五人体重：总体方差与标准差怎么算

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示算術平均數為 μ = (67+79+55+61+88)/5 = 70

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

μ

算術平均數（在此題中為五名隊員體重的平均值）

實數

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示母體變異數為 σ² = 1/5[(67-70)² + (79-70)² + (55-70)² + (61-70)² + (88-70)²]

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

σ²

母體變異數

非負實數

1. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

2. 公式
   观察依据

   公式中分母寫為 5

n

母體資料筆數（隊員人數）

正整數

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示「算術平均數為 μ = (67+79+55+61+88)/5 = 70」。

$\mu$

該組資料的算術平均數，亦即母體平均數

實數；此題中為體重資料的平均值，單位為公斤

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示「母體變異數為 σ² = 1/5[(67-70)² + (79-70)² + (55-70)² + (61-70)² + (88-70)²]」，後續化簡為 144。

$\sigma^2$

母體變異數，等於各資料與平均數偏差平方和除以資料個數

非負實數；此題結果為 144

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示「母體標準差為 σ = √144 = 12」。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

$\sigma$

母體標準差，等於母體變異數的非負平方根

非負實數；此題結果為 12

1. 公式
   观察依据

   平均數分母與變異數係數皆使用 5。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

n

資料個數／母體大小

正整數；此題 n=5

1. 公式
   观察依据

   公式中逐一代入 67、79、55、61、88 減去 70 後平方。

x_i

第 i 筆資料值；此題為五名隊員的體重

實數；此題取值為 67, 79, 55, 61, 88

1. 公式
   观察依据

   μ = (67+79+55+61+88)/5 = 70

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

算術平均數 μ 等於所有資料值之和除以資料筆數 n。本題中將五名隊員的體重相加後除以 5，得到平均體重為 70 公斤。

1. 資料為有限筆數的數值型數據

2. n > 0

1. 公式
   观察依据

   σ² = 1/5[(67-70)² + (79-70)² + (55-70)² + (61-70)² + (88-70)²]

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

母體變異數 σ² 定義為每個資料值與母體平均數 μ 之差的平方和，再除以母體筆數 n。本題中先求出 μ=70，再計算各體重與 70 的差值平方並取平均。

1. 已知母體平均數 μ

2. 資料代表整個母體而非樣本

1. 算術平均數

1. 公式
   观察依据

   畫面以「母體變異數為」引出 σ² = 1/5[(67-70)² + (79-70)² + (55-70)² + (61-70)² + (88-70)²]。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

影片將母體變異數寫成資料與平均數偏差平方的平均：先把每筆資料 x_i 減去平均數 μ，再平方，最後除以資料個數 n。此題中 n=5、μ=70。

1. 資料視為整個母體而非樣本

2. μ 為該母體的平均數

3. n 為母體資料個數

1. 算術平均數

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示「母體標準差為 σ = √144 = 12」。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

影片把母體標準差定義為母體變異數的平方根。由於變異數已算得 144，故標準差為 √144=12。

1. σ² 為母體變異數

2. 取非負平方根

1. 母體變異數的定義式

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 μ=(67+79+55+61+88)/5=70。

影片先求出五筆資料的算術平均數，作為後續計算偏差的基準值。

1. n 為資料個數

2. 此題 n=5

1. 公式
   观察依据

   逐步顯示分子為 67+79+55+61+88，分母為 5，結果為 70

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

1. 公式

   $$\mu = \frac{67+79+55+61+88}{5}$$
   解释

   將五名隊員體重代入算術平均數公式

   步骤依据

   算術平均數定義

   视频直接表达
2. 公式

   $$\mu = \frac{350}{5} = 70$$
   解释

   計算分子總和並除以 5

   步骤依据

   基本算術運算

   依据视频推导

五名隊員的平均體重為 70 公斤。

1. 公式
   观察依据

   畫面完整展開 σ² = 1/5[(67-70)² + (79-70)² + (55-70)² + (61-70)² + (88-70)²]

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

1. 当前0–60秒范围只建立公式；全片后续完成144与12的数值结果。

1. 公式

   $$\sigma^2 = \frac{1}{5}[(67-70)^2 + (79-70)^2 + (55-70)^2 + (61-70)^2 + (88-70)^2]$$
   解释

   將各體重與已求得的平均數 70 代入母體變異數公式

   步骤依据

   母體變異數定義

   视频直接表达

这里建立总体方差计算式，接下来继续计算平方和；全片最终得到144平方公斤。

1. 公式
   观察依据

   畫面逐步顯示 σ² = 1/5[(67-70)²+(79-70)²+(55-70)²+(61-70)²+(88-70)²] = 1/5[(-3)²+9²+(-15)²+(-9)²+18²] = 1/5×720 = 144。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

1. 公式

   $$\mu=\frac{67+79+55+61+88}{5}=70$$
   解释

   先求平均數，作為每筆資料偏差的基準。

   步骤依据

   算術平均數定義。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\sigma^2=\frac{1}{5}\left[(67-70)^2+(79-70)^2+(55-70)^2+(61-70)^2+(88-70)^2\right]$$
   解释

   將五筆資料分別減去平均數 70，再平方後相加，最後除以 5。

   步骤依据

   母體變異數定義。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=\frac{1}{5}\left[(-3)^2+9^2+(-15)^2+(-9)^2+18^2\right]$$
   解释

   計算各括號內的差值：67-70=-3，79-70=9，55-70=-15，61-70=-9，88-70=18。

   步骤依据

   代數化簡。

   视频直接表达
4. 公式

   $$=\frac{1}{5}\times 720$$
   解释

   將五個平方項相加得到 720。

   步骤依据

   算術求和；影片未逐項展示 9、81、225、81、324 的中間加法，但結果可驗證。

   视频直接表达
5. 公式

   $$=144$$
   解释

   完成除法，得到母體變異數。

   步骤依据

   720÷5=144。

   视频直接表达

此題母體變異數為 144。

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 σ=√144=12。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

1. 公式

   $$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$$
   解释

   標準差定義為變異數的平方根。

   步骤依据

   母體標準差定義。

   视频直接表达
2. 公式

   $$=\sqrt{144}$$
   解释

   代入前一步算得的變異數 144。

   步骤依据

   等量代換。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=12$$
   解释

   計算平方根。

   步骤依据

   12^2=144，且標準差取非負值。

   视频直接表达

此題母體標準差為 12。

1. 字幕依据
   观察依据

   題目文字：啦啦隊有 5 名隊員，其體重（單位：公斤）分別為 67、79、55、61、88，則體重的母體變異數為______、母體標準差為______。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

1. 此例前两步对应0–60秒，完整答案在全片后续展示。

已知 5 名隊員體重為 67、79、55、61、88 公斤，求母體變異數與母體標準差。

1. 資料集：{67, 79, 55, 61, 88}

2. 單位：公斤

3. n = 5

計算母體變異數 σ² 與母體標準差 σ

1. 公式

   $$\mu = \frac{67+79+55+61+88}{5} = 70$$
   解释

   先求算術平均數作為變異數計算的基準

   步骤依据

   變異數定義依賴平均數

   视频直接表达
2. 公式

   $$\sigma^2 = \frac{1}{5}[(67-70)^2 + (79-70)^2 + (55-70)^2 + (61-70)^2 + (88-70)^2]$$
   解释

   代入母體變異數公式展開各項離均差平方

   步骤依据

   母體變異數定義

   视频直接表达

全片完整答案：总体方差144平方公斤，总体标准差12公斤；此处保留建立公式的前两步。

可透過檢查各離均差平方是否正確對應原始資料與平均數 70 來驗證公式展開無誤。

1. 公式
   观察依据

   題目文字給出五名隊員體重 67、79、55、61、88，要求母體變異數與母體標準差。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

啦啦隊有 5 名隊員，其體重（單位：公斤）分別為 67、79、55、61、88，求體重的母體變異數與母體標準差。

1. 資料為整個母體

2. n=5

3. x_1=67, x_2=79, x_3=55, x_4=61, x_5=88

求 σ² 與 σ。

1. 公式

   $$\mu=\frac{67+79+55+61+88}{5}=70$$
   解释

   先求平均數。

   步骤依据

   算術平均數定義。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\sigma^2=\frac{1}{5}\left[(67-70)^2+(79-70)^2+(55-70)^2+(61-70)^2+(88-70)^2\right]$$
   解释

   套用母體變異數公式。

   步骤依据

   母體變異數定義。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=\frac{1}{5}\left[(-3)^2+9^2+(-15)^2+(-9)^2+18^2\right]=\frac{1}{5}\times720=144$$
   解释

   化簡差值、平方、求和並除以 5。

   步骤依据

   代數運算與算術求和。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\sigma=\sqrt{144}=12$$
   解释

   對變異數取平方根得到標準差。

   步骤依据

   母體標準差定義。

   视频直接表达

母體變異數為 144，母體標準差為 12。

反向檢查：12^2=144，且 144×5=720 與五個平方偏差之和一致。

1. 图示
   观察依据

   白底黃框投影片顯示完整題目文字與兩個填空線

2. 动画
   观察依据

   黃色游標依序指向題目中的數字與關鍵字

1. 題目文字

2. 填空線

3. 黃色游標

1. 游標從標題移動至各體重數值

2. 游標指向「母體變異數」與「母體標準差」填空處

1. 題目文字內容不變

2. 背景版式不變

透過游標視覺引導學習者聚焦於關鍵數據與求解目標。

1. 动画
   观察依据

   「解」字圓形圖示出現後，算術平均數公式逐項浮現

2. 动画
   观察依据

   平均數結果 70 顯示後，母體變異數公式以展開形式完整呈現

1. 「解」圖示

2. 平均數公式

3. 變異數展開式

1. 公式由空白到完整顯示

2. 數值 70 被填入變異數公式中

1. 公式結構與符號保持一致

動畫同步講師語速逐步揭示計算邏輯，強化從平均數到變異數的推導順序。

1. 动画
   观察依据

   黃色游標依序指向 σ² 公式中的 (67-70)²、(79-70)²、(55-70)²、(61-70)²、(88-70)²。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

1. σ² 公式

2. 五個 (x_i-70)² 項

3. 黃色游標

1. 游標從第一項移動到第五項

2. 每項被逐一強調

1. 平均數 70 不變

2. 資料個數 5 不變

3. 公式結構為偏差平方和再除以 5

視覺上強調母體變異數是把每一筆資料相對平均數的偏差平方後再加總平均。

1. 动画
   观察依据

   畫面新增一行 =1/5[(-3)²+9²+(-15)²+(-9)²+18²]，隨後又顯示 =1/5×720=144。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

1. 原始偏差平方式

2. 化簡後平方項

3. 720

4. 144

1. 括號內差值被算出

2. 平方和被合併為 720

3. 除以 5 後得到 144

1. 仍是同一個 σ² 表達式

2. 分母仍為 5

動畫把抽象公式轉成具體數值計算，說明變異數的最終值來自平方偏差總和的平均。

1. 动画
   观察依据

   題目空格先填入 144，接著下方新增「母體標準差為 σ=√144=12」，最後第二個空格填入 12。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

1. 題目兩個空格

2. σ=√144=12 公式

3. 數字 144 與 12

1. 第一個空格由空白變為 144

2. 新增標準差計算行

3. 第二個空格由空白變為 12

1. 資料本身不變

2. 變異數結果 144 不變

視覺順序對應解題流程：先求變異數，再由變異數推出標準差，最後把答案回填到題目。

1. 公式
   观察依据

   題目明確寫「母體變異數」，畫面公式使用 1/5 而不是 1/(5-1)。

1. 样本与总体分母对比是本站补充；原片明确采用总体公式。

把所有變異數都除以 n-1。

本題是母體資料，影片採用 σ²=(1/n)Σ(x_i-μ)²，因此分母是 n=5；若改成樣本變異數，公式與分母會不同。

1. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

2. 公式
   观察依据

   變異數公式中的 70 直接來自前一步平均數結果

母體變異數的計算必須先取得母體平均數 μ，本題中 μ=70 是直接代入變異數公式的必要輸入。

1. 公式
   观察依据

   先顯示 μ=70，隨後 σ² 公式中每項都減去 70。

計算母體變異數前必須先知道平均數 μ，因為偏差是 x_i-μ。

1. 公式
   观察依据

   畫面先得到 σ²=144，再寫 σ=√144=12。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

母體標準差直接由母體變異數取平方根得到。

1. 公式
   观察依据

   例題完整套用平均數、變異數、標準差三個公式。

例題是這些定義在具体數據上的應用。

1. 公式
   观察依据

   μ = (67+79+55+61+88)/5 = 70

1. 算術平均數
2. 母體變異數

1. 公式
   观察依据

   公式使用 1/n 而非 1/(n-1)

1. 視頻未明確對比樣本變異數，此為分析員基於公式形式的補充判斷

1. 母體變異數

1. 公式
   观察依据

   畫面直接給出母體變異數公式與計算。

1. 母體變異數的定義式
2. 由定義式計算母體變異數

1. 公式
   观察依据

   公式使用 1/5，且題目說明有 5 名隊員。

1. 母體變異數的定義式
2. 母體變異數與樣本變異數的分母不同

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 σ=√144=12。

2. 声音
   观察依据

   讲解按照平均数、偏差平方平均、标准差的顺序完成这组总体体重计算。

1. 母體標準差的定義式
2. 由變異數求母體標準差

1. 动画
   观察依据

   題目空格依次填入 144 與 12。

1. 啦啦隊隊員體重的母體變異數與標準差
2. 由定義式計算母體變異數
3. 由變異數求母體標準差