我们必须知道 f 是连续的，否则就无法得出相同的结论。’

2. 图示
   观察依据

   绘制第二个带空洞的图像，以说明若缺乏连续性，结论将不成立。

若函数在区间上不连续，则极值定理的结论可能不成立；视频通过一个存在“空洞”因而无最大值的不连续函数来说明这一点。

1. 该函数在所考虑的区间上不连续。

存在定义在〔a,b〕上的一个不连续函数，使得极值定理的结论不成立。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片上呈现的定理文字表述。

若函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f 在 [a, b] 内某点 $c_1$ 处取得绝对最大值 $f(c_2)$，且在 [a, b] 内某点 $c_1$ 处取得绝对最小值 f($c_2$ in [a, b].

1. f 在 [a, b] 上连续。

2. [a, b] 是一个闭区间。

对任意函数 f，（f 在 [a,b] 上连续 ⇒ 存在 $c_1$、$c_2 \in [a,b]$ ……）

1. 声音
   观察依据

   讲解者逐步分析一个例子：画出一个函数图像，标出端点 a 和 b，再标出 $f(a)$、$f(b)$、$f(c_1)$ 与 $f(c_2)$。

2. 图示
   观察依据

   第一幅手绘图像上依次标注了 a、b、$f(a)$、$f(b)$、$c_1$、$c_2$、$f(c_1)$ 以及 $f(c_2)=f(b)$。

1. 曲线的具体形状是随意的手绘风格，因此仅起示意作用，而非严格构造。

1. 公式

   $$$$
   解释

   在直角坐标系中画出一条连续曲线，并在 x 轴上标出区间端点 a 和 b。

   步骤依据

   这在具体图像中呈现了定理的前提条件：“在〔a,b〕上连续”。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   在 y 轴上标出端点处的函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$。

   步骤依据

   由于端点属于〔a,b〕，它们的函数值是极值的候选值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   在〔a,b〕内的图像上找出最高点，并将其函数值记为 $f(c_1)$，其中 $c_1$ 位于 a 与 b 之间。

   步骤依据

   根据该定理，最大值存在；图示表明，在本例中它出现在区间内部一点。

   视频直接表达
4. 公式

   $$f(c_2)=f(b)$$
   解释

   在区间 [a,b] 内找出图像上的最低点，并注意到在本例中它出现在右端点，因此 $c_2=b$。

   步骤依据

   最小值可能出现在端点处；图示明确揭示了这一点。

   视频直接表达

本例通过在 [a,b] 中展示一个 $c_1$ 和一个 $c_2$，其函数值分别等于该区间上的最大值和最小值，从而验证了该定理的结论。

1. 声音
   观察依据

   讲话者指出，若 f 不连续，则‘我们无法得出相同的结论’，接着描述了一个‘洞’，并说‘由于这是一个洞，我们不再具有最大值。’

2. 图示
   观察依据

   第二幅图像在区间 [a,b] 上绘制了一条曲线，但其上方某处缺失了一个点（即一个洞）。

1. 口述短语‘全体实数的集合没有洞’属于非正式说法；其意指的数学要点是：图示图像中缺失的 y 值，无法由该图像上的其他点来补足。

1. 公式

   $$$$
   解释

   在区间 [a,b] 上画出一个不连续的函数，其中某一点被省略，从而在本应达到的最高值处形成一个洞。

   步骤依据

   这违反了极值定理（EVT）的连续性假设。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   观察到图像趋近于那个缺失的高度，却始终未能真正达到它。

   步骤依据

   一个洞意味着函数可以取到任意接近该高度的值，但无法取到该高度本身。

   依据视频推导
3. 公式

   $$$$
   解释

   由此得出，本例中该区间上不存在最大值。

   步骤依据

   由于最高点缺失，且没有其他点能取而代之，因此函数在该区间上无法取到最大的函数值。

   视频直接表达

该反例表明，若去掉连续性条件，则绝对最大值的存在性可能不成立，因此极值定理（EVT）的前提条件并非可有可无。

1. 图示
   观察依据

   右侧图像描绘了一个具有跳跃间断点的函数。音频说明：此时无法得出极值定理的结论。

1. 跳跃点的具体坐标未以数字标出，仅作定性示意。

1. 公式

   $$\text{Graph of discontinuous function on } [a, b]$$
   解释

   考虑右侧图像所示的函数，它具有一个跳跃间断点。

   步骤依据

   由图中观察得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{No global max/min attained in standard manner}$$
   解释

   由于图像存在间断，函数可能趋近于上确界/下确界但永远无法达到，或者极值恰好落在间断所造成的‘空隙’中，从而违背极值定理（EVT）所保证的存在性。

   步骤依据

   音频讲解结合对线段开闭性质的视觉判断（尽管具体开点或闭点难以分辨，但跳跃现象暗示可能存在失效）。

   依据视频推导

若函数不连续，则极值定理关于极值必能取到的保证不再成立。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘例如，如果我们有一个函数，图像如下所示……’随后标出 a、b、$f(a)$、$f(b)$、$c_1$、$c_2$。

2. 图示
   观察依据

   第一幅手绘图像，标注了 a、b、$f(a)$、$f(b)$、$c_1$、$c_2$、$f(c_1)$、$f(c_2)=f(b)$。

1. 未给出该函数的显式表达式；该例子纯属图形化示意。

给定定义在 [a,b] 上的连续函数，示意其绝对最大值与绝对最小值所在的位置。

1. 定义在闭区间 [a,b] 上的一条连续曲线。

2. 端点标签为 a 和 b。

3. 标出了函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$。

找出 [a,b] 内的两点 $c_1$、$c_2$，使得 $f(c_1)$ 是 [a,b] 上的最大值，$f(c_2)$ 是 [a,b] 上的最小值。

1. 公式

   $$$$
   解释

   在x轴上标出区间端点a和b。

   步骤依据

   该定理适用于闭区间〔a,b〕。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   读出端点处的函数值$f(a)$和$f(b)$。

   步骤依据

   端点是极值候选点。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   在a与b之间的曲线上找到最高点，并将其x坐标记为$c_1$。

   步骤依据

   这实现了极值定理（EVT）所保证的最大值$f(c_1)$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$f(c_2)=f(b)$$
   解释

   在a与b之间的曲线上找到最低点；本图中该点为右端点，因此$c_2=b$。

   步骤依据

   最小值可能出现在端点，而非内部临界点。

   视频直接表达

该例子展示了$c_1\in (a,b)$，且$f(c_1)$为〔a,b〕上的最大值；同时$c_2=b$，且$f(c_2)=f(b)$为〔a,b〕上的最小值。

图像上的视觉排序显示：$f(c_1)$高于〔a,b〕上所有其他已绘制的函数值，而$f(c_2)=f(b)$低于〔a,b〕上其他所有已显示的函数值。

1. 声音
   观察依据

   主讲人给出一个不连续函数的例子，并指出由于存在空洞，故无最大值。

2. 图示
   观察依据

   第二幅手绘图像，在〔a,b〕上有一个空洞。

1. 空洞的精确位置和高度是示意性的，而非数值指定的。

展示当 [a,b] 上的连续性被取消时，极值定理（EVT）结论为何失效。

1. 一个定义在 [a,b] 上的函数图像

2. 图像上有一点缺失，导致顶部附近出现一个空洞

解释该函数为何未必能取到最大值。

1. 公式

   $$$$
   解释

   在 [a,b] 上画出一个函数，使其在本应达到最高点的位置缺失一点（即存在空洞）。

   步骤依据

   这会在区间内部造成一个不连续点。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   注意函数值趋近于那个缺失的高度，但永远不等于它。

   步骤依据

   空洞意味着对应的函数值未被取到。

   依据视频推导
3. 公式

   $$$$
   解释

   由此得出：此例中，该函数在 [a,b] 上不存在最大值。

   步骤依据

   若没有这个缺失的最高值，又没有更大的已被取到的值来替代它，则上确界无法实现。

   视频直接表达

这个不连续的例子在区间 [a,b] 上没有最大值，因为本应是最高点的值被空洞遗漏了。

图像明显缺少实现最高值所需的点，这与主讲人所解释的‘若不满足连续性，结论便不成立’相吻合。

1. 图示
   观察依据

   左侧图像显示函数在区间〔a〕,〔b〕上是一条光滑曲线，标出最大值点为$c_1$，最小值点为$c_2$（或端点b）。

找出定义在闭区间上的连续函数的极值点。

1. 函数f在区间〔a〕,〔b〕上连续。

2. 图像显示在$c_1$处有峰值，在$c_2$处（或b处）有最低点。

找出$c_1$和$c_2$，使得$f(c_1)$为最大值，$f(c_2)$为最小值。

1. 公式

   $$\text{Observe peak at } c_1$$
   解释

   图像上的最高点出现在$x = c_1$处。

   步骤依据

   对左侧图像进行视觉观察。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Observe trough at } c_2 \text{ (near } b)$$
   解释

   图像上的最低点出现在 $x = c_2$ 处。

   步骤依据

   通过目视检查左侧图像可知，$f(c_2) = f(b)$。

   视频直接表达

$c_1$ 是最大值点的位置；$c_2$ 是最小值点的位置。

与屏幕上显示的定理陈述相吻合。

1. 字幕依据
   观察依据

   黑色背景，白色标题“极值定理”，以及完整的定理文字。

1. 标题文字

2. 定理陈述文字

1. 无；幻灯片在此期间保持静止，主讲人朗读定理内容。

1. 定理文字在整个该时间段内持续可见。

此举在任何图形示意之前确立了定理的正式表述。

1. 图示
   观察依据

   先绘制坐标轴，再画出一条连续曲线，然后逐步添加标注：a、b、$f(a)$、$f(b)$、$c_1$、$c_2$、$f(c_1)$、$f(c_2)=f(b)$。

1. 部分手写标注单独看略难辨认，但其含义可通过音频确认。

1. 坐标轴

2. 连续曲线

3. 区间端点 a,b

4. 端点函数值 $f(a)$,$f(b)$

5. 内部极大值点 $c_1$

6. 端点极小值点 $c_2=b$

7. 最大值 $f(c_1)$

8. 最小值 $f(c_2)=f(b)$

1. 图像初始为空，随后依次添加坐标轴、曲线、端点标记、函数值标签、极值点标签。

1. 该曲线在 [a,b] 上保持连续。

2. 所考虑的区间始终为 [a,b]。

类动画的手写演示表明：闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值，其中最大值可能在内部取得，最小值可能在端点处取得。

1. 图示
   观察依据

   右侧绘制了第二个坐标系，其上有一条定义在区间〔a,b〕上的曲线，且在顶部附近可见一个空洞。

1. 该空洞的精确x坐标未用语言明确说明。

1. 第二个坐标轴

2. 定义在〔a,b〕上的曲线

3. 空洞／缺失的点

4. 标有a和b的标签

1. 在第一个例子之后引入了一幅新图像，并添加了一个缺失的点以展示不连续性。

1. 区间仍为〔a,b〕。

2. 该空洞仍未被图像所达到。

这一视觉变化将此前的连续情形与当前的不连续情形形成对比，表明当函数不连续时，极值定理（EVT）的结论可能不成立。

1. 图示
   观察依据

   两张并排的图像：左侧为一条带有极值标注的连续曲线；右侧为一条不连续的分段线性图像。

1. 左侧图像：光滑曲线，标有点 a、b、$c_1$、$c_2$，以及标签 $f(c_1)$、$f(a)$、$f(c_2) = f(b)$。

2. 右侧图像：两条带间隙（或跳跃）的线段，标有点 a、b。

1. 无（静态图像）。

1. 极值定理（EVT）的文字定义始终显示在图像上方且保持不变。

这种视觉并置旨在对比定理适用的情形（左侧）与定理前提不成立的情形（右侧），从而支持音频中所述观点：若函数不连续，则无法得出相同结论。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出：‘我们需要知道f是连续的，因为若非如此，就无法得出相同的结论。’

2. 图示
   观察依据

   第二个带空洞的图像被用作反例。

人们可能认为，只要定义在闭区间上的函数，就一定存在最大值和最小值，仅仅因为该区间是闭的。

视频表明连续性至关重要：一个带空洞的不连续函数可能在 [a,b] 上无法取到最大值。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，$c_1$ 位于 a 和 b 之间，但本例中 $f(c_2)$ 等于 $f(b)$。

2. 图示
   观察依据

   第一个图像将 $c_2$ 置于端点 b 处。

学习者可能预期 $c_1$ 和 $c_2$ 均为内点。

该例子表明，一个极值可出现在端点处；此处最小值出现在 $c_2=b$。

1. 声音
   观察依据

   ……因此我们无法得出与 f 是连续函数时相同的结论。

认为定义在闭区间 [a, b] 上的任意函数必定存在最大值和最小值。

极值定理明确要求函数连续。如右侧图像所示，且音频中已指出：不连续的函数可能无法达到这些最值。

1. 声音
   观察依据

   主讲人先将定理成立的前提与连续性联系起来，再画出一个不连续的反例。

2. 图示
   观察依据

   第二个带空洞的图像直接与第一个连续图像形成对比。

该反例通过说明：若去掉连续性这一条件，结论便不再成立，从而支持了该定理。

1. 图示
   观察依据

   第一张图在区间 (a,b) 内标出 $c_1$，并在点 b 处标出 $c_2$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人明确将区间内部的极大值点与端点处的极小值点进行对比。

该抽象定理在例题中得到应用，用以说明如何在闭区间上定位极值，包括端点情形。

1. 声音
   观察依据

   主讲人区分了 $f(c_1)$ 作为最大值，而 $c_1$ 是取得该最大值所对应的 x 值；同理区分 $c_2$ 及其对应值。

2. 图示
   观察依据

   该图分别标出了 x 值 a、b、$c_1$、$c_2$ 和 y 值 $f(a)$、$f(b)$、$f(c_1)$、$f(c_2)$。

理解该定理需区分极值 $f(c_1)$、$f(c_2)$ 与其取得位置 $c_1$、$c_2$。

1. 公式
   观察依据

   定理文字将‘连续’直接与点 $c_1$、$c_2$ 的存在性关联起来。

连续性是极值定理成立的必要条件（前提）。

1. 字幕依据
   观察依据

   定理陈述完整显示在屏幕上。

2. 声音
   观察依据

   主讲人朗读该陈述。

1. 极值定理的陈述
2. 在闭区间 [a,b] 上连续的函数必存在绝对最大值和绝对最小值

1. 图示
   观察依据

   第一张图在区间内部标出 $c_1$，并在 b 处标出 $c_2$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：$c_1$ 位于 a 与 b 之间，且在此情形下 $f(c_2) = f(b)$。

1. 极值可能出现在区间内部，也可能出现在端点处
2. 定义在闭区间 [a,b] 上的连续函数，其绝对最大值出现在区间内部，绝对最小值出现在端点处。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出需要连续性，并给出一个不连续的例子。

2. 图示
   观察依据

   第二个带空洞的图像展示了最大值结论的失效。

1. 连续性对得出该结论至关重要
2. 在区间 [a,b] 上存在空洞且无最大值的不连续函数
3. 误以为极值总是在闭区间 [a,b] 上存在，即使函数不连续。

1. 声音
   观察依据

   主讲人区分了 $c_1$、$c_2$ 与 $f(c_1)$、$f(c_2)$。

2. 图示
   观察依据

   图像分别标注 x 值和 y 值。

1. 在指定区间上的最大值与最小值
2. $c_1$
3. $c_2$
4. $f(c_1)$, $f(c_2)$

1. 公式
   观察依据

   定理陈述中列出了适用条件。

1. 极值定理陈述
2. 极值定理对连续性的必要性

1. 图示
   观察依据

   右侧图像展示了不连续性。

1. 极值定理对连续性的必要性
2. 连续函数与不连续函数的对比