梯度

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $f(x,y)=x^2\sin(y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“假设它是 f 关于 x、y 的函数，等于 x 的平方乘以 y 的正弦。”

$f(x,y)$

一个二元标量函数，用作计算梯度的示例。

二元实值函数；视频中未明确说明其定义域。

1. 公式
   观察依据

   x 出现在 $f(x,y)=x^2\sin(y)$、$\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin(y)$ 和 $\nabla f(x,y)$ 中。

2. 声音
   观察依据

   主讲人在对 x 求偏导时将 x 视为变量，在对 y 求偏导时将 x 视为常数。

x

该二元函数的第一个输入坐标／变量。

所展示的多元函数示例中的实变量；未明确说明其定义域。

1. 公式
   观察依据

   y 出现在 $f(x,y)=x^2\sin(y)$、$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(y)$ 和 $\nabla f(x,y)$ 中。

2. 声音
   观察依据

   主讲人在对 y 求偏导时将 y 视为变量，在对 x 求偏导时将 y 视为常数。

y

该二元函数的第二个输入坐标／变量。

所展示的多元函数示例中的实变量；未明确说明其定义域。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin(y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“f 对 x 的偏导数”，并解释 x 是变量、y 是常数。

$\frac{\partial f}{\partial x}$

f 对 x 的偏导数，此时 y 保持不变。

针对所展示的函数 $f(x,y)=x^2\sin(y)$ 定义；结果表示为 $2x\sin(y)$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“对 y 的偏导数”，并解释 x 被视为常数。

$\frac{\partial f}{\partial y}$

f 对 y 的偏导数，此时 x 保持不变。

针对所展示的函数 $f(x,y)=x^2\sin(y)$ 定义；结果表示为 $x^2\cos(y)$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $\nabla f$，随后写出 $\nabla f(x,y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“你用一个倒置的小三角形来表示它。这个符号名叫 nabla，但通常读作 del。”

$\nabla$

nabla／del 算子符号，用于表示梯度。

此处用作标量函数的梯度记号。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $\nabla f$ = [$2x\sin(y)$; $x^2\cos(y)$]。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“梯度的作用，就是把这两个量合在一起，组成一个向量。”

$\nabla f$

f 的梯度，写作一个向量，其分量为 f 的偏导数。

对于所展示的双变量例子，它输出一个二维向量。

1. 公式
   观察依据

   主讲人在 $\nabla f$ 后添加 (x,y)，得到 $\nabla f(x,y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“这实际上是一个向量值函数……这是一个以二维空间中的点为输入、输出二维向量的函数。”

$\nabla f(x,y)$

梯度被明确视作输入点 (x,y) 的函数。

在此例中，它以二维空间中的一个点为输入，输出一个二维向量。

1. 公式
   观察依据

   梯度写在大的方括号内，一个分量在另一个分量上方。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说梯度“把这两个量合在一起组成一个向量”，并提到“第一个”和“下面那个”。

[a;b]

黑板上采用列向量记号，将偏导数垂直堆叠。

本片段中用于二分量向量；主讲人还提到三变量情形下输出为三维向量。

1. 公式
   观察依据

   黑板下半部分起始为 $\nabla f$ = [$\frac{\partial f}{\partial x}$; ...]。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“任意函数的梯度都等于一个向量，其分量为该函数的偏导数，即 f 对 x 的偏导数。”

1. 最终的一般公式在片段结束前未完成；到结尾时仅可见顶部分量 $\frac{\partial f}{\partial x}$。

$\nabla f$ = [$\frac{\partial f}{\partial x}$; $\ldots$]

结尾处引入一般梯度记号：一个包含该函数各偏导数的向量。

适用于一般函数；本片段未完成全部分量的讲解。

1. 公式
   观察依据

   在顶部中央显示为 $f(x,y) = x^2 \sin (y)$。

$f(x,y)$

一个关于两个变量的标量值函数。

二维输入空间 (x,y)。

1. 公式
   观察依据

   用于 $f(x,y)$ 及对 x 的偏导数中。

x

该函数的第一个自变量。

实数。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“接下来我将讲解梯度。在本视频中，我仅介绍如何计算梯度；而在接下来的几个视频中，我将给出其几何意义。”

2. 图示
   观察依据

   左上方写有标题“梯度”。

本段明确指出当前课程聚焦于梯度的计算，而非解释其几何含义。主讲人将计算与后续的几何解释明确区分开来。

1. 仅适用于当前视频片段。

2. 几何意义推迟至后续视频讲解。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(x,y)=x^2\sin(y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“假设你有一个函数，我把它设为一个二元函数，例如 $f(x,y)$ 等于 x 的平方乘以 y 的正弦。”

本片段引入一个具体的二元函数作为梯度计算的演示范例。该函数依赖于变量 x 和 y，并将多项式因子 $x^2$ 与三角函数因子 $\sin(y)$ 相结合。

1. 该函数有两个输入变量：x 和 y。

2. 视频中未明确说明定义域。

1. 本片段范围：梯度的计算入门

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“梯度是一种将函数所有偏导数信息整合在一起的方式。”

2. 公式
   观察依据

   紧接着，黑板开始列出该示例函数的偏导数。

梯度在此处被操作性地定义为一个向量对象，其作用是将函数关于各输入变量的所有偏导数信息汇集于一体。在本片段中，即指收集关于每个输入变量的偏导数。

1. 针对多元函数提出。

2. 在该示例中，函数含有两个变量。

1. 示例标量函数 $f(x,y)=x^2\sin(y)$

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin(y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们视 x 为变量，y 为常数……x 的导数是2x，因此我们得到该结果为2x 乘以常数 sin y。”

对 $f(x,y)=x^2\sin(y)$ 关于 x 求偏导时，y 被视为常数，因此 $\sin(y)$ 也是常数。$x^2$ 的导数是2x，从而得到屏幕上显示的结果。

1. 关于 x 求导。

2. 令 y 保持不变。

3. 应用于函数 $f(x,y)=x^2\sin(y)$。

1. 示例标量函数 $f(x,y)=x^2\sin(y)$
2. 梯度作为偏导数信息的集合

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“x 被视为常数，因此 x 的平方也被视为常数……该常数乘以 cos y，而 cos y 是 sin y 的导数。”

对 $f(x,y)=x^2\sin(y)$ 关于 y 求偏导时，x 被视为常数，因此 $x^2$ 是常数。$\sin(y)$ 的导数是 $\cos(y)$，从而得到屏幕上显示的结果。

1. 关于 y 求导。

2. 令 x 保持不变。

3. 应用于函数 $f(x,y)=x^2\sin(y)$。

1. 示例标量函数 $f(x,y)=x^2\sin(y)$
2. 梯度作为偏导数信息的集合

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $\nabla f$ = [$2x\sin(y)$; $x^2\cos(y)$]。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“梯度的作用，就是将这两个偏导数合并成一个向量……第一个分量是关于 x 的偏导数……下方分量是关于 y 的偏导数。”

梯度由已计算出的偏导数组成，按顺序堆叠为一个向量。对于这个双变量示例，上方分量为 $\frac{\partial f}{\partial x}$，下方分量为 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

1. 本例中，该函数含有两个变量。

2. 各分量按 x 方向偏导、y 方向偏导的顺序排列。

1. f 关于 x 的偏导数
2. f 关于 y 的偏导数
3. 梯度作为偏导数信息的集合

1. 公式
   观察依据

   符号 $\nabla$ 写在 f 的前面。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“你用一个倒置的小三角形来表示它。这个符号的名字叫‘nabla’，但通常读作‘del’。你会读作‘del f’或‘f 的梯度’。”

梯度记作〔∇f〕。符号〔∇〕称为 nabla，但主讲人指出它常被读作“del”，因此〔∇f〕可读作“del f”或“f 的梯度”。

1. 用于表示一个函数的梯度。

1. 该示例函数的梯度，以列向量形式表示

1. 公式
   观察依据

   主讲人将左侧重写为〔∇$f(x,y)$〕。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“这实际上是一个向量值函数……它接收二维空间中的一个点，输出一个二维向量。”

该片段强调〔∇f〕不仅仅是一个静态的向量表达式，而是输入点的函数。在双变量例子中，它将二维空间中的点〔(x,y)〕映射为一个二维向量。

1. 输入是二维空间中的一个点〔(x,y)〕。

2. 在此例中，输出是一个二维向量。

1. 该示例函数的梯度，以列向量形式表示
2. 梯度的记号：〔∇f〕

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“你也可以想象对三个不同变量做这件事，那样就会有三个偏导数，并得到一个三维输出。”

主讲人指出，同样的构造可推广至两个以上变量：当有三个输入变量时，梯度将包含三个偏导数，并生成一个三维向量。

1. 适用于函数具有三个变量的情形。

2. 仅以口头方式陈述；本片段中未写出三变量公式。

1. 梯度作为输入点的向量值函数

1. 公式
   观察依据

   下方黑板开始书写〔∇f = [∂f/∂x; ...]〕。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“任意函数的梯度等于一个由其偏导数组成的向量，即 f 对 x 的偏导数。”

1. 一般梯度公式在本片段结束时尚未完成；截止前仅明确建立了第一个分量。

在本片段末尾，主讲人开始书写任意函数梯度的一般表达式——即由其偏导数组成的向量。可见且可听的部分确立了顶部分量〔∂f/∂x〕，但完整公式未在本段内完成。

1. 旨在作为具有多个变量的函数的一般性陈述。

2. 本片段未完整列出全部分量。

1. 梯度作为偏导数信息的集合
2. 梯度的记号：〔∇f〕

1. 公式
   观察依据

   展示梯度向量 ∇$f(x,y)$ 由 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y 构成。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“我们称这些为偏导数……我喜欢把梯度看作‘全导数’，因为它实际上涵盖了你所需的所有信息。”

标量函数 $f(x,y)$ 的梯度是一个向量，其各分量分别为 f 关于每个自变量的偏导数；记作 ∇f。

1. f 必须是关于多个变量的可微标量函数。

1. 计算偏导数

1. 公式
   观察依据

   显示 ∂f/∂$x = 2x \sin (y)$ 和 ∂f/∂$y = x^2 \cos (y)$。

求关于某一变量的偏导数时，将其他所有变量视为常数，并按常规方法求导。

1. 该函数必须关于正在求导的变量可微。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“梯度是一种将函数所有偏导数信息打包在一起的方式。”

对于多元函数，梯度是通过汇集该函数的偏导数信息所得的向量。

1. 该函数对其输入变量存在偏导数。

2. 本片段在双变量示例的背景下呈现此概念。

虽以一般函数形式陈述，但本片段仅以 $f(x,y)=x^2\sin(y)$ 为例进行演示。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“这是一个接收二维空间中一点并输出二维向量的函数。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\nabla f(x,y)=\begin{bmatrix}2x\sin(y)\\ x^2\cos(y)\end{bmatrix}$。

对于所展示的双变量函数，$\nabla f(x,y)$ 是一个向量值函数，其输入是二维空间中的一点，输出是一个二维向量。

1. 该函数有两个输入变量 x 和 y。

2. 梯度由黑板上显示的两个偏导数构成。

明确针对双变量示例陈述；主讲人另行提到了三变量类比。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“你也可以设想对三个不同变量做这件事，此时将得到三个偏导数和一个三维输出。”

1. 本片段中屏幕上未写出三变量公式。

若将相同构造应用于三元函数，则其梯度包含三个偏导数，并产生三维输出。

1. 该函数有三个输入变量。

2. 梯度由对每个变量分别求偏导数并汇总而成。

以口头陈述方式给出一般性推广，本片段中未写出具体示例。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin(y)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说明：x 是变量，y 是常数；$x^2$ 的导数为 2x。

1. 公式

   $$f(x,y)=x^2\sin(y)$$
   解释

   从给定的二元函数出发。

   步骤依据

   黑板上写出的示例函数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Treat } y \text{ as constant, so } \sin(y) \text{ is constant with respect to } x.$$
   解释

   在对 x 求偏导时，仅 x 变化。

   步骤依据

   讲解者所陈述的关于 x 的偏微分定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{d}{dx}(x^2)=2x$$
   解释

   对含 x 的因子进行求导。

   步骤依据

   讲解者口头引用的普通单变量求导的幂法则。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin(y)$$
   解释

   将 $x^2$ 的导数乘以常数因子 $\sin(y)$。

   步骤依据

   关于 x 的偏微分中的常数倍法则。

   视频直接表达

该示例函数关于 x 的偏导数为 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin(y)$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(y)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说明：x 被视为常数，且正弦函数的导数是余弦函数。

1. 公式

   $$f(x,y)=x^2\sin(y)$$
   解释

   再次从同一函数出发。

   步骤依据

   黑板上写出的示例函数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Treat } x \text{ as constant, so } x^2 \text{ is constant with respect to } y.$$
   解释

   在对 y 求偏导时，仅 y 变化。

   步骤依据

   对 y 求偏导数的定义，由主讲人给出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{d}{dy}(\sin(y))=\cos(y)$$
   解释

   对含 y 的因子求导。

   步骤依据

   正弦函数的标准导数，主讲人明确指出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(y)$$
   解释

   将常数因子 $x^2$ 乘以导数 $\cos(y)$。

   步骤依据

   对 y 进行偏微分时的常数倍法则。

   视频直接表达

该示例函数对 y 的偏导数为 $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(y)$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $\nabla f = \begin{bmatrix}2x\sin(y)\\ x^2\cos(y)\end{bmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称梯度“将这两个结果合成为一个向量”，其中对 x 的偏导在上方，对 y 的偏导在下方。

1. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin(y)$$
   解释

   使用先前算出的对 x 的偏导作为第一个分量。

   步骤依据

   已在黑板上由示例函数推导得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(y)$$
   解释

   使用先前算出的对 y 的偏导作为第二个分量。

   步骤依据

   已在黑板上由示例函数推导得出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\nabla f = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix}$$
   解释

   按先 x 后 y 的顺序，将偏导数填入列向量。

   步骤依据

   主讲人给出梯度的定义：梯度是收集所有偏导数信息的向量。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\nabla f = \begin{bmatrix} 2x\sin(y) \\ x^2\cos(y) \end{bmatrix}$$
   解释

   将已计算出的分量表达式代入该向量。

   步骤依据

   直接代入两个已推导出的偏导数。

   视频直接表达

对于 $f(x,y)=x^2\sin(y)$，其梯度为 $\nabla f = \begin{bmatrix} 2x\sin(y) \\ x^2\cos(y) \end{bmatrix}$。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上逐步演示函数 $f(x,y) = x^2 \sin (y)$ 的计算过程。

1. 公式

   $$f(x,y) = x^2 \sin(y)$$
   解释

   从给定的标量函数出发。

   步骤依据

   题目中已给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \sin(y)$$
   解释

   对 f 关于 x 求偏导数，将 y 视为常数。

   步骤依据

   偏微分的幂法则与常数倍法则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 \cos(y)$$
   解释

   对 f 关于 y 求偏导数，将 x 视为常数。

   步骤依据

   正弦函数的导数是余弦函数；$x^2$ 被视为常数系数。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\nabla f(x,y) = \begin{bmatrix} 2x \sin(y) \\ x^2 \cos(y) \end{bmatrix}$$
   解释

   将各偏导数组装成梯度向量。

   步骤依据

   梯度向量的定义。

   视频直接表达

函数 $f(x,y) = x^2 \sin (y)$ 的梯度为向量 [$2x \sin (y)$, $x^2 \cos (y)$]^T。

1. 公式
   观察依据

   黑板依次显示 $f(x,y)=x^2\sin(y)$，$\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin(y)$，$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(y)$，以及 $\nabla f(x,y)=\begin{bmatrix}2x\sin(y)\\ x^2\cos(y)\end{bmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人逐步讲解偏导数的计算过程，然后将其组装成梯度。

已知二元函数 $f(x,y)=x^2\sin(y)$，求其梯度。

1. $f(x,y)=x^2\sin(y)$

2. 该函数有两个变量：x 和 y。

3. 梯度由所有偏导数组成一个向量。

显式地求出 $\nabla f(x,y)$。

1. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial x}$$
   解释

   首先计算对 x 的偏导数。

   步骤依据

   讲解者指出，应先计算该函数的偏导数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin(y)$$
   解释

   将 y 视为常数，对 $x^2$ 求导得 2x，并将 $\sin(y)$ 作为常数因子保留。

   步骤依据

   运用偏微分法则与幂函数求导法则，如音频中所解释。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial y}$$
   解释

   接下来计算对 y 的偏导数。

   步骤依据

   讲解者从对 x 的偏导转向对 y 的偏导。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(y)$$
   解释

   将 x 视为常数，因此 $x^2$ 保持不变，再对 $\sin(y)$ 求导得 $\cos(y)$。

   步骤依据

   运用偏微分法则与正弦函数的标准导数公式，如音频中所解释。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\nabla f = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix}$$
   解释

   将两个偏导数组合成一个列向量。

   步骤依据

   梯度的定义即为将所有偏导数信息打包成一个向量。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\nabla f(x,y)=\begin{bmatrix}2x\sin(y)\\ x^2\cos(y)\end{bmatrix}$$
   解释

   代入已求得的分量，并强调梯度依赖于输入点 (x,y)。

   步骤依据

   直接代入前几步的结果；讲解者明确写出 (x,y) 以突出该向量值函数的依赖关系。

   视频直接表达

$\nabla f(x,y)=\begin{bmatrix}2x\sin(y)\\ x^2\cos(y)\end{bmatrix}$

该结果与黑板上最终表达式一致，且直接由前述两个已展示的偏导数得出。

1. 公式
   观察依据

   白板上展示完整解题过程。

计算函数 $f(x,y) = x^2 \sin (y)$ 的梯度向量 ∇f。

1. $f(x,y) = x^2 \sin(y)$

求 $\nabla f(x,y)$。

1. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 \sin(y)) = 2x \sin(y)$$
   解释

   计算关于 x 的偏导数。

   步骤依据

   偏微分的标准法则。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 \sin(y)) = x^2 \cos(y)$$
   解释

   计算关于 y 的偏导数。

   步骤依据

   偏微分的常规法则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\nabla f(x,y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x \sin(y) \\ x^2 \cos(y) \end{bmatrix}$$
   解释

   利用计算出的偏导数构造梯度向量。

   步骤依据

   梯度的定义。

   视频直接表达

$\nabla f(x,y) = \begin{bmatrix} 2x \sin(y) \\ x^2 \cos(y) \end{bmatrix}$

结果与黑板上写出的最终表达式一致。

1. 图示
   观察依据

   左上角出现标题“梯度”，随后在画面顶部中央附近写出公式 $f(x,y)=x^2\sin(y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将本节主题介绍为计算梯度，并选取了一个含两个变量的示例函数。

1. 标题文字“梯度”

2. 公式 $f(x,y)=x^2\sin(y)$

1. 黑板起初大部分为空白。

2. 首先写出标题。

3. 示例函数写在标题下方或右方。

1. 在此时间段内，主题始终是梯度。

2. 示例函数一旦写出即保持固定不变。

视觉布置表明，本片段将从一个具体的二元标量函数出发，逐步展开梯度的计算。

1. 图示
   观察依据

   在示例函数下方写出两行：$\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin(y)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人依次讲解两个偏导数，先对 x 求偏导，再对 y 求偏导。

1. 表达式 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin(y)$

2. 表达式 $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(y)$

1. 先写出对 x 的偏导数。

2. 再在其下方写出对 y 的偏导数。

1. 两个表达式均对应同一个原始函数 $f(x,y)=x^2\sin(y)$。

2. 变量顺序始终为 x 在前、y 在后。

黑板直观地分隔了两个后续将组合成梯度向量的成分计算。

1. 图示
   观察依据

   在右侧，黑板上先写出 $\nabla f$，然后是一个大型列向量，其上方为$2x\sin(y)$，下方为 $x^2\cos(y)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，梯度将两个偏导数整合为一个向量，并随后添加 (x,y) 以强调其向量值依赖性。

1. 符号 $\nabla f$

2. 列向量 \begin{bmatrix}$2x\sin(y)$\\ 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。{bmatrix)

3. 添加自变量 (x,y)

1. 引入梯度符号。

2. 画出向量括号。

3. 填入顶部成分 $2x\sin(y)$。

4. 填入底部成分 $x^2\cos(y)$。

5. 记号扩展为 $\nabla f(x,y)$。

1. 顶部成分对应于对 x 的偏导数。

2. 底部成分对应于对 y 的偏导数。

3. 原函数及其偏导数仍保留在左侧可见。

书写动画清晰表明：梯度并非一个全新且无关的量，而是对先前已计算出的偏导数进行的结构化封装。

1. 图示
   观察依据

   新起一行，以 $\nabla f$ = 和一个列向量开头，该列向量的顶部元素为 $\frac{\partial f}{\partial x}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“任意函数的梯度等于一个由其偏导数组成的向量，即 f 对 x 的偏导数。”

1. 一般形式的向量其余部分在片段结束前未完成书写。

1. 新行开始：$\nabla f$ =

2. 上分量：$\frac{\partial f}{\partial x}$

1. 注意力从具体例子转向一般公式。

2. 截断前仅写出了一般向量的第一个分量。

1. 记号仍使用 $\nabla f$。

2. 结构仍为一个由偏导数组成的向量。

结尾处视觉上从已演算的例子过渡到一般性规则：梯度是由偏导数组成的向量。

1. 图示
   观察依据

   静态布局，展示函数定义、偏导数、梯度公式以及倒三角算子（∇）的解释。

1. 函数 $f(x,y)$

2. 偏导数 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y

3. 梯度向量 ∇f

4. 倒三角算子 ∇

1. 初始状态显示已预先计算出的偏导数和梯度。

2. 主讲人写出 ∇f 的一般定义。

3. 主讲人将倒三角符号 ∇ 引入为一组算子构成的向量。

4. 主讲人将倒三角概念推广至更高维空间。

1. 具体示例 $f(x,y) = x^2 \sin (y)$ 始终可见。

2. 该示例所计算出的梯度保持不变。

视觉推演过程从具体的数值示例出发，逐步过渡到梯度的抽象算子定义，从而强化二者之间的联系。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我讨厌先展示计算再讲几何直观，因为通常顺序应该反过来；但梯度偏偏是那种怪东西——它的计算方式初看似乎与直观理解毫无关联。”

人们可能预期梯度的公式一出现就能立刻显现出其几何解释。

主讲人明确提醒：本例中计算过程与几何直观初看确实无关，二者之间的联系将在后续视频中讲解。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“或许我该强调，这实际上是一个向量值函数……它接收二维空间中的一个点，输出一个二维向量。”

2. 公式
   观察依据

   记号由 $\nabla f$ 修订为 $\nabla f(x,y)$。

学习者可能将 $\nabla f$ 读作一个单纯的向量表达式，而非输入点的函数。

该片段强调 $\nabla f(x,y)$ 是向量值的：每个输入点 (x,y) 都对应一个输出向量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人回答‘倒三角符号的维数是多少？’这一问题。

学生可能误以为倒三角符号（∇）在任何语境下都具有固定的维数。

倒三角向量的维数取决于它所作用的函数中独立变量的个数：对于一个2维函数，它有2个分量；对于一个3维函数，它有3个分量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将梯度定义为“打包”偏导数信息，并先计算偏导数，再构造 $\nabla f$。

2. 公式
   观察依据

   黑板内容从 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 过渡到 $\nabla f = \begin{bmatrix}2x\sin(y)\\ x^2\cos(y)\end{bmatrix}$。

该例中的梯度直接由先前算出的偏导数构建而成。

1. 公式
   观察依据

   梯度向量的下分量恰好就是先前写出的 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

y方向的偏导数提供了例题中梯度向量的第二个分量。

1. 声音
   观察依据

   在将二元函数的梯度描述为映射到二维向量之后，主讲人指出：对于三元函数，将有三个偏导数，并产生一个三维输出。

关于三元函数的表述，将同一梯度构造从两个输入变量与两个输出分量，推广到了三个输入变量与三个输出分量。

1. 公式
   观察依据

   黑板上首先展示了具体梯度 $\nabla f(x,y)=\begin{bmatrix}2x\sin(y)\\ x^2\cos(y)\end{bmatrix}$，随后开始书写下方更一般的表达式 $\nabla f$ = [$\frac{\partial f}{\partial x}$; ...]。

2. 声音
   观察依据

   主讲人从例题过渡到“任意函数的梯度”。

1. 该通用公式在本片段结束时仍未写完。

这个具体的二元函数例题引出了更一般的规则：梯度是由所有偏导数组成的向量。

1. 公式
   观察依据

   记号从 $\nabla f$ 变为 $\nabla f(x,y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释说，添加 (x,y) 是为了强调梯度是一个向量值函数。

记号 $\nabla f$ 被细化为 $\nabla f(x,y)$，以表明梯度依赖于输入点。

1. 公式
   观察依据

   梯度明确地由偏导数组成。

在构造梯度向量之前，必须先掌握如何计算偏导数。

1. 声音
   观察依据

   讲解者将倒三角符号（∇）直接与求梯度这一运算联系起来。

倒三角算子作用于一个标量函数时，产生该函数的梯度。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将梯度定义为把偏导数信息整合在一起，并由此从两个偏导数出发构造出梯度。

1. 梯度作为偏导数信息的集合
2. 该示例函数的梯度，以列向量形式表示

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin(y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释了将 y 视为常数。

1. f 关于 x 的偏导数
2. 对函数 $f(x,y)=x^2\sin(y)$ 求关于 x 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2\cos(y)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释了将 x 视为常数，并使用正弦函数的导数。

1. f 关于 y 的偏导数
2. 对函数 $f(x,y)=x^2\sin(y)$ 求关于 y 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

1. 公式
   观察依据

   梯度被写作 $\begin{bmatrix}2x\sin(y)\\ x^2\cos(y)\end{bmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说，梯度把各个偏导数整合进一个向量中。

1. 该示例函数的梯度，以列向量形式表示
2. 由两个偏导数组装梯度向量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将倒三角符号称为“nabla”，并说明它通常读作“del”。

1. 梯度的记号：〔∇f〕

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，梯度是一个向量值函数，输入一个点，输出一个向量。

1. 梯度作为输入点的向量值函数
2. 将 $\nabla f$ 视为唯一固定的向量

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，若函数有三个变量，则会有三个偏导数，输出为三维向量。

1. 梯度概念向三个变量的推广
2. 梯度的三变量类比

1. 公式
   观察依据

   仅写出了一般向量的开头部分，其顶部分量为 $\frac{\partial f}{\partial x}$。

1. 一般梯度公式的完整形式在本片段中未完成。

1. 一般梯度公式的起始部分

1. 公式
   观察依据

   屏幕上展示一个演算示例。

1. 梯度向量的定义
2. 计算偏导数
3. 示例：函数 $f(x,y) = x^2 \sin (y)$ 的梯度

1. 声音
   观察依据

   对三角形符号的解释。

1. 倒三角符号作为算子向量

1. 声音
   观察依据

   关于2维函数与3维函数的讨论。

1. 倒三角符号作为算子向量
2. 倒三角算子 ∇ 的维数