数学建模 / 英语

线性一阶常微分方程的积分因子法完整示例

Dr. Trefor Bazett · YouTube · 5:07

YouTube · Dr. Trefor Bazett原视频

视频中的要点

01一阶线性常微分方程的标准形式
02积分因子公式
03应用积分因子

来自学习笔记

y' + p(x)y = f(x)

一阶线性常微分方程的标准形式

选中时刻

积分因子简介

建议预备知识

一阶导数
不定积分
乘积求导法则
指数运算法则
乘积法则（求导）
积分因子的定义
基本不定积分法则

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阅读完整概览

本视频片段以初值问题 y' + $4y = e^{-x}$ ， $y(0) = 4/3$ 为例，介绍求解一阶线性微分方程的积分因子法。讲师首先识别出标准形式，接着计算积分因子 $r(x) = e^{4x}$ ，然后将整个方程两边同乘该因子，并开始化简左右两边，演示了左边如何变为乘积 $e^{4x}y$ 的精确导数。本视频片段演示了使用积分因子法求解一阶线性常微分方程的最后阶段。从精确导数形式 $d/dx[e^{4x}y] = e^{3x}$ 出发，教师对两边积分，得到通解 $y = 1/3 e^{-x}$ + Ce^{-4x}。教学中特别强调了积分常数（+C）的作用：在求积分因子时，该常数可省略；但在求解微分方程时，它不可或缺。最后，代入初始条件 $y(0) = 4/3$ ，确定 $C=1$ ，从而得到特解 $y = 1/3 e^{-x} + e^{-4x}$ 。

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章节

0:00积分因子简介 0:20线性常微分方程的标准形式 1:08计算积分因子 1:40对方程两边同乘积分因子 2:23利用乘积法则进行化简 2:45对两边同时积分 3:08积分常数的作用 3:38求通解 4:05应用初始条件 4:41最终特解

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

视频开头即介绍积分因子法，作为一种求解一阶线性微分方程的技术。黑板上给出的具体例子是初值问题 $y' + 4y = e^{-x}$ ，其初始条件为 $y(0) = \frac{4}{3}$ 。

讲师讲解了一阶线性方程的判定标准。通过在等式右边隐含地添加一个 $1$ ，该方程被视作 $1 \cdot y' + 4 \cdot y = e^{-x} \cdot 1$ 。由于 $y'$ 、 $y$ 和 $1$ 的系数均为关于 $x$ 的函数，且所有变量均呈一次幂，因此它符合标准形式。其中 $y$ 的系数被标记为 $p(x)$ ，即 $4$ ；而等式右边被标记为 $f(x)$ ，即 $e^{-x}$ 。

接着，给出了积分因子的公式： $r(x) = e^{\int p(x) dx}$ 。对本题代入 $p(x) = 4$ 后得到 $r(x) = e^{\int 4 dx} = e^{4x}$ 。讲师说明，积分常数被省略，因为任意一个有效的积分因子均可使用，故为简便起见选取 $C=0$ 。

该方法的核心步骤随即展开：将原微分方程各项同乘积分因子 $e^{4x}$ ，从而得到方程 $e^{4x}y' + 4e^{4x}y = e^{4x}e^{-x}$ 。右边则利用指数运算法则化简为 $e^{3x}$ 。

最后，讲师聚焦于左边表达式 $e^{4x}y' + 4e^{4x}y$ 。他指出，该式恰好是将乘积法则应用于 $e^{4x}y$ 的导数后所得的结果。因此，左边被重写为 $\frac{d}{dx}[e^{4x}y]$ ，为后续直接积分做好准备。

我们从左侧为全导数形式的方程开始： $d/dx[e^{4x}y] = e^{3x}$ 。为求出 y，我们对等式两边关于 x 积分。

左侧的导数积分相互抵消，仅剩下 $e^{4x}y$ ；右侧则计算 $e^{3x}$ 的不定积分，结果为 ( $1/3$ ) $e^{3x}$ 。

关键在于，我们必须在右侧加上积分常数 +C。虽然此前求积分因子时可忽略常数，但求解微分方程时必须保留由 C 表示的通解族。

现在我们得到 $e^{4x}y = (1/3)e^{3x} + C$ 。为解出 y，我们将整个等式两边同乘 $e^{-4x}$ 。分配该因子后，得到通解： $y = (1/3)e^{-x}$ + Ce^{-4x}。

接下来，我们代入题目所给的初始条件： $y(0) = 4/3$ 。将 $x=0$ 和 $y=4/3$ 代入通解，即可解出常数 C 的具体取值。

方程变为 $4/3 = (1/3)e^{0}$ + Ce^{0}。由于 $e^{0} = 1$ ，该式简化为 $4/3 = 1/3 + C$ 。两边同时减去 $1/3$ ，得 $C = 1$ 。

最后，将 $C=1$ 代回通解，即得特解： $y = (1/3)e^{-x} + e^{-4x}$ 。至此，本初值问题的积分因子法求解完毕。

知识卡片

一阶线性常微分方程的标准形式

一阶线性微分方程可写成 $y' + p(x)y = f(x)$ 的形式。在此形式中，因变量 $y$ 及其导数 $y'$ 仅以一次幂出现，且它们的系数 $p(x)$ 和 $f(x)$ 仅为自变量 $x$ 的函数。

y' + p(x)y = f(x)

积分因子公式

积分因子 $r(x)$ 定义为 $p(x)$ 的不定积分的指数函数。计算时，通常将积分常数设为零，因为任意非零常数倍的积分因子同样有效。

r(x) = e^{\int p(x) dx}

应用积分因子

为求解该微分方程，将等式两边每一项都乘以积分因子 $r(x)$ 。这使得左边变为乘积 $r(x)y$ 的精确导数，从而可直接对两边关于 $x$ 进行积分。

\frac{d}{dx}[r(x)y] = r(x)f(x)

对导数一侧积分

当求解形如 $d/dx[μ(x)y] = g(x)$ 的方程时，对等式两边关于 x 积分可消去左侧的导数，从而得到 $μ(x)y$ 。这依赖于微积分基本定理。

\int \frac{d}{dx}[\mu(x)y] dx = \mu(x)y

指数函数的积分

对具有线性指数的指数函数进行积分的标准法则为 $\int e$ ^{kx} $dx = (1/k)e$ ^{kx} + C。本例中， $k=3$ 。

\int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C

何时添加 +C

求积分因子时可以省略积分常数，因为任意非零倍数均可使用；但在对微分方程本身进行积分以定义通解空间时，积分常数是必需的。

从通解中解出 y

积分后得到方程 $μ(x)y = \int$ ... + C。为解出 $y(x)$ ，需在等式两边同乘 $1/μ(x)$ （或 $e^{-\int P(x)dx}$ ），并进行分配运算。

y = \frac{1}{\mu(x)} \left[ \int \mu(x)f(x) dx + C \right]

利用初始条件求解 C

将给定的 $x_0$ 和 $y_0$ 值代入通解，解所得的代数方程，求出满足初始状态的具体常数 C。

y(x_0) = y_0 \rightarrow C = \dots

特解

初值问题（IVP）的最终答案，是将计算出的 C 代回通解后所得的具体函数。

y = \frac{1}{3}e^{-x} + e^{-4x}

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 15

y'

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示的方程为 y' + $4y = e^{-x}$ ，其中 y' 出现在方程中。

符号

含义

未知函数 y 关于 x 的导数。

适用范围

x 的函数

y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示的方程 y' + $4y = e^{-x}$ 及初始条件 $y(0) = 4/3$ 中均出现了 y。

符号

含义

待求解的未知因变量或函数。

适用范围

x 的函数

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上在 $e^{-x}$ 、 $p(x)$ 、 $f(x)$ 和 $r(x)$ 中均将 x 标为自变量。

符号

含义

自变量。

适用范围

实数

$p(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
教师将 $p(x)$ 写在系数下方4 在方程 y' + $4y = e^{-x}$ 中。
声音
观察依据
教师指出，y 的系数函数通常记作 $p(x)$ 。

符号

$p(x)$

含义

一阶线性微分方程标准形式中 y 的系数函数。

适用范围

关于 x 的函数

$f(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
教师在等式右侧的 $e^{-x}$ 下方写下 $f(x)$ 。
声音
观察依据
教师指出，该系数函数被称为 $f(x)$ 。

符号

$f(x)$

含义

一阶线性微分方程标准形式中的非齐次项或激励函数。

适用范围

关于 x 的函数

$r(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
教师写出 $r(x) = e^{\int p(x) dx}$ 。
声音
观察依据
教师将 $r(x)$ 称为积分因子。

符号

$r(x)$

含义

用于求解一阶线性微分方程的积分因子。

适用范围

关于 x 的函数

e

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在 $r(x) = e^{\int p(x) dx}$ 中，自然指数函数的底数写作 e。

符号

含义

自然对数的底数。

适用范围

数学常数

$\int$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
积分号 $\int$ 用于积分因子的表达式中。

符号

$\int$

含义

不定积分算子。

适用范围

微积分算子。

dx

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
微分 dx 写在积分因子公式中积分的末尾。

符号

含义

表示对 x 积分的微分。

适用范围

微积分记号。

$\frac{4}{3}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
初始条件写作 $y(0) = 4/3$ 。

符号

$\frac{4}{3}$

含义

函数 y 在 $x = 0$ 处的初始值。

适用范围

有理数。

$\frac{d}{dx}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
算子 $\frac{d}{dx}$ 被写在黑板上，表示对 x 求导。

符号

$\frac{d}{dx}$

含义

对 x 的导数算子。

适用范围

微积分算子。

y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
符号 y 在解题过程中始终作为因变量出现，例如在表达式 $e^{4x}y$ 和 $y(0)=4/3$ 中。

符号

含义

一阶线性常微分方程的因变量（未知函数）。

适用范围

关于 x 的函数

知识点 · 9

一阶线性微分方程的标准形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师解释，该方程是一个一阶线性微分方程，因为 y'、y 和 1 的系数都是关于 x 的函数。
公式
观察依据
讲师将 y 的系数标记为 $p(x)$ ，将等式右边标记为 $f(x)$ 。

定义

解释

一阶线性微分方程具有 y' + $p(x)y = f(x)$ 的形式，其中因变量 y 及其导数 y' 均以一次幂出现，且它们的系数均为自变量 x 的函数。

公式

y' + p(x)y = f(x)

适用条件

该方程必须是一阶的（最高阶导数为 y'）。
该方程必须关于 y 和 y' 是线性的（即 y 和 y' 均为一次幂，且不相乘）。

积分因子的公式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师给出积分因子的公式。
公式
观察依据
讲师写出 $r(x) = e^{\int p(x) dx}$ 。

公式

解释

积分因子 $r(x)$ 通过对系数函数 $p(x)$ 求不定积分后再取指数得到。通常省略积分常数，因为任意一个有效的积分因子均可使用。

公式

r(x) = e^{\int p(x) dx}

适用条件

微分方程必须化为标准形式 y' + $p(x)y = f(x)$ 。

先修条目

一阶线性微分方程的标准形式

用积分因子乘微分方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师解释，该方法需将方程每一项都乘以积分因子。
公式
观察依据
教师写出： $e^{4x}y$ ' + $e^{4x}4y = e^{4x}e^{-x}$ 。

方法

解释

为应用积分因子法，需将标准形式的微分方程两边同乘已求出的积分因子 $r(x)$ 。

公式

r(x)y' + r(x)p(x)y = r(x)f(x)

适用条件

积分因子 $r(x)$ 必须由 $p(x)$ 正确计算得出。

先修条目

积分因子的公式

对导数进行积分

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“现在我要进行积分，这样左边就得到 e 的4x 次方乘以 y；我这里做的只是对一个导数进行积分，因此它会相互抵消。”
公式
观察依据
黑板显示从 $d/dx[e^{4x}y] = e^{3x}$ 过渡到 $e^{4x}y = \int e^{3x}dx$ 。

方法

解释

当对等式两边同时关于 x 积分时，导数的积分会相互抵消，从而剩下原函数。此处， $\int (d/dx)[e^{4x}y] dx = e^{4x}y$ 。

公式

\int \frac{d}{dx}[f(x)] dx = f(x)

适用条件

被积函数必须是关于积分变量的全导数。

指数函数的积分

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“这等价于 e 的3x 次方关于 x 的积分，结果是三分之一乘以 e 的3x 次方。”
公式
观察依据
黑板显示 $\int e^{3x}dx = 1/3 e^{3x} + C$ 。

公式

解释

指数函数 e^{kx} 的不定积分是 ( $1/k$ )e^{kx} 加上一个积分常数。

公式

\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C

适用条件

k 是一个非零常数。

积分常数的必要性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人解释道：“你之前无需写出 + C，因为那一步只是为了求积分因子……但现在我转向求解原方程，而我所得到的这个表达式中包含一个不定积分，此时我确实需要加上 + C；这个 + C 将用于满足初始条件。”

方法

解释

求积分因子时，任意一个有效的因子均可使用，因此积分常数可以省略。但通过不定积分求解微分方程时，必须保留常数 C，以构成通解并应用初始条件。

公式

适用条件

该说明适用于从求积分因子过渡到求解完整常微分方程的过程。

先修条目

指数函数的积分

分离因变量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：‘我注意到左边还留着 e 的4x 次方乘以 y，我不希望它留在那里，所以我将写成 y 等于 e 的负4x 次方乘以……’。
公式
观察依据
黑板展示代数变形： $e^{4x}y = 1/3 e^{3x} + C$ 变为 $y = e^{-4x}[1/3 e^{3x} + C] = 1/3 e^{-x}$ + Ce^{-4x}。

方法

解释

为求显式解 $y(x)$ ，需将方程两边同乘以积分因子的倒数（即 $e^{-4x}$ ），并将其分配至右侧各项。

公式

y = e^{-\mu(x)} \left[ \int e^{\mu(x)} f(x) dx + C \right]

适用条件

该方程呈 $μ(x)y = \int$ … + C 的形式。

先修条目

对导数进行积分

应用初始条件

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说道：“我们其实还有这个初始条件，即 y 在零处的值等于四分之三……我们来看看如何处理它……代入时令 x 等于零，此时 y 的值等于四分之三。”
公式
观察依据
黑板展示代入过程： $y(0) = 4/3 = 1/3 e^{0} + C e^{0}$ ⇒ $4/3 = 1/3 + C$ ⇒ $C = 1$ 。

方法

解释

将给定的初始值（ $x = 0$ ， $y = 4/3$ ）代入通解，求出积分常数 C 的具体数值。

公式

y(x_0) = y_0 \implies \text{solve for } C

适用条件

给出了一个初始条件 $y(x_0) = y_0$ 。

先修条目

分离因变量

特解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说道：“如果我想将这个结果与我刚刚算出的 y 值结合起来，就能得到最终答案——看，这里就是：y 等于三分之一乘以 e 的负 x 次方加 c，等于一；而 e 的负四 x 次方就是最终答案。”
公式
观察依据
黑板上显示最终框出的答案： $y = 1/3 e^{-x} + e^{-4x}$ 。

定义

解释

将计算得出的常数 C 代入通解后所得的微分方程的具体解。

公式

y = \frac{1}{3}e^{-x} + e^{-4x}

适用条件

常数 C 已由初始条件确定。

先修条目

应用初始条件

定理与条件 · 1

左边逆用乘积法则

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师指出，左边与 $e^{4x}$ 乘以 y 关于 x 的导数相同，且可用乘积法则验证。
公式
观察依据
教师写出： $\frac{d}{dx}[e^{4x}y]$ 。

命题

将标准形式的微分方程两边同乘其积分因子 $r(x)$ 后，左边简化为精确导数 $\frac{d}{dx}[r(x)y]$ 。

前提

该微分方程为标准形式：y' + $p(x)y = f(x)$ 。
$r(x)$ 是定义为 $e^{\int p(x) dx}$ 的积分因子。

量词

适用于所有有效的线性一阶微分方程。

推导与证明 · 4

计算示例中的积分因子

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师逐步演示将 $p(x) = 4$ 代入公式并计算该积分的过程。
公式
观察依据
教师写出 $r(x) = e^{\int 4 dx} = e^{4x}$ 。

严格证明

步骤

公式
$p(x) = 4$
解释
在给定方程 y' + $4y = e^{-x}$ 中，识别 y 的系数。
步骤依据
标准形式的定义。
视频直接表达
公式
$r(x) = e^{\int 4 dx}$
解释
将 $p(x) = 4$ 代入积分因子公式。
步骤依据
积分因子的公式。
视频直接表达
公式
$r(x) = e^{4x}$
解释
对 4 关于 x 求不定积分，省略积分常数。
步骤依据
幂函数的积分法则及任意常数 $C = 0$ 的选取。
视频直接表达

结论

该示例方程的积分因子为 $r(x) = e^{4x}$ 。

化简右端

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师指出最右侧存在一点简化。
公式
观察依据
教师写出 $e^{4x}e^{-x} = e^{3x}$ 。

严格证明

步骤

公式
$e^{4x}e^{-x}$
解释
将积分因子乘以原方程右侧的函数。
步骤依据
乘以积分因子的方法。
视频直接表达
公式
$e^{3x}$
解释
利用指数运算法则合并指数。
步骤依据
指数的乘法法则： $a^m a^n = a^{m+n}$ 。
视频直接表达

结论

修正后方程的右侧化简为 $e^{3x}$ 。

通解的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
连续口述讲解积分与变量分离的步骤。
公式
观察依据
在数字黑板上依次书写代数变形过程。

严格证明

步骤

公式
$\frac{d}{dx}[e^{4x}y] = e^{3x}$
解释
从乘以积分因子后得到的精确导数形式出发。
步骤依据
视频中此前的步骤（本片段未完整展示，但黑板状态已暗示该步骤）。
视频直接表达
公式
$e^{4x}y = \int e^{3x} dx$
解释
对等式两边关于 x 进行积分。
步骤依据
微积分基本定理／原函数的定义。
视频直接表达
公式
$e^{4x}y = \frac{1}{3}e^{3x} + C$
解释
计算右侧的积分，并加上积分常数。
步骤依据
指数函数的积分法则。
视频直接表达
公式
$y = e^{-4x}\left[\frac{1}{3}e^{3x} + C\right]$
解释
两边同乘 $e^{-4x}$ 以解出 y。
步骤依据
代数变形。
视频直接表达
公式
$y = \frac{1}{3}e^{-x} + Ce^{-4x}$
解释
将 $e^{-4x}$ 分配进去，并化简指数（ $e^{-4x} \times e^{3x} = e^{-x}$ ）。
步骤依据
指数运算法则。
视频直接表达

结论

该微分方程的通解为 $y = \frac{1}{3}e^{-x}$ + Ce^{-4x}。

特解的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
口述代入 $x = 0$ 、 $y = 4/3$ 的过程。
公式
观察依据
写出方程 $4/3 = 1/3 + C$ ，并随后框出 $C = 1$ 及最终答案。

严格证明

步骤

公式
$y(0) = \frac{4}{3}$
解释
写出初始条件。
步骤依据
题目中已给出（黑板上可见）。
视频直接表达
公式
$\frac{4}{3} = \frac{1}{3}e^{0} + Ce^{0}$
解释
将 $x = 0$ 和 $y = 4/3$ 代入通解。
步骤依据
满足初始条件的定义。
视频直接表达
公式
$\frac{4}{3} = \frac{1}{3} + C$
解释
利用 $e^0 = 1$ 进行化简。
步骤依据
算术化简。
视频直接表达
公式
$C = 1$
解释
两边同时减去 $1/3$ ，解出 C。
步骤依据
代数运算。
视频直接表达
公式
$y = \frac{1}{3}e^{-x} + e^{-4x}$
解释
将 $C = 1$ 代回通解。
步骤依据
特解的定义。
视频直接表达

结论

满足初始条件的特解为 $y = \frac{1}{3}e^{-x} + e^{-4x}$ 。

例题详解 · 2

求解一阶线性初值问题

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示：y' + $4y = e^{-x}$ ， $y(0) = 4/3$ 。

待核验内容

本视频片段未得到初值问题的最终解。

题目

使用积分因子法求解初值问题 y' + $4y = e^{-x}$ ，其中 $y(0) = 4/3$ 。

已知条件

微分方程：y' + $4y = e^{-x}$
初始条件： $y(0) = 4/3$

目标

求出同时满足该微分方程和初始条件的显式函数 $y(x)$ 。

步骤

公式
$y' + 4y = e^{-x}$
解释
将微分方程写成标准形式。
步骤依据
题目中已给出。
视频直接表达
公式
$p(x) = 4$
解释
确定系数函数 $p(x)$ 。
步骤依据
标准形式的定义。
视频直接表达
公式
$r(x) = e^{\int 4 dx} = e^{4x}$
解释
计算积分因子。
步骤依据
积分因子的公式。
视频直接表达
公式
$e^{4x}y' + 4e^{4x}y = e^{4x}e^{-x}$
解释
将微分方程的每一项都乘以积分因子。
步骤依据
积分因子法。
视频直接表达
公式
$\frac{d}{dx}[e^{4x}y] = e^{3x}$
解释
将等式左边重写为一个乘积的导数，并化简右边。
步骤依据
逆用乘积法则及指数运算法则。
视频直接表达

结果

本片段在最终求出 $y(x)$ 的表达式之前结束。

检验

本片段中未执行该步骤。

求解带初值的线性一阶常微分方程。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板顶部显示的问题陈述：y' + $4y = e^{-x}$ ， $y(0) = 4/3$ 。
声音
观察依据
讲话者全程提及“我的解”和“初始条件”。

题目

求解初值问题：y' + $4y = e^{-x}$ ，且 $y(0) = 4/3$ 。

已知条件

微分方程：y' + $4y = e^{-x}$
初始条件： $y(0) = 4/3$
积分因子（已预先算出）： $r(x) = e^{4x}$

目标

求出显式函数 $y(x)$ ，使其同时满足该微分方程与初始条件。

步骤

公式
$\frac{d}{dx}[e^{4x}y] = e^{3x}$
解释
识别左侧为积分因子与 y 的乘积的导数。
步骤依据
逆向应用乘积法则。
视频直接表达
公式
$e^{4x}y = \frac{1}{3}e^{3x} + C$
解释
对等式两边积分以消去导数。
步骤依据
积分运算。
视频直接表达
公式
$y = \frac{1}{3}e^{-x} + Ce^{-4x}$
解释
解出 y，得到通解。
步骤依据
代数运算。
视频直接表达
公式
$C = 1$
解释
利用初始条件 $y(0) = 4/3$ 确定积分常数。
步骤依据
代入法。
视频直接表达
公式
$y = \frac{1}{3}e^{-x} + e^{-4x}$
解释
写出最终的特解。
步骤依据
常数 C 的代入。
视频直接表达

结果

y 等于 1 除以 3，再乘以 e 的负 x 次方，加上 e 的负 4x 次方

检验

验证 $y(0) = 1/3 + 1 = 4/3$ 。验证常微分方程：y' = -1/3 $e^{-x} - 4e^{-4x}$ ；y'+ $4y = (-1/3 e^{-x} - 4e^{-4x}) + 4(1/3 e^{-x} + e^{-4x}) = e^{-x}$ 。正确。

图示与动画 · 3

在白板上书写解题步骤

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
讲师使用彩色笔在黑色数字白板上逐步书写数学解题步骤。

图中对象

数字白板
彩色笔
数学文字

变化过程

新方程与标签自上而下依次添加。
随着解题过程推进，先前的步骤始终可见。

不变量

背景始终保持黑色。
讲师始终位于右下角。

数学含义

视觉呈现顺序与数学推导的逻辑步骤相一致，使观众能够实时跟随解题方法。

逐行书写方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
数字墨水在黑色背景上依次呈现，对应说话人书写方程的过程。

图中对象

数字黑板
手写数学表达式

变化过程

方程按行依次出现，与说话人的推导步骤一一对应。
颜色在白色、粉红色/红色和蓝色之间切换，以区分方程的不同部分或突出重点。

不变量

说话人始终位于右下角。
背景保持黑色。

数学含义

求解该常微分方程所需的代数与微积分运算步骤的可视化呈现。

突出显示最终答案

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
用红色方框圈出最终方程 $y = 1/3 e^{-x} + e^{-4x}$ 。

图中对象

红色矩形框
最终解的方程

变化过程

在文字周围画上方框。

不变量

方框内的文字保持不变。

数学含义

强调问题已解答完毕，且最终结果已得出。

易错点 · 2

在积分因子中省略积分常数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师针对积分因子的不定积分中缺失的 +C 可能引发的困惑进行说明。

误区

学生常常疑惑：为什么在计算积分因子的不定积分时，不包含积分常数（+C）？

说明

任何有效的积分因子都可用于该方法。选取任意常数 $C=0$ 可在不丧失一般性的前提下简化计算。

积分因子中省略积分常数 vs 解中是否省略积分常数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人针对可能产生的困惑作出说明：‘你或许会觉得这有点奇怪——我之前告诉过你不必写出 +c，但此前无需写出 +c，是因为那一步仅涉及求积分因子。’

误区

学生可能误以为积分常数（+C）应始终省略或始终保留，从而混淆了‘求积分因子’这一步与‘求解微分方程’这一步。

说明

求积分因子时，任一有效的函数均可使用，因此可省略 +C（它最终也会被约去）。而通过积分求解微分方程时，+C 是必需的，用于表示应用初始条件前的解族。

概念关系 · 4

左边逆用乘积法则 → 用积分因子乘微分方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师明确提到，要使用乘积法则来验证这一简化过程。

证明依赖

解释

左侧化简为单一导数这一结论，直接依赖于微积分中乘积法则的逆向应用。

对导数进行积分 → 分离因变量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人提到‘对导数进行积分，使其相互抵消’。

先修

解释

在分离出 y 之前，必须理解积分是微分的逆运算。

分离因变量 → 应用初始条件

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人从通解过渡到应用初始条件。

先修

解释

必须先求出含 C 的通解，才能利用初始条件解出 C。

应用初始条件 → 特解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
将 $C=1$ 代入通解公式。

应用

解释

将由初始条件解得的 C 值代入通解，从而得到特解。

问题定位 · 5

为何在计算积分因子时不加 +C？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师解释了省略该常数的原因。

涉及知识点

积分因子的公式
在积分因子中省略积分常数

乘以积分因子后，左侧如何变成一个单一导数？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师讲解左侧的化简过程。

涉及知识点

用积分因子乘微分方程
左边逆用乘积法则

为何教师此前计算积分因子时未包含 +C？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
解释为何积分因子中省略了 +C。

涉及知识点

积分常数的必要性
积分因子中省略积分常数 vs 解中是否省略积分常数

对等式两边积分后，如何解出 y？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
展示两边同乘 $e^{-4x}$ 的代数步骤。

涉及知识点

分离因变量

常数 C 如何由初始条件 $y(0)=4/3$ 确定？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
将 $x=0$ 和 $y=4/3$ 代入。

涉及知识点

应用初始条件

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 介绍一阶线性微分方程中积分因子的概念。

已覆盖 · 说明所给方程为何是线性的，并指出其中的 $p(x)$ 和 $f(x)$ 。

已覆盖 · 给出积分因子的公式，并针对具体例题进行计算。

已覆盖 · 将微分方程两边同乘积分因子，并化简右侧。

已覆盖 · 利用逆乘积法则，将等式左边重写为一个乘积的导数。

已覆盖 · 积分步骤的设置。

已覆盖 · 对等式两边同时进行积分。

已覆盖 · 关于积分常数必要性的讨论。

已覆盖 · 代数变形，求出通解 $y(x)$ 。

已覆盖 · 利用初始条件求解 C。

已覆盖 · 写出最终的特解并作总结。

探索视频中的知识

已审核的主题路径

积分因子

线性一阶常微分方程的积分因子法**完整示例**

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

一阶线性常微分方程的标准形式

积分因子公式

应用积分因子

对导数一侧积分

指数函数的积分

何时添加 +C

从通解中解出 y

利用初始条件求解 C

特解

详细学习笔记

y'

y

x

p(x)p(x)p(x)

f(x)f(x)f(x)

r(x)r(x)r(x)

e

∫\int∫

dx

43\frac{4}{3}34​

ddx\frac{d}{dx}dxd​

y

一阶线性微分方程的标准形式

积分因子的公式

用积分因子乘微分方程

对导数进行积分

指数函数的积分

积分常数的必要性

分离因变量

应用初始条件

特解

左边逆用乘积法则

计算示例中的积分因子

化简右端

通解的推导

特解的推导

求解一阶线性初值问题

求解带初值的线性一阶常微分方程。

在白板上书写解题步骤

逐行书写方程

突出显示最终答案

在积分因子中省略积分常数

积分因子中省略积分常数 vs 解中是否省略积分常数

左边逆用乘积法则 → 用积分因子乘微分方程

对导数进行积分 → 分离因变量

分离因变量 → 应用初始条件

应用初始条件 → 特解

为何在计算积分因子时不加 +C？

乘以积分因子后，左侧如何变成一个单一导数？

为何教师此前计算积分因子时未包含 +C？

对等式两边积分后，如何解出 y？

常数 C 如何由初始条件 y(0)=4/3y(0)=4/3y(0)=4/3 确定？

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线性一阶常微分方程的积分因子法完整示例

$p(x)$

$f(x)$

$r(x)$

$\int$

$\frac{4}{3}$

$\frac{d}{dx}$

常数 C 如何由初始条件 $y(0)=4/3$ 确定？