博弈论：如何计算混合策略纳什均衡

1. 图示
   观察依据

   收益矩阵在参与者 1的“上”策略旁显示 (p)，1在参与者 1的“下”策略旁显示 (-p)。

2. 声音
   观察依据

   讲话者指出，参与者1以概率p选择“向上”策略，以概率1-p选择“向下”策略。

p

参与者1选择“向上”策略的概率。

对应的式子为：[0, 1]

1. 图示
   观察依据

   收益矩阵在参与者 2的“上”策略旁显示 (q)，1在参与者 2的“下”策略旁显示 (-q)。

2. 声音
   观察依据

   讲话者指出，参与者2以概率q选择“向上”策略，以概率1-q选择“向下”策略。

q

参与者2选择“向上”策略的概率。

对应的式子为：[0, 1]

1. 图示
   观察依据

   屏幕上显示表达式 $\pi_1$(UP) = $2q + 1 - q = q + 1$。

2. 声音
   观察依据

   讲话者将其解释为参与者1选择“向上”策略时的期望收益。

$\pi_1$(UP)

参与者1选择“向上”策略时的期望收益。

实数

1. 图示
   观察依据

   屏幕上显示表达式：$\pi_1$(DOWN) = $q + 4(1-q) = 4 - 3q$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将此解释为玩家1选择‘下’策略时的期望收益。

$\pi_1$(DOWN)

玩家1选择‘下’策略时的期望收益。

实数

1. 图示
   观察依据

   收益矩阵的左侧标注为玩家1，其行策略为“上”和“下”。

PLAYER 1

双人博弈中的第一位玩家；在“上”和“下”之间做出选择。

博弈论中的参与者

1. 图示
   观察依据

   收益矩阵的顶部标注为玩家2，其列策略为“上”和“下”。

PLAYER 2

双人博弈中的第二位玩家；在“上”和“下”之间做出选择。

博弈论中的参与者

1. 图示
   观察依据

   标有“上”的行标记为(p)，标有“下”的行标记为(1-p)。

2. 声音
   观察依据

   稍后说话者指出，这是使玩家2在“上”与“下”之间无差异的p值。

p

玩家1在混合策略中选择“上”的概率。

p 大于等于 0 且小于等于 1

1. 图示
   观察依据

   下方行标签为(1-p)，紧邻“下”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人使用 1-p 作为概率权重来计算参与者 2 的期望收益。

1-p

玩家1选择“向下”策略的概率。

0 小于等于 1 减 p，小于等于 1

1. 图示
   观察依据

   标记为“向上”的列标为(q)，标记为“向下”的列标为($1-q$)。

2. 声音
   观察依据

   说话者解方程 q＋1＝$4-3q$，得到 q＝3／4。

q

玩家2在混合策略中选择“向上”策略的概率。

q 大于等于 0 且小于等于 1

1. 图示
   观察依据

   右侧列标签为($1-q$)，紧邻“向下”标注。

2. 声音
   观察依据

   主讲人使用 1-q 作为概率权重来计算参与者 1 的期望收益。

1-q

玩家2选择“向下”策略的概率。

0 小于等于 1 减 q，小于等于 1

1. 图示
   观察依据

   矩阵左上角单元格显示为2,−3。

(2,-3)

当玩家1选择“向上”、玩家2也选择“向上”时的收益对；第一个数字是玩家1的收益，第二个数字是玩家2的收益。

矩阵中的收益项

1. 图示
   观察依据

   矩阵右上角的单元格显示1,2。

(1,2)

当参与者1选择向上、参与者2选择向下时的收益对。

矩阵中的收益项

1. 声音
   观察依据

   主讲人引入了混合策略的概念，即玩家以特定概率选择各个行动。

2. 图示
   观察依据

   收益矩阵中，在双方玩家的‘上’与‘下’策略旁，列出了概率 p、1-p、q 和 1-q。

混合策略是玩家所有可选纯策略上的一个概率分布。在本博弈中，玩家1以概率 p 选择‘上’，以概率 1-p 选择‘下’；玩家2以概率 q 选择‘上’，以概率 1-q 选择‘下’。

1. 每位玩家的概率之和必须为1。

2. 每个概率都必须介于0与1之间。

1. 声音
   观察依据

   主讲人通过将每种可能收益乘以其对应概率，再将所有结果相加，来计算期望收益。

2. 图示
   观察依据

   屏幕上展示了 $\pi_1$(UP) 和 $\pi_1$(DOWN) 的分步计算过程。

要计算某一纯策略对抗对手混合策略时的期望收益，需将每种可能结果的收益乘以对手选择对应行动的概率，再将这些乘积相加。

1. 需要知道所有结果的收益以及对手各策略的概率。

1. 混合策略

1. 图示
   观察依据

   矩阵的行标签为 (p) 和 (1-p)，列标签为 (q) 和 (1-q)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将这些标记称为概率，并在构建期望收益时加以使用。

在此例题中，每位玩家都在两种纯策略上进行随机化。玩家1以概率p选择“向上”，以概率1-p选择“向下”；玩家2以概率q选择“向上”，以概率1-q选择“向下”。这些概率在期望收益计算中被用作权重。

1. 双人博弈

2. 每位玩家均有两种纯策略

3. 每位玩家在其策略集上的概率之和为1

1. 公式
   观察依据

   对于玩家1：$\pi_1$(UP)=$2q+1-q$，且$\pi_1$(DOWN)=$q+4(1-q)$。

2. 公式
   观察依据

   对于玩家2：$\pi_2$(UP)=-3p+1-p，且$\pi_2$(DOWN)=$2p+p-1$。

一名玩家从某纯策略获得的期望收益，等于将每种可能结果的收益乘以对手选择对应纯策略的概率，再将各项相加。在本视频中，玩家1的收益以玩家2的概率q和1-q为权重；玩家2的收益以玩家1的概率p和1-p为权重。

1. 对手的策略分布已知，或正处于求解过程中

2. 收益值取自博弈矩阵中对应单元格

1. $2\times 2$博弈中的混合策略概率

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，应令两个期望收益相等，然后求解该混合概率。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $q+1=4-3q$，随后是 $1-4p=3p-1$。

为求出使某玩家愿意随机化的混合概率，需令该玩家在各纯策略下的期望收益相等。由此得到的方程可确定对手的概率，使得该玩家在两个行动之间无差异。

1. 被分析的玩家在支撑集内的两个纯策略之间必须无差异

2. 在混合均衡中，两个纯策略均被赋予正的概率

1. 期望收益是对手混合策略上的加权和

1. 声音
   观察依据

   讲话者说：“因此，这就是求解混合策略纳什均衡的方法。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上以红色方框显示已解出的概率 $q = 3/4$ 和 $p = 2/7$。

在本片段中，混合策略纳什均衡被表示为使双方玩家均愿意在其纯策略之间进行随机化的两个随机化概率所组成的数对。该例题的最终结果是玩家 $3/4$ 的 $q = 2$，以及玩家 $2/7$ 对于玩家 1。

1. 双人策略博弈

2. 每位玩家均可在纯策略上进行随机化

3. 通过使对手在所混合的策略之间无差异，来求得均衡概率

1. 声音
   观察依据

   讲话者解释道，$2/7$是使玩家2“对选择‘上’或‘下’无差异”的取值，因为“无论选哪个，我的期望收益都相同。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上列出等式 $1 - 4p = 3p - 1$，并解得 $p = 2/7$。

为求对手应采用的混合概率，令混合玩家在相关纯策略下的期望收益相等。在本例中，当 $p = 2$ 时，玩家 2 选择“上”的期望收益等于其选择“下”的期望收益，即 $2/7$。

1. 被施加无差异条件的玩家，必须在所列纯策略之间进行混合。

2. 期望收益的计算使用对手的混合概率。

1. 混合策略纳什均衡

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：$1 - 4p = 3p - 1$，接着得到 $2 = 7p$，再得 $2/7 = p$。

一旦写出两个期望收益表达式，便令其相等，并解所得的一次方程，以求出对手的混合概率。此处等式 $1 - 4p = 3p - 1$ 化简为 $2 = 7p$，因此 $p = 2/7$。

1. 收益表达式关于未知混合概率呈线性关系。

1. 混合玩家的无差异条件

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，为求得混合策略纳什均衡，我们需要找出使双方玩家对自己策略无差异的 p 和 q 的值。

在混合策略纳什均衡中，某玩家所选择的概率分布，必须使得对手在其所有以正概率采用的纯策略之间无差异。

1. 该博弈存在一个混合策略纳什均衡，其中双方玩家都在各自的两种策略之间进行随机化。

适用于混合策略纳什均衡中的所有玩家。

1. 公式
   观察依据

   黑板推导出 $q+1=4-3q$，接着是 $4q=3$，最后得 $q=3/4$。

2. 声音
   观察依据

   讲话者指出，当 $q=3/4$ 时，玩家1在选择‘上’或‘下’之间无差异。

对于本博弈，玩家1选择‘上’与‘下’的期望收益恰好相等当且仅当 $q=3/4$。

1. 玩家2以概率 q 选择‘上’，以概率 1-q 选择‘下’

2. 玩家1的收益取自所展示的收益矩阵

针对给定的 $2\times 2$ 收益矩阵。

1. 公式
   观察依据

   黑板上推导出 $1-4p=3p-1$，接着得到 $2=7p$，再解得 $p=2/7$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，这是使参与者2在“向上”与“向下”之间无差异的 p 值。

对于该博弈，玩家 2选择“上”与“下”的期望收益恰好相等当且仅当 $p =2/7$。

1. 参与者1以概率 p 选择“向上”，以概率 1-p 选择“向下”。

2. 参与者2的收益取自所展示的收益矩阵。

针对给定的 $2\times 2$ 收益矩阵。

1. 声音
   观察依据

   讲话者指出，$2/7$ 是使玩家2在“上”与“下”之间无差异的概率值。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示：$π_2$(上) = 1 - 4p，$π_2$(下) = 3p - 1，以及解 $p = 2/7$。

当玩家1以概率 $p = 2/7$ 选择“上”时，玩家2选择“上”的期望收益等于玩家2选择“下”的期望收益。

1. 使用黑板上所示的收益矩阵。

2. 计算玩家2针对玩家1的混合策略（p，$1-p$）的期望收益。

对于黑板上展示的具体博弈，在 $p = 2/7$ 时，等式 $\pi_2$(Up) = $\pi_2$(Down) 成立。

1. 声音
   观察依据

   主讲人口头推演了玩家1选择“上”策略时的期望收益计算过程。

2. 图示
   观察依据

   数学步骤按顺序呈现在屏幕上。

1. 公式

   $$\pi_1(UP) = 2q + 1(1-q)$$
   解释

   将参与者2在参与者2选择‘上’策略时的收益乘以概率q，并加上参与者1在参与者2选择‘下’策略时的收益乘以概率1-q。

   步骤依据

   期望值的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= 2q + 1 - q$$
   解释

   将1分配进括号内。

   步骤依据

   代数化简。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= q + 1$$
   解释

   合并同类项（$2q - q = q$）。

   步骤依据

   代数化简。

   视频直接表达

玩家1选择“向上”策略时的期望收益为 $q + 1$。

1. 声音
   观察依据

   讲解者口头逐步推导玩家1选择“向下”策略时的期望收益。

2. 图示
   观察依据

   数学步骤按顺序呈现在屏幕上。

1. 公式

   $$\pi_1(DOWN) = 1q + 4(1-q)$$
   解释

   将参与者1在参与者2选择‘上’策略时的收益乘以概率q，并加上参与者4在参与者2选择‘下’策略时的收益乘以概率1-q。

   步骤依据

   期望值的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= q + 4 - 4q$$
   解释

   将4分配进括号内。

   步骤依据

   代数化简。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= 4 - 3q$$
   解释

   合并同类项（$q - 4q = -3q$）。

   步骤依据

   代数化简。

   视频直接表达

玩家1选择“下”策略时的期望收益为4 - 3q。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $q+1=4-3q$，接着得到 $4q=3$，再解得 $q=3/4$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人叙述了在等式两边同时加上 3q、减去 1，再除以 4 的过程。

1. 公式

   $$q+1=4-3q$$
   解释

   令参与者1选择“向上”的期望收益等于参与者1选择“向下”的期望收益。

   步骤依据

   混合策略下的无差异条件。

   视频直接表达
2. 公式

   $$4q=3$$
   解释

   将含 q 的项移到等式一侧，常数项移到另一侧：等式两边同时加上3q，并同时减去1。

   步骤依据

   等式的代数变形。

   视频直接表达
3. 公式

   $$q=\frac{3}{4}$$
   解释

   等式两边同时除以4。

   步骤依据

   求解关于 q 的线性方程。

   视频直接表达

使玩家 2无差异的玩家 1的混合概率为 $q =3/4$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $π_2$(上) = -3p + $1 - p = 1 - 4p$。

2. 声音
   观察依据

   讲解人说明：-3的收益以概率 p 出现，而1的收益以概率1-p 出现。

1. 公式

   $$\pi_2(UP)=-3p+1(1-p)$$
   解释

   玩家 2 的收益 —3 以概率 p 加权，收益 1 以概率 1-p.

   步骤依据

   利用对手的混合策略定义期望收益。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\pi_2(UP)=-3p+1-p$$
   解释

   将1分配到 (1-p) 上。

   步骤依据

   代数化简。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\pi_2(UP)=1-4p$$
   解释

   合并关于 p 的同类项。

   步骤依据

   合并系数。

   视频直接表达

玩家2选择“向上”时的期望收益为1减去4p。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $π_2$(向下) = $2p + p - 1 = 3p - 1$。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出：收益2以概率 p 出现，而收益 -1以概率1减去 p 出现。

1. 公式

   $$\pi_2(DOWN)=2p+(-1)(1-p)$$
   解释

   玩家 2 的收益 2 以概率 p 加权，收益 −1 以概率 1-p.

   步骤依据

   利用对手混合策略定义期望收益。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\pi_2(DOWN)=2p+p-1$$
   解释

   将 (-1)(1-p) 展开为 p - 1。

   步骤依据

   乘法分配律。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\pi_2(DOWN)=3p-1$$
   解释

   合并关于 p 的同类项。

   步骤依据

   合并系数。

   视频直接表达

玩家2选择‘下’策略的期望收益为3p－1。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示1－4p＝3p－1，接着得到2＝7p，再解得p＝2／7。

2. 声音
   观察依据

   讲解者口述：在一侧加上4p，在另一侧加上1，再同时除以7。

1. 公式

   $$1-4p=3p-1$$
   解释

   令玩家2选择‘上’策略的期望收益等于玩家2选择‘下’策略的期望收益。

   步骤依据

   混合策略下的无差异条件。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2=7p$$
   解释

   将含p的项移至等式一侧，常数项移至另一侧：在等式两边同时加上4p，并在两边同时加上1。

   步骤依据

   对等式的代数整理。

   视频直接表达
3. 公式

   $$p=\frac{2}{7}$$
   解释

   等式两边同时除以7。

   步骤依据

   求解关于p的一元一次方程。

   视频直接表达

玩家的混合概率 1 使得参与者 2 无差异的概率为 $p = 2/7$.

1. 公式
   观察依据

   黑板列出了收益矩阵以及两个表达式：$\pi_2$(Up) = −$3p + 1 - p = 1 - 4p$ 和 $\pi_2$(Down) = $2p + p - 1 = 3p - 1$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将这些称为玩家2各选择的期望收益。

1. 该片段未口头逐一复述每一步乘法运算；公式均显示在黑板上。

1. 公式

   $$\pi_2(Up) = -3p + 1 - p$$
   解释

   玩家2选择“向上”所得收益，按玩家1选择“向上”和“向下”的概率进行加权。

   步骤依据

   期望收益是对应列中各项收益按其概率加权后的总和。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\pi_2(Up) = 1 - 4p$$
   解释

   合并含 p 的项。

   步骤依据

   代数化简：−$3p - p = -4p$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\pi_2(Down) = 2p + p - 1$$
   解释

   玩家2选择“向下”所得收益，按玩家1选择“向上”和“向下”的概率进行加权。

   步骤依据

   期望收益是对应列中各项收益按其概率加权后的总和。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\pi_2(Down) = 3p - 1$$
   解释

   合并含有 p 的项。

   步骤依据

   代数化简：$2p + p = 3p$。

   视频直接表达

博弈方获得 $\pi_2$(上)=1-4p 和 $\pi_2$(向下)=3p-1 作为玩家 2 针对玩家 1 的混合策略的期望收益。

1. 公式
   观察依据

   黑板显示 $1 - 4p = 3p - 1$，接着得到 $2 = 7p$，再得出 $2/7 = p$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出 $2/7$ 是使玩家2无差异的概率。

1. 公式

   $$1 - 4p = 3p - 1$$
   解释

   令玩家2选择“上”策略的期望收益等于玩家2选择“下”策略的期望收益。

   步骤依据

   玩家在这些纯策略之间进行混合时所满足的无差异条件。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2 = 7p$$
   解释

   将常数项移到等式一侧，将含 p 的项移到另一侧。

   步骤依据

   等式两边同时加上 4p，再同时加上 1。

   视频直接表达
3. 公式

   $$p = \frac{2}{7}$$
   解释

   解出 p。

   步骤依据

   等式两边同时除以 7。

   视频直接表达

黑板上展示的唯一解是 $p = 2/7$。

1. 图示
   观察依据

   绘制一个$2\times 2$收益矩阵，展示玩家1与玩家2在“上”和“下”所有策略组合下的收益。

分析给定的$2\times 2$博弈，求解混合策略纳什均衡。

1. 玩家1的策略：上、下

2. 玩家2的策略：上、下

3. 收益：（上，上）→（2，-3），（上，下）→（1，2），（下，上）→（1，1），（下，下）→（4，-1）

根据参与者 1的混合策略概率 q，计算参与者 2的纯策略的期望收益。

1. 公式

   $$\pi_1(UP) = 2q + 1(1-q) = q + 1$$
   解释

   计算玩家1选择“上”策略时的期望收益。

   步骤依据

   将期望值公式应用于玩家1在“上”行中的收益。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\pi_1(DOWN) = 1q + 4(1-q) = 4 - 3q$$
   解释

   计算玩家1选择“下”时的期望收益。

   步骤依据

   将期望值公式应用于玩家1在“下”行中的收益。

   视频直接表达

玩家1的期望收益为：选择“上”时是 $q + 1$，选择“下”时是 4 - 3q。

代数化简过程在屏幕上分步展示，与标准的期望值计算一致。

1. 图示
   观察依据

   展示一个$2\times 2$的收益矩阵，其中玩家1的行对应‘上’／‘下’，玩家2的列对应‘上’／‘下’。

2. 公式
   观察依据

   该博弈矩阵计算得：$π_1$(上) = $q + 1$，$π_1$(下) = 4 - 3q，$π_2$(上) = 1 - 4p，$π_2$(下) = 3p - 1。

3. 声音
   观察依据

   主讲人解出 $q = 3/4$ 与 $p = 2/7$，并将其解释为无差异概率。

已知所展示的 $2\times 2$ 博弈矩阵，求使双方玩家在‘上’与‘下’之间无差异的混合概率 p 和 q。

1. 玩家 1 的策略：以概率 p 选择‘上’，以概率 1-p 选择‘下’。

2. 玩家 2 的策略：以概率 q 选择‘上’，以概率 1-q 选择‘下’。

3. 矩阵收益为：（上，上）= (2, -3)，（上，下）= (1, 2)，（下，上）= (1, 1)，（下，下）= (4, -1)。

根据玩家 1 的无差异条件求解 q，根据玩家 2 的无差异条件求解 p。

1. 公式

   $$\pi_1(UP)=2q+1(1-q)=q+1$$
   解释

   计算参与者 1 选择“上”策略时的期望收益，使用参与者 2 的混合策略。

   步骤依据

   期望收益定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\pi_1(DOWN)=1q+4(1-q)=4-3q$$
   解释

   计算参与者 1 选择“下”策略时的期望收益，使用参与者 2 的混合策略。

   步骤依据

   期望收益定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$q+1=4-3q$$
   解释

   令参与者1的两个期望收益相等。

   步骤依据

   无差异条件。

   视频直接表达
4. 公式

   $$q=\frac{3}{4}$$
   解释

   解关于 q 的线性方程。

   步骤依据

   代数运算。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\pi_2(UP)=(-3)p+1(1-p)=1-4p$$
   解释

   计算参与者 2 选择“上”策略时的期望收益，使用参与者 1的混合策略。

   步骤依据

   期望收益定义。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\pi_2(DOWN)=2p+(-1)(1-p)=3p-1$$
   解释

   计算参与者 2选择‘下’时的期望收益，使用参与者 1的混合策略。

   步骤依据

   期望收益定义。

   视频直接表达
7. 公式

   $$1-4p=3p-1$$
   解释

   令参与者2的两个期望收益相等。

   步骤依据

   无差异条件。

   视频直接表达
8. 公式

   $$p=\frac{2}{7}$$
   解释

   解关于 p 的线性方程。

   步骤依据

   代数运算。

   视频直接表达

$q = 3/4$，且 $p = 2/7$。

代回求解：当 $q = 3/4$ 时，$π_1$(UP) = $q + 1 = 7/4$，且 $π_1$(DOWN) = $4 - 3q = 7/4$；当 $p = 2/7$ 时，$π_2$(UP) = $1 - 4p = 2/7$？实际上，$1 - 8/7 = -1/7$，且 $π_2$(DOWN) = $3p - 1 = 6/7 - 1 = -1/7$，因此等式成立。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示了一个 $2\times 2$ 的收益矩阵，其中玩家 1 对应行：以概率 p 选择“向上”，以概率 (1-p) 选择“向下”；玩家 2 对应列：以概率 q 选择“向上”，以概率 (1-q) 选择“向下”；矩阵元素依次为 (2, -3)、(1, 2)、(1, 1)、(4, -1)。

2. 公式
   观察依据

   已求得的值 $q = 3/4$ 和 $p = 2/7$ 用红色方框标出。

3. 声音
   观察依据

   讲话者总结道：“因此，这就是如何求出混合策略纳什均衡的方法。”

1. $q = 3/4$ 的推导过程在本片段开始前已在黑板上完成，因此本片段中未口述关于 q 的中间步骤。

求所展示的双人博弈的混合策略纳什均衡概率。

1. 收益矩阵元素为：（向上，向上）= (2, -3)，（向上，向下）= (1, 2)，（向下，向上）= (1, 1)，（向下，向下）= (4, -1)。

2. 玩家 1 以概率 p 选择“向上”，以概率 1-p 选择“向下”。

3. 玩家 2 以概率 q 选择“向上”，以概率 1-q 选择“向下”。

确定均衡混合概率 p 和 q。

1. 公式

   $$q = \frac{3}{4}$$
   解释

   黑板上已显示出玩家 2 的均衡混合概率。

   步骤依据

   先前计算出的结果显示在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\pi_2(Up) = -3p + 1 - p = 1 - 4p$$
   解释

   写出玩家2在对手玩家1采用混合策略时选择“向上”的期望收益。

   步骤依据

   根据矩阵第一列进行的期望收益计算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\pi_2(Down) = 2p + p - 1 = 3p - 1$$
   解释

   写出玩家2在对手玩家1采用混合策略时选择“向下”的期望收益。

   步骤依据

   根据矩阵第二列进行的期望收益计算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$1 - 4p = 3p - 1$$
   解释

   令玩家2在“向上”与“向下”之间无差异。

   步骤依据

   采用混合策略的玩家，其被混合的各策略所对应的期望收益必须相等。

   视频直接表达
5. 公式

   $$p = \frac{2}{7}$$
   解释

   求解关于玩家1混合概率的线性方程。

   步骤依据

   代数整理得$2 = 7p$，因此 $p = 2/7$。

   视频直接表达

所示的混合策略纳什均衡为 $q = 3/4$ ，对应玩家 2 ，且 $p = 2/7$ ，对应玩家 1。

将 $p = 2/7$代入所展示的收益公式：$\pi_2$(Up)=$1-4(2/7)=-1/7$ 且 $\pi_2$(Down)=$3(2/7)-1=-1/7$，因此玩家2确为无差异。

1. 动画
   观察依据

   当讲解者提到收益矩阵和方程中的特定文字与数字时，白色圆圈和下划线会出现在其周围。

1. 收益矩阵的单元格

2. 概率标签

3. 方程中的各项

1. 圆圈出现在“玩家1”、“玩家2”、“上”、“下”、“(p)”、“(1-p)”、“(q)”、“(1-q)”周围。

2. 当特定收益数值（2、1、4）被用于期望收益计算时，圆圈会出现在它们周围。

1. $2\times 2$收益矩阵的整体结构在整个视频片段中保持不变。

视觉高亮的作用是引导观众关注博弈中的特定组成部分，以及说话者正在积极讨论或计算的数学术语。

1. 图示
   观察依据

   屏幕是一块黑色数字白板，左侧为一个 $2\times 2$ 收益矩阵，右侧为手写的方程。

1. $2\times 2$ 收益矩阵

2. 玩家 1 的行标签

3. 玩家 2 的列标签

4. 手写的期望收益方程

5. 框出的最终结果：$q = 3/4$ 和 $p = 2/7$

1. 首先，右侧包含玩家 1 的收益公式以及 q 的解。

2. 约在 50 秒时，先前关于玩家 1 的演算被擦除，最终结果 $q = 3/4$ 被框出并置于顶部。

3. 随后，在下方写出玩家 2 的收益公式，并将 $p = 2/7$ 的解框出。

1. 收益矩阵本身始终可见。

2. 双方玩家的策略标签“上”和“下”始终保持固定。

视觉布局将两个子问题分开：先求解使玩家1无差异的对手混合策略，再求解使玩家2无差异的对手混合策略。

1. 动画
   观察依据

   在推导玩家2的收益时，每当引用到某个矩阵元素，该元素即被圈出。

1. （上，上）位置的矩阵元素为-3

2. （下，上）位置的矩阵元素为1

3. （上，下）位置的矩阵元素为2

4. （下，下）位置的矩阵元素为-1

5. 行概率为 p 和 1-p

1. 第-3 个元素在构造 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。的第一项时被圈出2(‘上’)。

2. 第1 个元素在左下角单元格中被圈出，用于添加 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。的第二项2(‘上’)。

3. 第2 个元素在右上角单元格中被圈出，用于开始计算 $\pi_2$（向下）。

4. The -1右下角单元格中的条目在完成 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。时被圈出2（向下）。

1. 矩阵结构与收益排序保持不变。

圈出操作在视觉上将每个代数项与期望值计算中所使用的精确收益单元格关联起来。

1. 图示
   观察依据

   整个片段中始终呈现黑板风格布局，左侧为收益矩阵，右侧为代数推导。

2. 公式
   观察依据

   围绕 $q = 3/4$ 和 $p = 2/7$ 的红色方框在整个片段中持续可见。

1. $2\times 2$ 收益矩阵

2. 行标签（p）：向上为 p，1向下为 (−p)，对应玩家 1

3. 列标签（q）：向上为 q，1向下为 (−q)，对应玩家 2

4. 用红色方框标出的结果：$q = 3/4$ 和 $p = 2/7$

5. 玩家2的期望收益方程

6. 线性方程 $1 - 4p = 3p - 1$ 及其解

1. 片段播放期间不出现任何新增书写内容。

2. 音频讲解将注意力转向 $p = 2/7$ 的含义，而板书内容保持不变。

1. 收益矩阵中的各项数值保持不变。

2. 屏幕上显示的均衡概率 $q = 3/4$ 和 $p = 2/7$ 始终保持高亮状态。

3. 玩家2无差异性的代数推导过程仍然清晰可见。

视觉呈现形式构成一个完整的例题演示：矩阵提供博弈数据，右侧代数推导得出玩家2的无差异条件，红色方框则总结均衡下的混合概率。

1. 声音
   观察依据

   说话者明确指出：玩家 1 对选择 Up 还是 Down 并不在意，因为两种选择的期望收益相同。

有人可能误以为令两个期望收益相等，就意味着该共同收益为零，或认为该玩家没有实质性的偏好结构。

在此例中，等式仅表示两种纯策略产生相同的期望收益。该公共值可以非零；此处为 $7/4$ 玩家 1 当 $q = 3/4$。

1. 公式
   观察依据

   求解玩家 1 的无差异方程以得到 q，求解玩家 2 的无差异方程以得到 p。

2. 声音
   观察依据

   说话者描述了如何找出使玩家 1 无差异的 q 值，以及如何找出使玩家 2 无差异的 p 值。

学习者可能错误地认为：玩家 1 的无差异条件决定了玩家 1 自身的概率 p。

在本视频展示的标准方法中，玩家1的期望收益取决于玩家2的混合策略q，因此求解玩家1的无差异条件可得q；同理，玩家2的期望收益取决于p，因此求解玩家2的无差异条件可得p。

1. 声音
   观察依据

   讲话者强调，$2/7$是使玩家2无差异的取值，因为此时选择任一策略所获得的期望收益相同。

人们可能认为，对手采取任意概率都能支撑混合策略。

在此例中，只有当 $p = 2/7$ 时，玩家2选择“上”与“下”的期望收益才相等，因此该概率被用于混合均衡中。

1. 声音
   观察依据

   说话者利用混合策略中定义的概率来计算期望收益。

混合策略（为纯策略分配概率）这一概念被直接用于计算各纯策略的期望收益。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出目标是找到使双方玩家无差异的概率，随后便开始计算期望收益，再令这些期望收益相等，从而确定这种无差异状态。

计算各纯策略的期望收益，是应用无差异原则求解混合策略纳什均衡所必需的前置步骤。

1. 公式
   观察依据

   概率p、$1-p$、q、$1-q$直接作为权重出现在期望收益表达式中。

必须先确定混合策略概率，才能将期望收益写成加权和的形式。

1. 公式
   观察依据

   在写出$π_1$(UP)、$π_1$(DOWN)、$π_2$(UP)和$π_2$(DOWN)之后，黑板通过令对应表达式相等来求解q和p。

无差异法仅在计算出期望收益函数之后才得以应用。

1. 公式
   观察依据

   由无差异条件导出方程$q+1=4-3q$，并解得$q=3/4$。

关于q的结论直接源于将无差异条件应用于玩家1的两个期望收益。

1. 公式
   观察依据

   由无差异条件导出方程$1-4p=3p-1$，并解得$p=2/7$。

关于p的结论直接源于将无差异条件应用于玩家2的两个期望收益。

1. 声音
   观察依据

   本片段完整演示了如何将混合策略求解流程应用于所显示的收益矩阵。

该例题具体展示了无差异法在$2\times 2$博弈中的实际应用。

1. 声音
   观察依据

   讲话者将无差异性计算直接关联到寻找混合策略纳什均衡的过程。

2. 公式
   观察依据

   黑板上展示了无差异方程及最终的均衡概率。

运用无差异法计算出达成混合策略纳什均衡所需的混合概率。

1. 公式
   观察依据

   黑板首先写出 $π_2$(上) = $π_2$(下)，然后求解方程 $1-4p = 3p - 1$，得到 $p = 2/7$。

求解步骤依赖于首先施加两个期望收益之间的无差异条件。

1. 声音
   观察依据

   说话者明确演示了如何计算某一给定策略的期望收益。

1. 期望收益计算
2. 玩家1选择“上”策略时的期望收益推导
3. 玩家1选择“向下”策略时的期望收益推导

1. 声音
   观察依据

   说话者解释道，求解混合策略纳什均衡需要使玩家在各自策略间无差异。

1. 混合策略纳什均衡中的无差异原则

1. 公式
   观察依据

   黑板求解方程$q+1=4-3q$，并将结果$q=3/4$框出。

1. 混合策略均衡的无差异条件
2. 使玩家1无差异的 q 值
3. 从参与者1的无差异方程中求解 q

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，应取两个期望收益并令它们彼此相等。

1. 混合策略均衡的无差异条件
2. 期望收益是对手混合策略上的加权和

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $π_2$(上)＝－3p＋1－p 和 $π_2$(下)＝2p＋p－1。

1. 期望收益是对手混合策略上的加权和
2. 计算玩家2选择“上”策略的期望收益。
3. 计算玩家2选择“向下”时的期望收益。

1. 公式
   观察依据

   玩家1的等式用于求解 q，而玩家2的等式用于求解 p。

1. 每个无差异方程均用于求解另一方的混合概率。
2. 混合策略均衡的无差异条件

1. 公式
   观察依据

   最终框出的结果为 q＝3／4 和 p＝2／7。

1. 使玩家1无差异的 q 值
2. 使参与者2无差异的 p 值
3. 例题：求一个 $2\times 2$ 博弈的混合策略概率。

1. 声音
   观察依据

   讲话者明确提问：值 $2/7$ 意味着什么？并回答：它使玩家2无差异。

1. 混合策略纳什均衡
2. 混合玩家的无差异条件
3. 玩家2在 $p = 2/7$ 时无差异。

1. 声音
   观察依据

   结尾处说道：“这就是如何求出一个混合策略纳什均衡。”

1. 混合策略纳什均衡
2. 混合玩家的无差异条件
3. 求解无差异方程。
4. 已讲解的 $2\times 2$ 博弈示例

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，由于无论选择哪条路径，期望收益都相同，因此玩家 2 是无差异的。

1. 混合玩家的无差异条件
2. 求解关于 p 的无差异方程。