独立掷骰事件的概率计算｜Khan Academy

1. 公式
   观察依据

   字母 P 被用来表示概率。

P

事件的概率。

概率记号。

1. 公式
   观察依据

   短语“6 面骰子掷出偶数”写在 P 后面的括号内。

6 面骰子掷出偶数

掷一次公平的六面骰子得到偶数的事件。

概率记号中的事件描述。

1. 公式
   观察依据

   P(6 面骰子掷出偶数) = 3/6 = 1/2

P(6 面骰子掷出偶数)

在单次掷公平六面骰子时掷出偶数的概率。

[0, 1]

1. 公式
   观察依据

   P(连续 3 次掷出偶数)

P(3 次投掷均为偶数)

使用公平六面骰子连续三次掷出偶数的概率。

[0, 1]

1. 声音
   观察依据

   讲解通过总点数与偶数点数的计数来求概率。

2. 公式
   观察依据

   表达式 P(6 面骰子掷出偶数) = 3/6 被写出。

3. 图示
   观察依据

   数字 1 到 6 垂直列出，并且 2、4 和 6 被圈出。

对于有限且各基本结果等可能的样本空间，事件概率等于有利结果数除以总结果数。

1. 所有结果必须是等可能的。

1. 声音
   观察依据

   讲解在建立联合事件的计算前介绍各次投掷的独立性。

1. 本开头区间介绍独立性；完整视频在后续区间完成乘法计算。

如果一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率，则称这两个事件是独立的。

1. 三次投掷相互独立；骰子公平这一条件本身不能保证投掷之间独立。

1. 声音
   观察依据

   讲解用独立性来说明为何可以相乘各次投掷的概率。

本题采用三次投掷相互独立的模型：任意子集的联合事件概率等于对应事件概率的乘积。仅有两两独立不足以推出三事件的乘积公式。

1. 三次投掷相互独立；骰子公平这一条件本身不能保证投掷之间独立。

1. 公式
   观察依据

   P(连续 3 次掷出偶数) = P(6 面骰子掷出偶数) × P(6 面骰子掷出偶数) × P(6 面骰子掷出偶数)

2. 声音
   观察依据

   讲解在独立投掷模型下，把三次单次事件的概率写成乘积。

A、B、C 相互独立时，三者同时发生的概率等于各自边际概率的乘积。

1. A、B、C 相互独立；仅有两两独立不充分。

1. 独立事件

1. 声音
   观察依据

   计算数出六种可能点数，其中三种是偶数。

2. 公式
   观察依据

   方程 P(6 面骰子掷出偶数) = 3/6 = 1/2 被逐步写出。

3. 图示
   观察依据

   列出数字 1-6；2、4、6 被圈出以显示有利结果。

1. 公式

   $$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$
   解释

   识别掷标准六面骰子的所有可能结果。

   步骤依据

   六面骰子样本空间的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\{2, 4, 6\}$$
   解释

   识别满足偶数条件的结果。

   步骤依据

   问题陈述中指定的条件。

   视频直接表达
3. 公式

   $$P(\text{偶数}) = \frac{3}{6}$$
   解释

   通过将有利结果的数量除以总结果的数量来计算概率。

   步骤依据

   使用公平六面骰子：每个点数的概率相同。

   补充解释
4. 公式

   $$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
   解释

   简化分数。

   步骤依据

   算术简化。

   视频直接表达

公平六面骰子的六个等可能点数中有三个偶数，所以单次掷出偶数的概率为 1/2。

1. 公式
   观察依据

   = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8

2. 声音
   观察依据

   最终计算将三个二分之一相乘，得到八分之一。

1. 公式

   $$P(\text{三次均为偶数})=P(\text{偶数})\times P(\text{偶数})\times P(\text{偶数})$$
   解释

   应用独立事件的乘法法则。

   步骤依据

   三次投掷相互独立；骰子公平这一条件本身不能保证投掷之间独立。

   补充解释
2. 公式

   $$=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}$$
   解释

   将单次掷出偶数的概率 (1/2) 代入方程。

   步骤依据

   题目给定条件。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=\frac{1}{8}$$
   解释

   计算最终乘积。

   步骤依据

   算术计算。

   视频直接表达

在公平且三次相互独立的投掷模型下，三次全部为偶数的概率是 1/8。

1. 字幕依据
   观察依据

   开头要求求出编号为一至六的骰子连续三次均为偶数的概率。

2. 声音
   观察依据

   开头要求求出编号为一至六的骰子连续三次均为偶数的概率。

1. 本例的 0–74 秒准备区间尚未给出最后计算；完整视频后续区间给出结果。

求使用编号为 1 到 6 的六面骰子连续三次掷出偶数的概率。

1. 使用公平六面骰子：每个点数的概率相同。

2. 目标事件：3 次投掷每一次都出现偶数。

3. 三次投掷相互独立；骰子公平这一条件本身不能保证投掷之间独立。

确定目标事件在所有三次试验中发生的概率。

1. 公式

   $$P(\text{偶数}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
   解释

   计算单次投掷掷出偶数的概率。

   步骤依据

   将复合事件分解为更简单的单次试验事件。

   视频直接表达
2. 解释

   认识到这三次投掷是独立事件。

   步骤依据

   三次投掷相互独立；骰子公平这一条件本身不能保证投掷之间独立。

   补充解释

本准备区间得到单次概率 1/2，并建立独立投掷模型；最终乘积在后续区间给出。

六个等可能点数中有三个有利点数，3/6=1/2；这里核对的是单次投掷部分。

1. 字幕依据
   观察依据

   画面题目要求连续三次投掷中每一次都出现偶数。

2. 公式
   观察依据

   P(6 面骰子掷出偶数) = 3/6 = 1/2

3. 公式
   观察依据

   P(连续 3 次掷出偶数) = P(6 面骰子掷出偶数) × P(6 面骰子掷出偶数) × P(6 面骰子掷出偶数) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8

求使用编号为 1 到 6 的六面骰子连续三次掷出偶数的概率。

1. 使用公平六面骰子：每个点数的概率相同。

2. 单次掷出偶数的概率是 1/2。

3. 三次投掷相互独立；骰子公平这一条件本身不能保证投掷之间独立。

计算连续三次掷出偶数的概率。

1. 公式

   $$P(\text{三次均为偶数})=P(\text{偶数})\times P(\text{偶数})\times P(\text{偶数})$$
   解释

   由于掷骰子是独立事件，将单次掷出偶数的概率自乘三次。

   步骤依据

   三次投掷相互独立；骰子公平这一条件本身不能保证投掷之间独立。

   补充解释
2. 公式

   $$=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}$$
   解释

   代入给定的单次掷出偶数的概率。

   步骤依据

   题目给定条件。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=\frac{1}{8}$$
   解释

   执行乘法运算。

   步骤依据

   算术计算。

   视频直接表达

1/8

结果与白板上计算过程的视觉表示一致。

1. 动画
   观察依据

   数字 1 到 6 依次出现在垂直列表中。

2. 动画
   观察依据

   在数字 2、4 和 6 周围画圈。

1. 数字 1-6

2. 圆圈

1. 数字逐个出现。

2. 特定数字（2、4、6）用圆圈高亮显示。

1. 列表保持垂直。

2. 数字 1、3、5 保持未被圈出。

该视觉表示掷骰子的所有可能结果，并突出显示为偶数的结果子集。

1. 动画
   观察依据

   演示者使用虚线框高亮并多次复制粘贴术语 'P(6 面骰子掷出偶数)' 以构建乘法表达式。

1. 虚线框

2. 文本 'P(6 面骰子掷出偶数)'

1. 虚线框移动以包围该术语。

2. 该术语被复制并粘贴以形成更长的方程。

1. 该术语的值保持为 1/2。

这一视觉动作强调了对每个独立掷骰过程都乘以相同的概率。

1. 声音
   观察依据

   讲解在独立投掷的前提下，反驳用之前结果改变下一次概率的想法。

1. 原片简要提及这一误解，并未系统讨论有依赖的试验。

认为过去的独立事件会影响未来独立事件的概率。

在相互独立的投掷模型下，知道之前的结果不会改变下一次出现偶数的概率。公平性与独立性是两个不同的假设。

1. 声音
   观察依据

   讲解把单次概率计算衔接到重复投掷的独立性。

1. 完整视频在本开头区间之后推导乘法计算。

独立性提供了本例将三次概率相乘所用的模型前提。

1. 声音
   观察依据

   讲解将独立性用作本题乘积计算的模型前提。

相互独立是本例乘积计算所用的充分模型前提。

1. 公式
   观察依据

   推导出 P(6 面骰子掷出偶数) = 3/6 = 1/2。

1. 古典概率公式
2. 单次掷出偶数的概率推导

1. 声音
   观察依据

   讲解介绍各次投掷相互独立的假设。

1. 独立性

1. 字幕依据
   观察依据

   画面任务要求三次投掷每次都出现偶数。

1. 独立事件的乘法法则
2. 连续三次掷出偶数的概率

1. 声音
   观察依据

   讲解说明乘法步骤所用的独立性前提。

1. 独立事件
2. 独立事件的乘法法则