多元函数的极限……很奇怪……沿路径的极限

1. 公式
   观察依据

   左上角公式为 $f(x,y)$=xy/($x^2+y^2$)。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“对于像 $f(x,y)$ 等于 xy 除以 x 的平方加 y 的平方这样的多元函数。”

$f(x,y)$

视频片段中用作主要示例的二元函数。

定义域为满足 $x^2+y^2 \ne 0$ 的 (x,y)；在 (0,0) 处无定义。

1. 公式
   观察依据

   该公式在 xy/($x^2+y^2$) 中使用变量 x 和 y。

2. 声音
   观察依据

   说话人提到在 x-y 平面上趋近点“零零”。

x, y

该多元函数的两个独立实变量。

实数，且需满足分母限制条件 $x^2+y^2 \ne 0$，以保证 f 有定义。

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字显示 $\lim _{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ = ???。

2. 声音
   观察依据

   说话人提问：当 x、y 越来越接近 0、0 时，该极限值是多少？

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$

该二元函数在输入趋近原点时的极限。

被提问的值；视频片段未给出最终答案。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上的分段定义：$f(x)=1$ 当 $x<1$ 时，且 $f(x)=2$ 当 $x\ge 1$ 时。

2. 声音
   观察依据

   主讲人描述同一个一元分段函数。

$f(x)=\begin{cases}1,&x<1\\2,&x\ge 1\end{cases}$

用一个一元分段函数示例解释极限在 $x = 1$ 处不存在。

定义域为全体实数；在 $x = 1$ 处不连续。

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字显示：lim_{x->1^-} $f(x) = 1 \ne 2 = \lim$_{x->1^+} $f(x)$，随后显示“因此 lim_{x->1} $f(x)$ 不存在”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说左极限是 1，右极限是 2，因此该极限不存在。

$\lim_{x\to1^-} f(x)$,\ $\lim_{x\to1^+} f(x)$

该一元分段函数在 $x = 1$ 处的左极限与右极限。

从下方和上方趋近于 $x = 1$。

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字显示：$f(x) = 1$，其中 $x \ne 1$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说该函数在某一点无定义，但在该点两侧的函数值均为 1。

$f(x)=1$,\ $x\ne 1$

一个一元常函数，在 $x = 1$ 处缺失一个点。

全体实数，但 $x = 1$ 除外。

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字显示：lim_{x->1^-} $f(x)=1=1=\lim$_{x->1^+} $f(x)$，因此 lim_{x->1} $f(x)=1$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人得出结论：该极限存在，且等于1。

$\lim_{x\to1} f(x)=1$

在 $x=1$ 处对去心常值函数取双侧极限。

极限描述的是趋近于 $x=1$ 的过程，而非函数值 $f(1)$。

1. 公式
   观察依据

   红色文字写着：“限定在直线 $y=x$ 上”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我要求 y 等于 x”，并称其为一种限制条件。

$y=x$

选取一条过原点的路径，将多元函数问题简化为单变量问题。

xy 平面上过点 (0,0) 的直线。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上的推导过程写作：$f(x)=x^2/(x^2+x^2)=x^2/(2x^2)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出：代入 $y=x$ 后，剩下的是 x 的平方除以 x 的平方加 x 的平方，即 x 的平方除以2x 的平方。

$f(x)=\frac{x^2}{x^2+x^2}=\frac{x^2}{2x^2}$

通过对原多元函数施加路径限制 $y=x$ 所得到的单变量表达式。

在所选路径上，当 $x \ne 0$ 时成立。

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字显示：lim_{x->0} $x^2/(2x^2)=1/2$。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，所得单变量极限等于二分之一。

$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{2x^2}=\frac12$

沿路径 $y=x$、当 x 趋近于0时，受限函数的极限。

仅为路径极限；该片段并未声称这是完整的二元函数极限。

1. 公式
   观察依据

   显示的函数是$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师在本片段中始终将此称为所研究的函数。

$f(x,y)$

一个用于检验多元函数极限的、实值的二元函数。

显示的公式在$x^2+y^2\neq 0$时有定义，因此$(x,y)\neq(0,0)$；视频明确讨论了其在$(0,0)$附近的性态。

1. 公式
   观察依据

   $x$出现在$f(x,y)$中、受限表达式中以及$\lim_{x\to 0}$中。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，该限制使$y$等于$x$或$y$等于负$x$。

x

该二元函数的一个自变量；在施加限制后，它还作为所选直线上唯一的参数。

1. 公式
   观察依据

   公式 $f(x,y)$=xy/($x^2+y^2$) 出现，并配有一个3D曲面图。

2. 声音
   观察依据

   说话人将本节主题介绍为：多元函数在趋近某一点时的极限。

3. 公式
   观察依据

   在28处，屏幕添加 lim_{(x,y)->(0,0)} $f(x,y)$ = ???。

该片段将主要问题设定为：确定函数 $f(x,y)$=xy/($x^2+y^2$) 在 (x,y) 趋近于 (0,0) 时的行为，尽管该函数在该点本身无定义。说话人明确指出，这一问题源于该点处分母为零。

1. 该函数在 (0,0) 附近被考察。

2. 在 (0,0) 处，分母为零，因此 $f(0,0)$ 无定义。

1. 图示
   观察依据

   一个3D曲面图持续显示在屏幕上，同时说话人讨论 (0,0) 处的‘捏合’现象。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出，该图像仅为近似结果，因为计算机在邻近点之间进行插值，但从未精确计算点（0,0）处的值。

说话者提醒，所显示的曲面在奇异点处不应被字面信任，因为绘图软件通过插值邻近采样点的值来填补该点，而非直接计算该未定义点本身的值。

1. 适用于可视化具有某点无定义值的函数。

2. 该图像是一种数值近似，并非极限值存在的证明。

1. 核心问题：多元函数在未定义点处的极限。

1. 公式
   观察依据

   分段定义 $f(x) = 1$（当 $x < 1$ 时）且 $f(x) = 2$（当 $x \ge 1$ 时）已显示。

2. 公式
   观察依据

   屏幕文字给出：lim_{$x\to 1$⁻} $f(x) = 1 \ne 2 = \lim$_{$x\to 1$⁺} $f(x)$，随后注明“因此 $\lim _{x\to 1} f(x)$ 不存在”。

3. 图示
   观察依据

   阶梯状图像在 $x = 1$ 处出现跳跃。

为引入多元情形，视频回顾了一个一维分段函数，并利用 $x = 1$ 处不匹配的左极限与右极限，解释为何双侧极限不存在。

1. 比较点为 $x = 1$。

2. 左极限与右极限不同。

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字显示：$f(x) = 1$，$x \ne 1$。

2. 公式
   观察依据

   于是 lim_{$x\to 1$⁻} $f(x) = 1 = 1 = \lim$_{$x\to 1$⁺} $f(x)$，因此 $\lim _{x\to 1} f(x) = 1$。

3. 图示
   观察依据

   在高度为 1 处画出一条水平直线，且在 $x = 1$ 处留有一个空缺点。

第二个一维例子与第一个形成对比：尽管函数在 $x = 1$ 处无定义，但左右两侧的函数值均趋近于同一个数，因此极限存在且等于 1。

1. 该函数仅在 $x = 1$ 处无定义。

2. 从左右两侧趋近所得的值相同。

1. 单变量提示：左右极限不相等意味着极限不存在。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说，应对这一问题的一种方法是限定于某一特定方向、某一条特定直线。

2. 公式
   观察依据

   红色文字显示：“限定于直线 $y = x$”。

3. 公式
   观察依据

   屏幕上推导过程将 $y = x$ 代入 $f(x, y)$，化简得 $x^2/(2x^2)$。

4. 公式
   观察依据

   最终显示的等式为：$\lim _{x\to 0} x^2/(2x^2) = 1/2$。

视频介绍了一种研究多元函数极限的标准策略：选择一条经过目标点的路径，将路径方程代入函数，再研究所得的一元函数极限。此处选取的路径是 $y = x$，由此得到一个受限表达式，其在 $x \to 0$ 时的极限为 $1/2$。

1. 所选路径必须经过所趋近的点，此处为 (0, 0)。

2. 代入运算将多元表达式化简为单变量表达式。

3. 所计算出的值是一个沿路径的极限，并不自动等同于完整的二元函数极限。

1. 核心问题：多元函数在未定义点处的极限。
2. 单变量提示：左右极限不相等意味着极限不存在。
3. 单变量提醒：空缺点并不妨碍极限存在。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$。

2. 图示
   观察依据

   展示了该函数的一个3D曲面图，并高亮一条穿过原点的路径。

本片段以有理二元函数$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$为核心示例；主讲人通过将该函数限制在不同路径上，并比较所得的一元极限，来研究其在原点附近的行为。

1. 所显示的公式在$(0,0)$处不适用，因为分母在此处为零。

2. 该片段聚焦于当$(x,y)\to(0,0)$时的函数行为。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，在高维背景下他无需为极限另下新定义；他施加了一个限制条件，从而退化为原有的一维极限概念。

2. 公式
   观察依据

   黑板上将$y=x$代入$f(x,y)$，得到一个单变量表达式。

所演示的方法是用另一个变量的表达式来替换其中一个变量，从而将二元问题简化为一元极限问题。本片段中选取的限制条件是直线$y=x$和$y=-x$。

1. 所选路径必须经过极限待检验的点。

2. 代入后得到一个单变量表达式，其极限可用常规的一元方法计算。

1. 用于说明多元极限行为的主要示例函数。

1. 公式
   观察依据

   所显示的计算是$f(x)=\frac{x^2}{x^2+x^2}=\frac{x^2}{2x^2}$和$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2x^2}=\frac12$。

2. 声音
   观察依据

   讲师称结果为二分之一。

当函数限制在直线 $y=x$上时，分子变为 $x^2$，而分母变为 $2x^2$，因此限制后的表达式简化为 $\frac12$，其中 $x\neq 0$。因此，沿此路径当 $x\to 0$时的单变量极限为 $\frac12$。

1. 这是沿特定路径$y=x$的极限。

2. 该化简在取极限前对$x\neq 0$成立。

1. 用于说明多元极限行为的主要示例函数。
2. 将多元函数限制在某条路径上

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的计算是$f(x)=\frac{-x^2}{x^2+x^2}=\frac{-x^2}{2x^2}$和$\lim_{x\to 0}\frac{-x^2}{2x^2}=-\frac12$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称结果为负二分之一，并将其与上一行的正二分之一作对比。

当函数限制在直线 $y=-x$上时，分子变为 $-x^2$，而分母保持为 $2x^2$。限制后的表达式简化为 $-\frac12$ 对于 $x\neq 0$，因此沿此路径的单变量极限为 $x\to 0$ 沿此路径的单变量极限是 $-\frac12$。

1. 这是沿特定路径$y=-x$的极限。

2. 该化简在取极限前对$x\neq 0$成立。

1. 用于说明多元极限行为的主要示例函数。
2. 将多元函数限制在某条路径上

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确将该判据称为“极限不存在的双路径检验法”。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上出现一个带方框的定理陈述。

该片段将该判据命名为“极限不存在的双路径检验法”，其作用是通过展示趋近于同一点的两条不同路径得到不同的极限值，从而证明多元函数极限不存在。

1. 它用于得出多元函数极限不存在的结论。

2. 它不能证明极限存在。

1. 沿直线 $y = x$ 的极限
2. 沿直线 $y = -x$ 的极限

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕文字显示：“问题1：我们如何定义函数在某一点处的极限存在？”

2. 声音
   观察依据

   主讲人询问，在多元函数背景下，极限存在究竟意味着什么。

在展示不同路径可能产生不同极限之后，主讲人提出了下一个概念性问题：如何定义多元函数极限在某一点处存在。该问题被作为后续内容提出，而非在本片段中作答。

1. 这是本段结尾处提出的、面向未来的问题。

2. 本片段中未给出正式定义。

1. 双路径检验法的名称与作用

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕文字显示：“问题2：假设沿任意一条直线趋近时所得极限值均相同，那么该极限是否一定存在？”

2. 声音
   观察依据

   主讲人在指出自己此前一直聚焦于直线路径后，开始引入第二个问题。

第二个面向未来的问题是：若函数沿通过该点的每一条直线所趋近的极限值都相同，这是否足以保证完整的多元函数极限存在？本片段仅提出该问题，并未给出解答。

1. 这是一个在本节末尾提出的前瞻性问题。

2. 该片段在可用时长内未提供答案。

1. 双路径检验法的名称与作用

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，该函数在 $x = 0$、$y = 0$ 处无定义，因为此时分母变为零。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的公式分母为 $x^2 + y^2$。

对于 $f(x,y)$ = xy/($x^2 + y^2$)，该函数在 (0, 0) 处无定义，因为分母 $x^2 + y^2$ 在该点等于 0。

1. $f(x, y)$ = xy 除以 (x 的2次方加 y 的2次方)。

2. 在 (x, y) = (0, 0) 处求值。

在特定点 (0, 0) 处。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 lim_{$x\to 1$⁻} $f(x) = 1 \ne 2 = \lim$_{$x\to 1$⁺} $f(x)$。

2. 公式
   观察依据

   屏幕随后显示：因此，当 x 趋近于1时，$f(x)$ 的极限不存在。

3. 声音
   观察依据

   说话人指出，左极限与右极限不相等，因此该极限不存在。

若函数在某点处的左极限与右极限不相等，则该点处的双侧极限不存在。

1. 此处讨论的单侧极限在该点存在，或正在被比较。

2. 它们的值不同。

在所展示的例子中，该结论应用于 $x = 1$。

1. 公式
   观察依据

   屏幕显示：$f(x) = 1$，其中 $x \ne 1$。

2. 公式
   观察依据

   于是 lim_{$x\to 1$⁻} $f(x) = 1 = 1 = \lim$_{$x\to 1$⁺} $f(x)$，因此 $\lim _{x\to 1} f(x) = 1$。

3. 声音
   观察依据

   说话人指出，在本例中该极限存在，且等于1。

对于 $f(x) = 1$（其中 $x \ne 1$），当 x 趋近于1时，极限存在且等于1，尽管 $f(1)$ 未定义。

1. $f(x)=1$ 对所有 $x \ne 1$ 成立。

2. 从左右两侧趋近于 $x = 1$。

在点 $x = 1$ 处。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上的推导显示 $f(x) = x^2/(x^2 + x^2) = x^2/(2x^2)$。

2. 公式
   观察依据

   最后一行显示 $\lim _{x\to 0} x^2/(2x^2) = 1/2$。

3. 声音
   观察依据

   说话人指出，化简后的表达式为 x 的平方除以 2 倍的 x 的平方，且该极限值为二分之一。

1. 该片段未说明此路径法结果是否能确定完整的多元函数极限。

将 $f(x,y)$ = xy/($x^2 + y^2$) 限制在直线 $y = x$ 上后，所得关于 x 的单变量极限（当 x 趋近于 0 时）为 $1/2$。

1. 采用路径 $y = x$。

2. 沿该路径令 $x \to 0$。

沿直线 $y = x$ 趋近于点 (0, 0)。

1. 公式
   观察依据

   方框中的陈述为：“若$f(x,y)$沿两条不同路径$(x,y)\to(x_0,y_0)$具有两个不同的极限，则$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)$不存在。”

2. 声音
   观察依据

   讲师将其转述为：若一条路径给出某个极限，而另一条路径给出不同的极限，则该极限一定不存在。

若$f(x,y)$沿两条不同路径$(x,y)\to(x_0,y_0)$具有两个不同的极限，则$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)$不存在。

1. 存在两条不同的路径趋近于$(x_0,y_0)$。

2. $f(x,y)$沿每条路径的极限均存在。

3. 这两条路径对应的极限互不相同。

对于一个二元函数及某点$(x_0,y_0)$，若存在两个不相等的路径极限，则该多元函数的完整极限不存在。

1. 声音
   观察依据

   讲师得出结论：当$(x,y)$趋近于$(0,0)$时，该函数无极限。

2. 公式
   观察依据

   此前展示的路径计算分别给出$\frac12$沿$y=x$的值和$-\frac12$沿$y=-x$的值。

对于$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$，当$(x,y)\to(0,0)$时的极限不存在。

1. 沿$y=x$方向，限制下的极限为$\frac12$。

2. 沿$y=-x$方向，限制下的极限为$-\frac12$。

3. 这两个路径极限互不相同。

针对该特定函数，在特定点$(0,0)$处。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“现在这个检验仅能告诉我们极限何时不存在。”

2. 字幕依据
   观察依据

   随后屏幕上的问题探讨‘存在性’的含义，以及是否仅凭直线路径上极限一致就足以判定极限存在。

双路径检验仅能判定多元函数极限不存在；它无法判定极限存在。

1. 当前讨论的判据是用于判断极限不存在的双路径检验。

针对视频片段中所提及的该检验。

1. 公式
   观察依据

   方框内类定理陈述直接断言：若沿两条不同路径所得极限不同，则整体极限必不存在。

若$f(x,y)$沿两条不同路径$(x,y)\to (x_0,y_0)$具有两个不同的极限，则$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)$不存在。

1. $f$是二元函数。

2. 存在两条不同的路径趋近于$(x_0,y_0)$。

3. $f(x,y)$沿这两条路径的极限互不相同。

对于给定的$f(x,y)$和点$(x_0,y_0)$，若存在两条极限值不等的路径，则足以判定整体极限不存在。

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕上的问题2询问：若函数沿任意直线趋近时极限值都相同，是否能推出该极限存在？

2. 声音
   观察依据

   主讲人提问：一条弯曲路径是否会改变极限值，还是只有直线路径才重要？

1. 本片段未给出最终答案或反例。

假设沿任意直线趋近时都得到相同的值，那么该极限是否一定存在？

1. 所有沿直线路径趋近$(x_0,y_0)$的方式均得到相同的极限值。

结论对所有直线路径均成立；但由此能否推出整体极限存在，此处仅作为问题提出，尚未定论。

1. 公式
   观察依据

   屏幕显示：lim_{$x\to 1$⁻} $f(x) = 1 \ne 2 = \lim$_{$x\to 1$⁺} $f(x)$。

2. 公式
   观察依据

   屏幕随后显示：因此，当 x 趋近于1时，$f(x)$ 的极限不存在。

3. 声音
   观察依据

   讲解者说明：左侧极限是1，右侧极限是2，二者不相等。

1. 公式

   $$f(x)=\begin{cases}1,&x<1\\2,&x\ge 1\end{cases}$$
   解释

   从给定的分段定义出发。

   步骤依据

   依据屏幕上显示的公式及口头描述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\lim_{x\to1^-} f(x)=1$$
   解释

   当 x 从左侧趋近于1时，x 小于1，因此函数取值为1的分支。

   步骤依据

   直接根据分段定义读出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\lim_{x\to1^+} f(x)=2$$
   解释

   当 x 从右侧趋近于1时，x 大于1，因此函数取值为2的分支。

   步骤依据

   直接根据分段定义读出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$1\ne 2$$
   解释

   这两个单侧极限是两个不同的数值。

   步骤依据

   对前述两个结果进行比较。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\lim_{x\to1} f(x)\text{ DNE}$$
   解释

   因此，函数在 $x=1$ 处的双侧极限不存在。

   步骤依据

   标准判据：左右极限不相等意味着双侧极限不存在。

   视频直接表达

这个单变量分段函数在 $x=1$ 处没有极限，因为它的左极限与右极限不相等。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 $f(x)=1$，其中 $x \ne 1$。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 lim_{$x\to 1$⁻} $f(x)=1=1=\lim$_{$x\to 1$⁺} $f(x)$，因此 $\lim _{x\to 1} f(x)=1$。

3. 声音
   观察依据

   讲解者指出，该函数在两侧都等于 1，因此极限存在且等于 1。

1. 公式

   $$f(x)=1,\ x\ne 1$$
   解释

   从处处等于 1 的函数出发，仅在缺失点 $x=1$ 处例外。

   步骤依据

   屏幕上显示的公式与口头讲解一致。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\lim_{x\to1^-} f(x)=1$$
   解释

   在 1 的左侧，函数值恒为 1，因此左极限为 1。

   步骤依据

   在去心定义域上呈现常值行为。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\lim_{x\to1^+} f(x)=1$$
   解释

   在 1 的右侧，函数值也恒为 1，因此右极限为 1。

   步骤依据

   在去心定义域上呈常数行为。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\lim_{x\to1} f(x)=1$$
   解释

   由于左右极限相等，因此双侧极限存在且等于1。

   步骤依据

   左右极限相等的判定准则。

   视频直接表达

尽管 $f(1)$ 无定义，但当 x 趋近于 1 时的极限存在且等于 1。

1. 公式
   观察依据

   红色文字提示：限定在直线 $y = x$ 上。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 $f(x) = x^2/(x^2 + x^2) = x^2/(2x^2)$。

3. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 lim_{x->0} $x^2/(2x^2) = 1/2$。

4. 声音
   观察依据

   说话人指出：将 x 的值代入所有出现 y 的位置，得到 x 的平方除以 x 的平方加 x 的平方，即 x 的平方除以 2x 的平方。

1. 该片段未继续比较其他路径，也未给出关于完整多元函数极限的最终结论。

1. 公式

   $$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$$
   解释

   从原始的多元函数出发。

   步骤依据

   屏幕上显示的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y=x$$
   解释

   选择直线 $y = x$ 作为一条过原点的路径。

   步骤依据

   音频中明确说明，并以红色屏幕文字标出限制条件。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{x\cdot x}{x^2+x^2}$$
   解释

   将 $y = x$ 代入分子与分母。

   步骤依据

   沿所选路径进行代数代入。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{x^2}{2x^2}$$
   解释

   化简 $x\cdot x = x^2$ 和 $x^2 + x^2 = 2x^2$。

   步骤依据

   基础代数运算。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{2x^2}=\frac12$$
   解释

   在该路径上，当 $x \ne 0$ 时，比值化简为 $1/2$，因此沿此路径的极限为 $1/2$。

   步骤依据

   约去公因式 $x^2$ 距离 $x =0$，然后取极限。

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