六人脉搏样本：方差与标准差怎么算

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示「算術平均數為 x̄ = (71+83+67+74+70+79)/6 = 74」

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

$\bar{x}$

樣本算術平均數

實數

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示「S² = 1/(6-1) [(71-74)² + ... + (79-74)²]」

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

S^2

樣本變異數

非負實數

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示「算術平均數為 x̄ = (71+83+67+74+70+79)/6 = 74」。

$\bar{x}$

樣本資料的算術平均數

實數

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示「S² = 1/(6-1)[(71-74)^2 + ... + (79-74)^2]」，並最終算出 36。

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

S^2

樣本變異數

非負實數

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示「樣本標準差為 S = √36 = 6」。

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

S

樣本標準差

非負實數

1. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

2. 公式
   观察依据

   分母寫成 6-1，對應樣本量 n=6。

n

樣本量

正整數

1. 公式
   观察依据

   畫面給出 S² = 1/(n-1) Σ(x_i - x̄)² 的具體展開式，分母明確寫為 6-1

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

本片采用修正样本方差定义：以样本均值为基准，偏差平方和除以n−1。本题只计算样本统计量；不据此声称已经得到全班的精确总体方差或无偏标准差。

1. 本片采用修正样本方差约定

2. 样本人数n大于1

3. 使用这组样本自身的均值

1. 算術平均數計算

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 x̄ = (71+83+67+74+70+79)/6 = 74

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

將所有樣本觀測值相加後除以樣本容量 n，得到樣本中心位置。此步驟是計算變異數的必要前置作業。

1. 需要已知所有樣本觀測值

1. 公式
   观察依据

   畫面給出 S² = 1/(6-1)[(71-74)^2+(83-74)^2+(67-74)^2+(74-74)^2+(70-74)^2+(79-74)^2]。

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

影片以具體資料示範樣本變異數：先把每個觀測值減去平均數，再平方，最後把這些平方差相加，除以 n-1。此處 n=6，因此分母為 6-1=5。

1. 需要已知樣本資料 x_1,x_2,…,x_n

2. 需要先算出樣本平均數 x̄

3. 分母使用 n-1 而非 n

1. 算術平均數

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示「樣本標準差為 S = √36 = 6」。

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

影片直接將樣本標準差定義為樣本變異數的平方根。因為前面算得 S²=36，所以 S=√36=6。

1. S² 已先求出

2. 取非負平方根

1. 樣本變異數的計算公式

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 x̄=(71+83+67+74+70+79)/6=74。

影片先求六筆資料的算術平均數，作為後續計算離均差的基準。

1. 資料為有限個數值 x_1,…,x_n

1. 公式
   观察依据

   畫面逐步顯示分子求和與除以 6 的過程，最終結果為 74

1. 公式

   $$\bar{x} = \frac{71+83+67+74+70+79}{6}$$
   解释

   代入六個脈搏跳動次數數據

   步骤依据

   算術平均數定義

   视频直接表达
2. 公式

   $$\bar{x} = 74$$
   解释

   計算總和 444 除以 6

   步骤依据

   基本算術運算

   视频直接表达

樣本平均數為 74

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 S² = 1/(6-1) [(71-74)² + (83-74)² + (67-74)² + (74-74)² + (70-74)² + (79-74)²]

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

1. 当前0–71秒范围建立公式；完整视频在后续给出36与6。

1. 公式

   $$S^2 = \frac{1}{6-1} \sum_{i=1}^{6} (x_i - 74)^2$$
   解释

   將 n=6 與 x̄=74 代入樣本變異數公式

   步骤依据

   樣本變異數定義

   视频直接表达
2. 公式

   $$S^2 = \frac{1}{5} [(71-74)^2 + (83-74)^2 + (67-74)^2 + (74-74)^2 + (70-74)^2 + (79-74)^2]$$
   解释

   展開每個觀測值與平均數的偏差平方

   步骤依据

   求和符號展開

   视频直接表达

这里建立样本方差计算式，分母为5；全片随后完成平方和计算并得到36。

1. 公式
   观察依据

   畫面逐步寫出 S² 的展開式、簡化式與最終值 36。

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

1. 公式

   $$\bar{x}=\frac{71+83+67+74+70+79}{6}=74$$
   解释

   先求六筆資料的平均數。

   步骤依据

   算術平均數定義。

   视频直接表达
2. 公式

   $$S^2=\frac{1}{6-1}[(71-74)^2+(83-74)^2+(67-74)^2+(74-74)^2+(70-74)^2+(79-74)^2]$$
   解释

   把每個資料減去平均數後平方，再相加，除以 6-1。

   步骤依据

   樣本變異數公式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=\frac{1}{5}[(-3)^2+9^2+(-7)^2+0^2+(-4)^2+5^2]$$
   解释

   計算各離均差：71-74=-3，83-74=9，67-74=-7，74-74=0，70-74=-4，79-74=5。

   步骤依据

   代數化簡。

   视频直接表达
4. 公式

   $$=\frac{1}{5}\times 180=36$$
   解释

   平方和為 9+81+49+0+16+25=180，再乘以 1/5。

   步骤依据

   算術計算。

   视频直接表达

樣本變異數 S²=36。

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 S=√36=6。

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

1. 公式

   $$S=\sqrt{S^2}$$
   解释

   樣本標準差定義為樣本變異數的平方根。

   步骤依据

   標準差與變異數關係。

   视频直接表达
2. 公式

   $$S=\sqrt{36}=6$$
   解释

   代入前一步得到的 S²=36。

   步骤依据

   算術計算。

   视频直接表达

樣本標準差 S=6。

1. 字幕依据
   观察依据

   題目文字：商二甲有 40 位學生，依隨機抽樣得班上 6 人的脈搏每分鐘跳動次數分別為 71、83、67、74、70、79

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

1. 保留当前0–71秒的前两步，完整数值结果在全片后续给出。

已知 40 人班級中隨機抽取 6 人的脈搏數據，求樣本變異數與樣本標準差

1. 母體大小 N=40（僅用於說明抽樣背景，不參與樣本統計量計算）

2. 樣本數據 x_i ∈ {71, 83, 67, 74, 70, 79}

3. 樣本容量 n=6

計算樣本變異數 S² 與樣本標準差 S

1. 公式

   $$\bar{x} = \frac{71+83+67+74+70+79}{6} = 74$$
   解释

   先計算樣本平均數作為變異數公式的中心

   步骤依据

   算術平均數定義

   视频直接表达
2. 公式

   $$S^2 = \frac{1}{6-1} [(71-74)^2 + (83-74)^2 + (67-74)^2 + (74-74)^2 + (70-74)^2 + (79-74)^2]$$
   解释

   代入樣本變異數公式，注意分母為 n-1=5

   步骤依据

   樣本變異數定義

   视频直接表达

全片答案：样本方差36，样本标准差6；本项保留建立公式的前两步。

本站独算偏差平方和180，除以5得36，再取非负平方根得6；全片原图结果一致。

1. 字幕依据
   观察依据

   題目文字：「商二甲有 40 位學生，依隨機抽樣得班上 6 人的脈搏每分鐘跳動次數分別為 71、83、67、74、70、79，則脈搏的樣本變異數為______、樣本標準差為______。」

2. 公式
   观察依据

   解答區逐步算出平均數 74、變異數 36、標準差 6。

3. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

已知抽樣得到 6 人脈搏每分鐘跳動次數為 71、83、67、74、70、79，求樣本變異數與樣本標準差。

1. 樣本資料：71, 83, 67, 74, 70, 79

2. 樣本量 n=6

3. 總體人數 40 僅為背景資訊，未參與計算

求 S² 與 S。

1. 公式

   $$\bar{x}=\frac{71+83+67+74+70+79}{6}=74$$
   解释

   先求平均數。

   步骤依据

   算術平均數定義。

   视频直接表达
2. 公式

   $$S^2=\frac{1}{5}[(71-74)^2+(83-74)^2+(67-74)^2+(74-74)^2+(70-74)^2+(79-74)^2]$$
   解释

   套用樣本變異數公式。

   步骤依据

   樣本變異數定義。

   视频直接表达
3. 公式

   $$S^2=\frac{1}{5}[(-3)^2+9^2+(-7)^2+0^2+(-4)^2+5^2]=\frac{1}{5}\times180=36$$
   解释

   計算平方和並化簡。

   步骤依据

   算術運算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$S=\sqrt{36}=6$$
   解释

   對變異數取平方根。

   步骤依据

   標準差定義。

   视频直接表达

樣本變異數為 36，樣本標準差為 6。

畫面最後把答案回填到題目空格：變異數空格填 36，標準差空格填 6。

1. 动画
   观察依据

   白色書寫區依序浮現平均數算式與變異數展開式，關鍵數字 74 與分母 6-1 清晰可見

1. 平均數算式

2. 變異數展開式

3. 黃色圓形「解」字標籤

1. 從空白書寫區到顯示完整平均數計算

2. 從平均數結果到顯示變異數公式結構

1. 題目敘述文字始終固定於畫面上方

2. 東大圖書公司水印位置不變

視覺化呈現了從原始數據到統計量公式的邏輯順序，強調了 n-1 分母的結構特徵

1. 动画
   观察依据

   黃色游標先停留在分母 6-1 上。

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

1. 分母 6-1

2. 黃色游標

1. 游標停在分母位置，提示此处分母不是 6 而是 6-1

1. 分子結構仍為各離均差平方和

視覺上突出樣本變異數與母體變異數在分母上的差別：此處使用 n-1。

1. 动画
   观察依据

   游標移到平均數 74，再移到第一個括號 (71-74)^2。

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

1. 平均數 74

2. (71-74)^2

3. 黃色游標

1. 游標先指 74，再指 71-74

1. 所有括號都採用「資料減平均」的形式

說明變異數中的每一項都是單筆資料與平均數的差。

1. 动画
   观察依据

   游標依序掃過 (83-74)^2、(67-74)^2、(74-74)^2、(70-74)^2、(79-74)^2。

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

1. 六個平方差項

2. 黃色游標

1. 游標按題目資料順序逐一指向各項

1. 每項都是 (x_i-74)^2

2. 共六項，對應 n=6

把抽象公式對應到具體資料，顯示變異數是對全部樣本偏差平方求和。

1. 动画
   观察依据

   畫面新增一行 =1/5[(-3)^2+9^2+(-7)^2+0^2+(-4)^2+5^2]，游標再逐項停留。

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

1. 新出現的化簡行

2. 數值 -3, 9, -7, 0, -4, 5

1. 從 (x_i-74)^2 形式轉為具體差值平方形式

1. 項數仍為六項

2. 分母仍為 5

視覺上展示代數化簡結果，讓後續平方和計算更清楚。

1. 动画
   观察依据

   先出現「樣本標準差為 S=√36=6」，隨後題目空格被紅字填入 36 與 6。

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

1. 底部新增的標準差行

2. 題目中的兩個空格

3. 紅色答案 36、6

1. 解答區增加最終標準差式

2. 題目空格由空白變成 36 和 6

1. 變異數計算結果保持 36

2. 標準差計算結果保持 6

把推導結果對應回原題，完成填空式解答。

1. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

2. 公式
   观察依据

   畫面中變異數分母寫為 6-1 而非 6

認為樣本變異數也應除以樣本容量 n

本题明确采用修正样本方差公式，偏差平方和除以n−1；若要描述一个完整有限总体的方差，则按总体定义除以总体人数。这里不额外主张任何标准差估计量无偏，也不把抽样值当作全班总体参数。

1. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

2. 动画
   观察依据

   游標停在分母 6-1 上。

容易把樣本變異數的分母誤寫成樣本量 n。

影片明確指出此處是樣本變異數，分母應為 n-1；本題 n=6，所以分母是 6-1=5。

1. 公式
   观察依据

   變異數展開式中反覆出現 (x_i - 74)²，其中 74 正是前一步算出的 x̄

樣本變異數的計算依賴已求得的樣本平均數作為偏差基準點

1. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

通過與母體變異數的對比來界定樣本變異數的分母規則與適用範圍

1. 公式
   观察依据

   先給出 x̄=74，再在 S² 中反覆出現減去 74 的項。

樣本變異數的計算依賴先求出平均數，再把每筆資料減去該平均數。

1. 公式
   观察依据

   畫面由 S²=36 過渡到 S=√36=6。

2. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

樣本標準差直接由樣本變異數取平方根得到。

1. 公式
   观察依据

   S² 公式分母明確寫為 6-1

1. 樣本變異數定義
2. 樣本與母體變異數分母混淆

1. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

1. 樣本變異數定義
2. 樣本與母體變異數分母混淆

1. 声音
   观察依据

   讲解先区分样本与总体，再按样本均值、修正样本方差、样本标准差的顺序计算脉搏数据。

1. 樣本變異數的計算公式

1. 公式
   观察依据

   完整展示從平均數到平方和再到 36 的計算。

1. 算術平均數
2. 樣本變異數的計算公式

1. 公式
   观察依据

   S=√36=6。

1. 樣本標準差與樣本變異數的關係