线性插值。快速且简单！

1. 字幕依据
   观察依据

   标题卡片显示：“如何进行线性插值！！”

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示将演示如何在两个数值之间进行线性插值。

linear interpolate

所教授的方法是：假定两点间呈直线关系，利用两个已知端点来估算其间的一个中间值。

使用表格数据进行数值估算。

1. 公式
   观察依据

   表格表头显示温度 T，单位为 °C。

2. 图示
   观察依据

   图表纵轴标为 T，并标记有200、212和220。

3. 声音
   观察依据

   主讲人指出温度位于该轴上。

T

在本插值示例中，温度变量被用作自变量坐标。

°C；在本例计算中，相关数值为200、212和220。

1. 公式
   观察依据

   表格表头显示 $v \times 10^3$，单位为 $m^3$/kg。

2. 图示
   观察依据

   图表横轴标为 V，并标记有1.1555、x 和1.1898。

3. 声音
   观察依据

   主讲人指出另一条轴表示比容及其对应数值。

1. 图表标签使用大写字母 V，而表格中使用小写字母 v；视频未明确说明这一记号差异。

v

压缩液态水的比体积，在插值示例中被视作因变量。

$m^3$/kg；表格中显示的数值在表头处按 $10^3$ 缩放，但图中绘制的数字标签 1.1555 和 1.1898 则直接对应表格各行的原始数值。

1. 公式
   观察依据

   表格包含一列标注为 u、单位为 kJ/kg 的数据。

1. 该列可见，但在所演示的插值计算中未被使用。

u

热力学表格中的内能列。

千焦/千克。

1. 公式
   观察依据

   表格条件行写为 $p = 25$ bar = 2.5 MPa。

p

表格所列物性参数对应的压强条件。

25巴 = 2.5兆帕。

1. 公式
   观察依据

   表格条件行包含 (T_sat = 223.99°C)。

T_sat

与所列压强条件相对应的饱和温度。

223.99摄氏度。

1. 图示
   观察依据

   图像在 T 轴上标出 220，在 V 轴上标出 1.1898，作为右上端点。

2. 声音
   观察依据

   讲解者称 220 被‘扔在顶部’，并指出对应的数值。

top number

给定坐标轴上两个已知夹逼值中较大的那个；此处 T 轴为 220，v 轴为 1.1898。

用于插值公式中分子的差值部分。

1. 图示
   观察依据

   图像在 T 轴上标出 200，在 V 轴上标出 1.1555，作为左下端点。

2. 声音
   观察依据

   讲解者称 200 被‘扔在底部’，并反复减去底部的数。

bottom number

给定坐标轴上两个已知夹逼值中较小的那个；此处 T 轴为 200，v 轴为 1.1555。

从公式中的顶部值和中间值中均被减去。

1. 图示
   观察依据

   数字 212 出现在图像之前，随后又出现在 T 轴上，作为目标温度。

2. 声音
   观察依据

   讲解者先说‘在 212 处提问’，接着改为‘假设是 212’，并指出‘我们要求的是 212’。

middle number

位于两个夹逼端点之间的已知目标输入值；此处为 T 轴上的 212。

出现在比例式中 T 侧的分母上。

1. 图示
   观察依据

   图像的横轴上标有一个未知点 x，该点位于1.1555和1.1898之间。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出存在一个待求的 x，并随后说明现在只需解出 x。

x

对应于 $T = 212$ 的未知插值比容。

介于1.1555和1.1898之间的实数值中间量。

1. 声音
   观察依据

   开场陈述：今天我将向您演示如何在线性范围内对数字进行插值。

2. 图示
   观察依据

   一条笔直的绿色线段连接两个已知的表格数据点，目标点落在这条线段上。

3. 公式
   观察依据

   所显示的比例式将 T 轴上的差值与 v 轴上的差值等同起来。

本视频将线性插值作为一种估算方法：当目标输入值落在表格中两行已知数据之间时，用以估计其对应的未知中间值。该方法假设在此小区间内，两个变量之间的关系为直线，因此一个坐标方向上的比例变化与另一坐标方向上的比例变化相匹配。

1. 有两个已知的夹逼数据点。

2. 目标输入值位于这两个已知输入值之间。

3. 该区间上的关系被近似为线性关系。

1. T
2. v
3. top number
4. bottom number
5. middle number
6. x

1. 公式
   观察依据

   屏幕公式：(220 - 200)/(212 - 200) = (1.1898 - 1.1555)/(x - 1.1555)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将该规则描述为：左右两边均为“上数减下数”除以“中数减下数”。

所显示的公式表明，全区间长度与部分区间长度之比在两个坐标轴上相同。这等价于说：连接两个已知点的直线斜率，等于从较低的已知点指向未知点的直线斜率。

1. 三个T值按顺序排列为：$200 < 212 < 220$。

2. 对应的v值在直线上保持一致的顺序。

3. 分母均不为零。

1. 在两个查表数值之间进行线性插值。
2. top number
3. bottom number
4. middle number
5. x

1. 公式
   观察依据

   屏幕重排后的表达式：$x = ((1.1898 - 1.1555)(212 - 200))/(220 - 200) + 1.1555$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说，只需进行代数运算，就能解出x等于某个表达式。

从等比方程出发，视频通过交叉相乘并解出x。最终表达式为：将较低的已知v值，加上对应于目标T在T区间中所占比例的v总增量份额。

1. 使用原始分母中出现的相同下端点1.1555。

2. 该公式假设图中所示的线性模型。

1. 插值规则的等比形式
2. x

1. 公式
   观察依据

   最终显示结果：$x = 1.17608$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人询问该值是否介于两个数值之间，并回答：是的，它确实在两者之间。

3. 图示
   观察依据

   点x绘制在横轴上1.1555与1.1898之间。

计算出x后，视频通过检查该结果是否介于两个已知比容值之间来验证其合理性。这是对区间内插值的一种简单一致性检验。

1. 目标输入必须严格介于两个已知输入之间。

2. 两个已知输出必须在所假设的直线上界定插值输出。

1. 对未知插值结果进行代数求解
2. x

1. 图示
   观察依据

   一条单一的绿色直线穿过两个已知点及未知点。

2. 声音
   观察依据

   课程标题与口头讲解均将该过程明确为线性插值。

1. 视频未讨论误差界，也未说明直线近似在何种情况下不准确。

在本例中，为简化计算，将200°C与220°C两行之间的温度T与比容v的关系建模为一条直线，从而允许采用比例插值法。

1. 已知两个端点值。

2. 目标温度位于这两个端点之间。

3. 用户接受该区间上的线性近似。

本例中，针对所展示的表格中这两行数据及目标值212°C。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“它是否落在这些数值之间？是否介于这两个数值之间？是的，确实在之间。”

2. 公式
   观察依据

   计算所得值显示为$x = 1.17608$。

3. 图示
   观察依据

   x被标在数轴上1.1555与1.1898之间。

1. “介于性”仅作为一种快速检验手段呈现，并非数值正确性的严格证明。

视频中接受该插值得到的数值，是因为它落在两个已知比容端点值之间。

1. 算术运算执行正确。

2. 目标值位于括号区间内。

本例中特定的数值结果为 $x = 1.17608$。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的初始比例式为：(220 - 200)/(212 - 200) = (1.1898 - 1.1555)/(x - 1.1555)。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的整理后表达式为：$x = ((1.1898 - 1.1555)(212 - 200))/(220 - 200) + 1.1555$。

3. 声音
   观察依据

   讲解者称现在只需解出 x，并提及将进行代数运算。

1. 诸如显式交叉相乘等中间代数步骤未在屏幕上写出。

1. 公式

   $$\frac{220 - 200}{212 - 200} = \frac{1.1898 - 1.1555}{x - 1.1555}$$
   解释

   从屏幕上显示的比例式出发，该式关联了两个坐标轴上的完整区间与部分区间。

   步骤依据

   屏幕上显示的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(220 - 200)(x - 1.1555) = (1.1898 - 1.1555)(212 - 200)$$
   解释

   交叉相乘以消去分式。

   步骤依据

   对比例等式的标准代数变形；视频跳过了这一中间步骤的书写。

   依据视频推导
3. 公式

   $$x - 1.1555 = \frac{(1.1898 - 1.1555)(212 - 200)}{220 - 200}$$
   解释

   两边同时除以220减200，以分离出含x的项。

   步骤依据

   代数法分离x；由说话人‘必须解出x’的表述所暗示。

   依据视频推导
4. 公式

   $$x = \frac{(1.1898 - 1.1555)(212 - 200)}{220 - 200} + 1.1555$$
   解释

   两边同时加上1.1555，使x单独留在一侧。

   步骤依据

   与屏幕上显示的最终整理后的表达式一致。

   视频直接表达

待插值的未知量表示为$x = ((1.1898 - 1.1555)(212 - 200))/(220 - 200) + 1.1555$。

1. 公式
   观察依据

   符号形式的解在数值答案出现之前已清晰可见。

2. 公式
   观察依据

   最终数值结果展示为：$x = 1.17608$。

3. 声音
   观察依据

   说话人称：‘现在我们只需将其输入计算器即可。’

1. 计算器界面本身未显示；仅呈现键入后的结果。

1. 公式

   $$x = \frac{(1.1898 - 1.1555)(212 - 200)}{220 - 200} + 1.1555$$
   解释

   从上一步推导所得的整理后精确表达式出发。

   步骤依据

   屏幕上可见的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1.1898 - 1.1555 = 0.0343$$
   解释

   计算括定行之间比容的总变化量。

   步骤依据

   根据所显示的数字进行算术运算。

   依据视频推导
3. 公式

   $$212 - 200 = 12$$
   解释

   计算从较低已知温度到目标温度的距离。

   步骤依据

   根据所显示的数字进行算术运算。

   依据视频推导
4. 公式

   $$220 - 200 = 20$$
   解释

   计算括定行之间的总温度区间。

   步骤依据

   根据所显示的数字进行算术运算。

   依据视频推导
5. 公式

   $$x = \frac{(0.0343)(12)}{20} + 1.1555 = 0.02058 + 1.1555 = 1.17608$$
   解释

   计算该分数值，并将其加至下端点，从而得到最终的插值结果。

   步骤依据

   与最终显示结果一致的直接计算。

   依据视频推导

经计算验证的数值结果为 $x = 1.17608$。

1. 公式
   观察依据

   表格标题为“压缩液态水”，列标题分别为 T、$v \times 10^3$ 和 u。

2. 公式
   观察依据

   相关行显示为 200 | 1.1555 | 849.9 和 220 | 1.1898 | 940.7。

3. 图示
   观察依据

   图表中纵轴为 T，横轴为 V，目标值为 212，未知量为 x。

4. 声音
   观察依据

   主讲人将此问题设定为一个常见的热力学示例，要求计算某温度下的比体积。

1. 主讲人先说出210，随后更正为212；所展示的图表和公式中使用的是212。

2. 表格表头包含 $v \times 10^3$，但图中绘制的标签直接使用未缩放的行数值；视频未对此缩放表示法作出解释。

给定压强 $p = 25$ bar = 2.5 MPa 下的压缩液态水物性表，利用 212°C 和 200°C 两行表格数据之间的线性插值，估算温度 $T = 220$°C 时的比体积 v。

1. $T_1 = 200$摄氏度，$v_1 = 1.1555$立方米的3次方/千克。

2. $T_2 = 220$摄氏度，$v_2 = 1.1898$立方米的3次方/千克。

3. 目标温度 T_* = 212°C。

4. 假定在该区间内温度 T 与比体积 v 呈线性关系。

计算对应于 $T = 212$°C 的插值未知比体积 x。

1. 公式

   $$\frac{220 - 200}{212 - 200} = \frac{1.1898 - 1.1555}{x - 1.1555}$$
   解释

   利用两个已知端点及目标温度，建立相等的比例变化关系。

   步骤依据

   线性插值假设两端点之间的斜率恒定。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x = \frac{(1.1898 - 1.1555)(212 - 200)}{220 - 200} + 1.1555$$
   解释

   解该比例式，求 x 的值。

   步骤依据

   speaker 说要求解 x 后，屏幕上显示代数变形过程。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x = 1.17608$$
   解释

   对该表达式进行数值计算。

   步骤依据

   屏幕上显示键入的最终结果，并说明该结果由计算器得出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$1.1555 < 1.17608 < 1.1898$$
   解释

   验证答案是否介于两个已知的具体体积之间。

   步骤依据

   视频中通过明确的口头说明与视觉呈现进行合理性检验。

   视频直接表达

$x = 1.17608$立方米的3次方/千克

视频通过确认 1.17608 介于界定值 1.1555 和 1.1898 之间来验证结果。

1. 字幕依据
   观察依据

   大号标题文字“如何线性插值！！”出现在红色手绘边框内。

1. 红色手绘边框

2. 黑色大写标题文字

1. 静态标题在开场数秒内始终显示在屏幕上。

1. 除主题名称外，尚未显示任何数学符号。

视频片段首先命名该方法，随后才出现示例数据。

1. 图示
   观察依据

   左侧出现一张题为“压缩液态水”的热力学性质表。

2. 公式
   观察依据

   可见的表头包括：T（°C）、$v \times 10^3$（$m^3$/kg）、u（kJ/kg），以及条件 $p = 25$ bar = 2.5 MPa（T_sat = 223.99°C）。

1. 部分行可见，但仅 200 行和 220 行在演算示例中被使用。

1. 压缩液态水表

2. 对应 200 和 220 的行

3. 光标指向所选行附近

1. 该表格成为后续所用端点值的来源。

2. 光标高亮显示围绕 200 和 220 的行。

1. 压强条件固定为25巴 = 2.5兆帕。

该表格提供了定义插值区间的一组对应值（200，1.1555）和（220，1.1898）。

1. 图示
   观察依据

   表格右侧显示一个较大的手写体数字212。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说，假设 212，在最初提到 210。

1. 此前对210的简短提及未在后续演算图示中体现。

1. 手写数字212。

2. 文本框边框。

1. 目标值在图表完整讲解之前即已引入。

1. 所选目标值在所有后续公式中均保持为212。

这确定了插值问题中的中间输入值。

1. 图示
   观察依据

   出现一幅坐标图，纵轴为T，横轴为V。

2. 图示
   观察依据

   纵轴上标有200、212和220；横轴上标有1.1555、x 和1.1898。

3. 动画
   观察依据

   一条绿色直线连接左下与右上的已知点，并有虚线向坐标轴作垂线引导。

1. 该图像由讲解者预先绘制完成，因此其绘制过程未以分步形式呈现。

1. 纵轴 T 轴

2. 横轴 V 轴

3. 绿色直线

4. 虚线引导线

5. 标注200、212、220、1.1555、x、1.1898

1. 已知端点从表格映射到直角坐标平面上。

2. 未知量 x 位于已知的 v 值之间。

1. 该直线保持笔直，体现线性假设。

2. 目标值212在纵轴上位于200与220之间。

该图示将表格的各行转化为一种几何比例关系：沿T轴的等分数移动对应于沿v轴的等分数移动。

1. 公式
   观察依据

   第一个显示的方程：(220 - 200)/(212 - 200) = (1.1898 - 1.1555)/(x - 1.1555)。

2. 公式
   观察依据

   第二个显示的方程：$x = ((1.1898 - 1.1555)(212 - 200))/(220 - 200) + 1.1555$。

3. 公式
   观察依据

   最终输入的结果：$x = 1.17608$。

4. 动画
   观察依据

   红色圆圈和箭头突出公式中的成对数字以及对应图像上的标签。

1. 每个标注笔画的确切绘制顺序仅为近似，因为多个标记相互重叠，而方程始终保留在屏幕上。

1. 比例方程

2. 变形后的求解方程

3. 输入结果 $x = 1.17608$

4. 红色圆圈和箭头

1. 视觉焦点从几何转向代数。

2. 未知数 x 先以符号形式被单独分离出来，再代入一个十进制数值。

1. 相同的端点数值220、200、212、1.1898和1.1555贯穿始终。

标注将公式中的每一次减法运算与图像上某一特定距离对应起来，在计算器结果呈现之前就使比例关系变得明确。

1. 声音
   观察依据

   说话者重复‘上方数字减去下方数字’，并指出这始终是减去这个下方的数字。

2. 公式
   观察依据

   所有展示出的差值均以200和1.1555作为被减去的下端点。

学习者可能不一致地混用端点，例如在一侧用顶部值减去中间值，而在另一侧却用中间值减去底部值。

视频所采用的规则是：将整个区间和部分区间都与同一个下端点作比较，即在每个坐标轴上均为‘顶部减底部’比上‘中间减底部’。

1. 声音
   观察依据

   验证问题是：所得结果是否介于两个数值之间。

2. 图示
   观察依据

   例题中设定212严格位于200与220之间，且 x 严格位于1.1555与1.1898之间。

1. 这一限制条件是从例题设置中推断得出的，而非以警示方式明确陈述。

人们可能认为，对表格范围之外的数值自动采用相同步骤也是安全的。

分析说明：所演示的验证仅在括号区间内的插值情形下才有意义；本视频未涉及超出已知行范围的外推。

1. 图示
   观察依据

   图中标注的200、212、220、1.1555、x、1.1898，与屏幕上显示的比例式中的数字完全对应。

2. 动画
   观察依据

   红色圆圈将公式中的各项与对应的坐标轴标签关联起来。

借助相同的端点值和目标值，将几何上的直线图示转化为代数形式的等比公式。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上先显示比例方程，随后显示解出的关于x的变形表达式。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说道：“现在我们只需解出x。”

求解所得的表达式直接依赖于对等比公式的代数变形。

1. 声音
   观察依据

   开场陈述概括性地介绍了线性插值。

2. 公式
   观察依据

   视频其余部分则演算一个具体的压缩水物性表实例。

通过一个具体的热力学物性表问题，演示了该通用方法。

1. 公式
   观察依据

   数值结果 $x = 1.17608$ 出现在解出的表达式之后。

2. 声音
   观察依据

   说话人检查该结果是否介于两个数值之间。

一旦算出 x，视频便执行一个介于性检验，以确认插值得到的数值是合理的。

1. 声音
   观察依据

   开场白指出本视频的主题是如何在两个数之间进行线性插值。

2. 图示
   观察依据

   直线图与比例公式共同定义了这一方法。

1. 在两个查表数值之间进行线性插值。
2. 插值规则的等比形式

1. 声音
   观察依据

   说话人反复提到：上边的数减去下边的数，中间的数减去下边的数。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的公式使用 200 和 1.1555 作为被减去的端点。

1. 插值规则的等比形式
2. 在每一次差值计算中都一致地使用下端点。

1. 公式
   观察依据

   比例式与解出 x 的变形表达式均被同时展示。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：‘现在我们只需解出 x 即可。’

1. 插值规则的等比形式
2. 对未知插值结果进行代数求解
3. 从等比方程推导出 x 的求解表达式

1. 声音
   观察依据

   主讲人询问结果是否介于两个数值之间，并确认是的。

2. 公式
   观察依据

   最终结果 $x = 1.17608$ 与 1.1555 和 1.1898 进行比较。

1. 验证插值结果是否位于两个界定值之间。
2. 从表格中查出压缩液态水在212°C时的比体积。

1. 公式
   观察依据

   表格标题与表头标识为“压缩液态水”，比容 v 的单位为 $m^3$/kg。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称这是热力学中一个常见例题，要求计算比容。

1. 从表格中查出压缩液态水在212°C时的比体积。
2. 在两个查表数值之间进行线性插值。