使用第二类曲线积分求向量场做功的示例 | 可汗学院

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“假设我有一个向量场”，然后在 ℝ^2 上定义该向量场。

2. 公式
   观察依据

   手写公式为 $F(x,y) = y i - x j$。

$\vec{F}(x,y)$

定义在 xy 平面上的二维向量场。

对 ℝ^2 中的点 (x,y) 定义。

1. 声音
   观察依据

   主讲人称该向量场“定义在 ℝ2 上，即 xy 平面上”，并称“它是关于 x 和 y 的函数。”

2. 公式
   观察依据

   变量 x 和 y 出现在 $F(x,y)$ 中，也出现在分量 y 和 -x 中。

x, y

向量场被求值的平面上某一点的坐标。

ℝ^2 中的实坐标。

1. 声音
   观察依据

   主讲人用“单位向量 i”和“单位向量 j”来命名各分量。

2. 公式
   观察依据

   所写的表达式使用 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$，最终显示形式为 $y\hat{i} - x\hat{j}$。

$\hat{i}$, $\hat{j}$

分别指向正 x 方向和正 y 方向的标准单位向量。

平面上的单位基向量。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“例如，1，0”，并计算了对应的向量。

2. 图示
   观察依据

   在正x轴上标出一个点，并从该点向下画出一个向量。

(1,0)

平面上的一个样例点，用于可视化向量场。

ℝ^2中的一个点。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“当x等于2时……y仍为0”，并指出力向量为-2j。

2. 图示
   观察依据

   在x轴上更靠右的位置标出第二个点，并从该点向下画出一个更长的向量。

(2,0)

正x轴上的另一个样例点，用于展示向量场随x的变化。

ℝ^2中的一个点。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“如果我们来到此处，y等于1且x等于0”，并计算出该向量为1i - 0j。

2. 图示
   观察依据

   在正y轴上标出一个点，并从该点向右画出一个向量。

(0,1)

正y轴上的一个样例点，用于展示向量场的水平分量。

ℝ^2中的一个点。

1. 公式
   观察依据

   左上角手写公式为$\vec{F}(x,y)=y\hat{i}-x\hat{j}$。

2. 声音
   观察依据

   说话者在建立功的积分时，提到了“这个场”和“我们的向量场”。

$\vec{F}(x,y)$

一个二维向量场，其分量为$y$在$\hat{i}$方向上，以及$-x$在$\hat{j}$方向上。

定义在平面上的点$(x,y)$处；本例中，它沿单位圆曲线$C$进行计算。

1. 公式
   观察依据

   $\hat{i}$出现在$\vec{F}(x,y)=y\hat{i}-x\hat{j}$中，也出现在$\vec{r}(t)=\cos t\,\hat{i}+\sin t\,\hat{j}$中。

$\hat{i}$

沿正$x$方向的单位向量。

标准笛卡尔基向量。

1. 公式
   观察依据

   $\hat{j}$出现在$\vec{F}(x,y)=y\hat{i}-x\hat{j}$中，也出现在$\vec{r}(t)=\cos t\,\hat{i}+\sin t\,\hat{j}$中。

$\hat{j}$

沿正$y$方向的单位向量。

标准笛卡尔基向量。

1. 公式
   观察依据

   手写标签以“C:”开头，后接$x(t)=\cos t$、$y(t)=\sin t$和$0\le t\le 2\pi$。

2. 声音
   观察依据

   说话者称该曲线为“曲线C”。

$C$

线积分所沿路径或曲线的名称。

本片段中，$C$是逆时针方向绕行一周的单位圆。

1. 公式
   观察依据

   手写方程$x(t)=\cos t$出现在“C:”下方。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“它的参数化形式为 x 关于 t 的函数等于 t 的余弦。”

$x(t)$

参数化的$x$曲线的坐标关于参数$t$的函数。

本例中，$x(t)=\cos t$取$0\le t\le 2\pi$。

1. 公式
   观察依据

   手写方程$y(t)=\sin t$出现在$x(t)=\cos t$下方。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“而 y 关于 t 的函数……等于 t 的正弦。”

$y(t)$

参数化的$y$曲线的坐标关于参数$t$的函数。

本例中，$y(t)=\sin t$取$0\le t\le 2\pi$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人引入一个向量场沿路径做功的具体实例，并定义了一个定义在 ℝ^2 上的向量场。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\vec{F}(x,y)=y\hat{i}-x\hat{j}$。

该片段设定一个特定的平面向量场，作为沿路径计算功的示例。该场为平面上每一点 (x,y) 分配一个向量，其 x 分量为 y，y 分量为 -x。

1. 定义在 ℝ^2 上，即 xy 平面。

2. 每个输入点 (x,y) 对应唯一一个向量。

1. 声音
   观察依据

   开场句指出，本课将把上一视频的内容应用于“向量场做功的一个具体实例”，即某物体在该向量场中沿路径运动时的情形。

1. 本片段内并未进行实际的线积分计算。

主讲人将问题表述为：把此前介绍的向量场做功计算方法，应用到一个具体的“物体穿过向量场的路径”实例中。本片段仅完成向量场的设定与可视化；路径的设定及积分计算则留待后续内容展开。

1. 假定物体在向量场中沿某条路径运动。

2. 本段属于引入性铺垫，而非完整计算。

1. 本例中所用的向量场

1. 公式
   观察依据

   $\vec{F}(x,y)=y\hat{i}-x\hat{j}$从开头即可见，并持续显示在屏幕上。

2. 图示
   观察依据

   坐标轴周围的紫色箭头表示若干采样点处的场方向。

视频展示了一个二维向量场$\vec{F}(x,y)=y\hat{i}-x\hat{j}$。图中在原点周围布置了紫色箭头，表示该场在若干采样点处的局部方向。后续口述部分将此场视为待计算其沿某条曲线做功的力场。

1. 该场被给定为平面坐标$(x,y)$的函数。

2. 在本片段中，它被用于曲线$C$上，而非一般区域上。

1. $\vec{F}(x,y)$
2. $\hat{i}$
3. $\hat{j}$

1. 公式
   观察依据

   手写线条标注为$C: x(t)=\cos t$、$y(t)=\sin t$、$0\le t\le 2\pi$。

2. 声音
   观察依据

   讲话者明确陈述了参数化形式及参数区间。

曲线$C$由参数方程$x(t)=\cos t$和$y(t)=\sin t$给出，参数范围为$0\le t\le 2\pi$。这给出了一个以原点为中心的圆的标准三角参数化。

1. 参数$t$的取值范围是从$0$到$2\pi$（含端点）。

2. 这些方程定义了路径，但尚未采用积分中常用的向量函数记号。

1. $C$
2. $x(t)$
3. $y(t)$
4. $t$

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“该参数化本质上是一个逆时针方向的圆。”

2. 动画
   观察依据

   一条黄色圆弧从正$x$轴开始，向上穿过上半平面，再绕行整个圆周逐步画出。

3. 图示
   观察依据

   在画完的圆周上添加一个标有$C$的箭头，以指示方向。

主讲人指出该参数化表示一个逆时针方向的圆。图形构造从$(1,0)$ 当 $t=0$ 移动到 $(0,1)$ 在 $t=\pi/2$ 到达 $(-1,0)$ 在 $t=\pi$ 并返回至 $(1,0)$ 经过 $t=2\pi$，完成一次完整的逆时针回路。

1. 该解释使用了$\cos t$和$\sin t$在单位圆上的标准取值。

2. 该片段指出围绕该圆进行了一次完整旋转。

1. 曲线C的参数化描述
2. $t$

1. 声音
   观察依据

   讲解者提问：“该向量场沿此曲线所做的功是多少？”，并指出它等于该向量场与$dr$的点积沿该路径的线积分。

2. 公式
   观察依据

   手写表达式变为$\text{Work}=\int_C \vec F\cdot d\vec r$。

本片段将目标量设定为向量场沿曲线$C$所做的功，写作线积分$\int_C \vec F\cdot d\vec r$。主讲人口头描述为：向量场与运动微分的点积。

1. 该积分在轮廓$C$上进行。

2. 被积函数是向量场与位移微分的点积。

1. 示例中的向量场
2. 曲线C的参数化描述
3. $\text{Work}$
4. $d\vec r$

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示尚未定义$r$，需要一个能刻画路径的向量函数。

2. 公式
   观察依据

   手写表达式$\vec{r}(t)=\cos t\,\hat{i}+\sin t\,\hat{j}$出现，随后是$0\le t\le 2\pi$。

为计算线积分做准备，将标量形式的参数化重写为单一的位置向量函数$\vec{r}(t)=\cos t\,\hat{i}+\sin t\,\hat{j}$，定义域为$0\le t\le 2\pi$。主讲人解释：这种形式很有用，因为它允许对向量函数求导，进而构造出积分中所需的点积。

1. 等价于先前的分量形式参数化$x(t)=\cos t$、$y(t)=\sin t$。

2. 其目的是为$d\vec r$的路径求导提供便利。

1. 曲线C的参数化描述
2. 功作为向量场的线积分
3. $\vec{r}(t)$

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示$\text{Work}=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说他们将“实际计算这个线积分，并求出该场力所做的功”。

本视频将向量场沿路径所做的功定义为线积分$\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$。被积函数是该向量场与曲线上的无穷小位移向量的点积，因此只有向量场中与运动方向相切的分量才起作用。

1. 给定一个向量场$\vec{F}$。

2. 指定了一条参数化路径$C$。

3. 该积分沿路径$C$进行。

1. $\vec{F}(x,y)$
2. $C$
3. $\text{Work}$
4. $d\vec{r}$

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示$C: x(t)=\cos t$、$y(t)=\sin t$、$0\le t\le 2\pi$和$\vec{r}(t)=\cos t\hat{i}+\sin t\hat{j}$。

2. 图示
   观察依据

   以原点为中心的黄色圆，带有逆时针方向的箭头。

曲线$C$是逆时针绕行一周的单位圆，可用分量形式$x(t)=\cos t$、$y(t)=\sin t$表示，也可用向量值函数$\vec{r}(t)=\cos t\hat{i}+\sin t\hat{j}$表示，其中参数$0\le t\le 2\pi$。

1. $t$的取值范围是从$0$到$2\pi$。

2. 这描绘了单位圆逆时针方向的一整圈轨迹。

1. $C$
2. $x(t)$
3. $y(t)$
4. $\vec{r}(t)$
5. $t$

1. 公式
   观察依据

   手写内容：$\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{r}'(t)=-\sin t\hat{i}+\cos t\hat{j}$。

2. 声音
   观察依据

   说话人对$x(t)=\cos t$求导得到$-\sin t$，并对$y(t)=\sin t$求导得到$\cos t$。

对向量值函数求导，需对每个分量分别求导。此处$\vec{r}(t)=\cos t\hat{i}+\sin t\hat{j}$给出$\vec{r}'(t)=-\sin t\hat{i}+\cos t\hat{j}$，即该圆的切向量/速度向量。

1. $\vec{r}(t)$按分量可微。

2. 本例中，$\vec{r}(t)=\cos t\hat{i}+\sin t\hat{j}$。

1. $\vec{r}(t)$
2. $\frac{d\vec{r}}{dt}$ or $\vec{r}'(t)$
3. $x(t)$
4. $y(t)$

1. 公式
   观察依据

   逐行书写：$d\vec{r}=-\sin t\,dt\hat{i}+\cos t\,dt\hat{j}$。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“若要求微分，只需将所有内容乘以$dt$”，并提及分配律。

一旦已知$\vec{r}'(t)$，沿曲线的微分位移即可通过乘以$dt$得到：$d\vec{r}=\vec{r}'(t)\,dt$。本例中结果为$d\vec{r}=-\sin t\,dt\hat{i}+\cos t\,dt\hat{j}$。

1. 在计算出$\vec{r}'(t)$后使用。

2. $dt$是参数的标量微分。

1. $d\vec{r}$
2. $\frac{d\vec{r}}{dt}$ or $\vec{r}'(t)$
3. 位置向量函数的导数

1. 公式
   观察依据

   $\text{Work}=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$已写在黑板上。

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示他们希望计算该线积分。

视频使用公式$\text{Work}=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$来表示向量场沿曲线所做的功。该曲线已参数化，因此线积分被转化为关于参数$t$的普通定积分。

1. 给定向量场$\vec{F}$。

2. 曲线$C$由$\vec{r}(t)$在参数$t$的某个区间上进行参数化。

1. $\text{Work}$
2. $C$
3. $\vec{F}(t)$
4. $d\vec{r}$