母体标准差：从平均数到方差的完整例题

1. 公式
   观察依据

   畫面第二行寫出「得 σ₁² = ((6-8)² + (7-8)² + (8-8)² + (9-8)² + (10-8)²)/5 = 10/5 = 2」。

2. 声音
   观察依据

   這組母體資料的變異數（標準差的平方）

\sigma_1^2

這組母體資料的變異數（標準差的平方）

非負實數；此題算得 2

1. 公式
   观察依据

   畫面第三行寫出「所以標準差為 σ₁ = √2 ≈ 1.41」。

2. 声音
   观察依据

   這組母體資料的標準差

\sigma_1

這組母體資料的標準差

非負實數；此題算得 √2，約為 1.41

1. 公式
   观察依据

   畫面第一行寫出「6,7,8,9,10 的平均數為 (6+7+8+9+10)/5 = 8」。

2. 声音
   观察依据

   資料 6, 7, 8, 9, 10 的平均數

8

資料 6, 7, 8, 9, 10 的平均數

實數

1. 声音
   观察依据

   影片示範的順序是：先求資料平均數，再用每個資料與平均數之差平方後取平均得到變異數 σ₁²，最後對 σ₁² 取平方根得到標準差 σ₁。此處使用的是母體資料版本，分母為資料個數 5。

2. 公式
   观察依据

   畫面以三行依次呈現：平均數、變異數 σ₁²、標準差 σ₁。

影片示範的順序是：先求資料平均數，再用每個資料與平均數之差平方後取平均得到變異數 σ₁²，最後對 σ₁² 取平方根得到標準差 σ₁。此處使用的是母體資料版本，分母為資料個數 5。

1. 資料為母體資料

2. 資料個數 n=5

3. 先求平均數再求離均差平方和

4. 该母体描述性计算用于非空、有限的实数数据，标准差取非负平方根。

1. 8
2. \sigma_1^2
3. \sigma_1

1. 公式
   观察依据

   畫面明確寫出 σ₁² = ((6-8)²+(7-8)²+(8-8)²+(9-8)²+(10-8)²)/5 = 10/5 = 2。

2. 声音
   观察依据

   影片把標準差先透過其平方 σ₁² 來處理，公式內容是各筆資料減去平均數 8 後的平方和，再除以資料個數 5。這對應母體變異數的定義。

影片把標準差先透過其平方 σ₁² 來處理，公式內容是各筆資料減去平均數 8 後的平方和，再除以資料個數 5。這對應母體變異數的定義。

1. 平均數已先求出為 8

2. 分母使用 5，不是 4

1. 8

1. 公式
   观察依据

   畫面第三行寫出「所以標準差為 σ₁ = √2 ≈ 1.41」。

2. 声音
   观察依据

   影片最後一步把已求得的變異數 2 開平方根，得到標準差 √2，並給出小數近似值 1.41。

影片最後一步把已求得的變異數 2 開平方根，得到標準差 √2，並給出小數近似值 1.41。

1. σ₁² 已先算出

2. 標準差取非負平方根

1. \sigma_1^2
2. \sigma_1

1. 公式
   观察依据

   畫面依序顯示三行推導：平均數=8；σ₁²=...=2；σ₁=√2≈1.41。

2. 声音
   观察依据

   這組母體資料 6, 7, 8, 9, 10 的標準差為 √2，約等於 1.41。

1. 公式

   $$\frac{6+7+8+9+10}{5}=8$$
   解释

   先求五筆資料的平均數。

   步骤依据

   畫面第一行與旁白同時給出此算式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\sigma_1^2=\frac{(6-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2}{5}$$
   解释

   將每一筆資料減去平均數 8，平方後相加，再除以 5。

   步骤依据

   畫面第二行左側完整列出此式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=\frac{10}{5}=2$$
   解释

   分子各項平方和化簡為 10，再除以 5 得變異數 2。

   步骤依据

   畫面第二行右側直接寫出化簡結果。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\sigma_1=\sqrt{2}\approx 1.41$$
   解释

   對變異數取平方根，得到標準差並作小數近似。

   步骤依据

   畫面第三行與旁白皆給出此結論。

   视频直接表达

這組母體資料 6, 7, 8, 9, 10 的標準差為 √2，約等於 1.41。

1. 字幕依据
   观察依据

   畫面題目區寫出「設一組母體資料有 5 個數據如下：6、7、8、9、10，試求這組資料的標準差。」

2. 声音
   观察依据

   原片给出这组母体数据，并用三行算式展示平均数、方差与开平方后的结果。

3. 公式
   观察依据

   00:14 後畫面顯示完整解答三行。

設一組母體資料有 5 個數據如下：6、7、8、9、10，試求這組資料的標準差。

1. 資料為母體資料

2. 資料個數為 5

3. 資料值為 6, 7, 8, 9, 10

求這組資料的標準差。

1. 公式

   $$\frac{6+7+8+9+10}{5}=8$$
   解释

   先計算平均數。

   步骤依据

   影片解答第一行。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\sigma_1^2=\frac{(6-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2}{5}=\frac{10}{5}=2$$
   解释

   依母體變異數公式計算離均差平方和的平均。

   步骤依据

   影片解答第二行。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\sigma_1=\sqrt{2}\approx 1.41$$
   解释

   對變異數取平方根得標準差。

   步骤依据

   影片解答第三行。

   视频直接表达

σ₁ = √2 ≈ 1.41

影片未另行驗算；僅以三行連續計算直接得出答案。

1. 图示
   观察依据

   畫面上方有綠色標題「隨堂練習」，下方題目文字已完整顯示，左側有「解」字圖示，但解答區空白。

2. 动画
   观察依据

   游標在題目附近移動，尚未出現算式。

1. 標題「隨堂練習」

2. 題目文字

3. 「解」字圖示

4. 底部章節字樣「3-1 一維數據分析」

1. 游標在題幹上移動

2. 解答區保持空白直到約 00:14

1. 題幹文字不變

2. 版面結構不變

視覺上先把問題完整交代，再進入計算，利於學習者先辨識這是母體資料求標準差的練習題。

1. 动画
   观察依据

   約 00:14 時，解答區一次出現三行算式。

2. 公式
   观察依据

   三行分別為平均數、σ₁²、σ₁ 的最終結果。

1. 平均數算式

2. 變異數算式

3. 標準差算式

4. 游標

1. 空白解答區被三行完整算式取代

2. 游標隨後在三行之間移動指示

1. 題幹仍留在上方

2. 三行算式一旦出現後不再改寫

畫面把解題流程壓縮成三個關鍵步驟：先平均、再變異數、最後開根號，強調標準差計算的固定順序。

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹明確寫「母體資料」。

2. 公式
   观察依据

   解答中變異數分母使用 5。

學習者可能把母體標準差與樣本標準差混為一談，誤以為分母都一樣。

本题给出完整母体，所以方差除以n=5。从样本估计母体方差时，常用分母n-1的校正样本方差；本题不属于那个设定。

1. 公式
   观察依据

   第二行的每一項都是 (資料值 - 8)²，其中 8 來自第一行平均數結果。

2. 声音
   观察依据

   變異數計算直接依賴先前求出的平均數 8；沒有平均數就無法寫出離均差平方和。

變異數計算直接依賴先前求出的平均數 8；沒有平均數就無法寫出離均差平方和。

1. 公式
   观察依据

   第二行先得到 σ₁²=2，第三行再寫 σ₁=√2≈1.41。

2. 声音
   观察依据

   標準差是由變異數取平方根得到的後續應用步驟。

標準差是由變異數取平方根得到的後續應用步驟。

1. 公式
   观察依据

   整頁解答就是對題幹資料套用母體標準差三步法。

本例具體演示了母體標準差計算流程在實際資料上的使用。

1. 声音
   观察依据

   画面上的计算对应问题：如何計算一組母體資料的標準差？

2. 公式
   观察依据

   畫面三行依次對應這三個步驟。

1. 母體標準差的計算流程
2. 本題使用的變異數公式
3. 由變異數取平方根得標準差

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹寫明這是「母體資料」。

2. 公式
   观察依据

   變異數式中分母為 5。

1. 本題使用的變異數公式
2. 母體與樣本分母不同

1. 公式
   观察依据

   最終答案寫在第三行：σ₁=√2≈1.41。

1. 隨堂練習：求母體資料 6,7,8,9,10 的標準差
2. 由變異數取平方根得標準差