正态曲线还是样本直方图：概率与四分位数

1. 公式
   观察依据

   題幹文字寫出「平均數為 55 公斤」

55

樣本體重的平均數，亦為曲線 N 所代表常態分佈的平均數

公斤

1. 公式
   观察依据

   題幹文字寫出「標準差為 12.5 公斤」

1. 2.5%使用中央95%的经验近似；精确正态2倍标准差右尾约2.275%，这项精确值是本站补充。

12.5

樣本體重的標準差，亦為曲線 N 所代表常態分佈的標準差

公斤

1. 公式
   观察依据

   題幹文字寫出「曲線 N 代表一常態分佈」

2. 图示
   观察依据

   右側圖中有一條黃色曲線標示為 N

N

以樣本平均數與標準差繪出的理想常態分佈曲線

分佈曲線名稱

1. 公式
   观察依据

   題幹文字寫出「體重超過樣本平均數 2 個標準差以上 (即體重超過 80 公斤以上)」

1. 2.5%使用中央95%的经验近似；精确正态2倍标准差右尾约2.275%，这项精确值是本站补充。

80

體重過重的門檻，等於 55 + 2×12.5

公斤

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹文字寫明「該 100 名婦女體重的平均數為 55 公斤」。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

55

樣本平均體重

公斤

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹文字寫明「標準差為 12.5 公斤」。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

12.5

樣本標準差

公斤

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹文字寫明「曲線 N 代表一常態分佈，其平均數與標準差與樣本值相同」。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

N

以樣本平均數與標準差為參數的常態分佈曲線

分佈名稱

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹文字寫明「體重超過樣本平均數 2 個標準差以上 (即體重超過 80 公斤以上)」。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

80

體重過重門檻

公斤

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 公式
   观察依据

   題幹同時給出直方圖資料與「曲線 N 代表一常態分佈」

3. 图示
   观察依据

   畫面右側可見青色直方圖與黃色曲線 N 疊合

1. 2.5%使用中央95%的经验近似；精确正态2倍标准差右尾约2.275%，这项精确值是本站补充。

本題把同一組體重資料用兩種方式呈現：青色直方圖顯示 100 名婦女實際體重的相對次數分配；黃色曲線 N 則是根據樣本平均數 55 與標準差 12.5 畫出的理想常態分佈。選項 (1)(2) 明確針對曲線 N，選項 (3)(4)(5) 則回到樣本本身。

1. 直方圖代表實際樣本分配

2. 曲線 N 代表理想化的常態分佈

3. 判斷選項時要先確認其對象是樣本還是曲線 N

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

3. 公式
   观察依据

   選項 (1) 文字為「在 55 公斤以上所佔的比例約為 50%」

常態分佈是對稱於平均數的分佈，因此落在平均數以上的比例與以下的比例各為 50%。本題曲線 N 的平均數是 55，所以在 55 公斤以上的比例約為 50%。

1. X 服從常態分佈

2. μ 為該常態分佈的平均數

1. 直方圖與常態分佈曲線的區分

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 公式
   观察依据

   題幹寫出「體重超過樣本平均數 2 個標準差以上 (即體重超過 80 公斤以上)」

3. 动画
   观察依据

   約 59 秒後講者在下方手寫標出 68、95 與 2.5% 的對應關係

1. 2.5%使用中央95%的经验近似；精确正态2倍标准差右尾约2.275%，这项精确值是本站补充。

由題幹可知平均數為 55、標準差為 12.5，故 55+2×12.5=80。選項 (2) 問的是曲線 N 在 80 公斤以上的比例，因此可轉化為常態分佈中超過 μ+2σ 的尾部比例。

1. 使用曲線 N 的平均數 55 與標準差 12.5

2. 此式用於把 80 公斤改寫為 μ+2σ

1. 直方圖與常態分佈曲線的區分

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 动画
   观察依据

   畫面下方出現手寫的 68、95，並把兩端標為 2.5%

3. 公式
   观察依据

   選項 (2) 結論為「在 80 公斤以上所佔的比例約為 2.5%」

1. 2.5%使用中央95%的经验近似；精确正态2倍标准差右尾约2.275%，这项精确值是本站补充。

對常態分佈而言，約 68% 的資料落在 μ±1σ 內，約 95% 落在 μ±2σ 內。既然 μ±2σ 內佔 95%，兩側剩餘總比例為 5%；利用對稱性，每一側尾端約為 2.5%。因此 P(X>μ+2σ)≈2.5%。

1. 適用於常態分佈

2. 使用近似的 68-95 經驗法則而非精確積分表值

1. 常態分佈以平均數為對稱軸
2. 80 公斤對應平均數加 2 個標準差

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹說明「右圖是根據 100 名婦女的體重所作出的直方圖」，並說明「圖中百分比數字代表各體重區間的相對次數」。

2. 图示
   观察依据

   原图六组为(35,45]、(45,55]、(55,65]、(65,75]、(75,85]、(85,95]，比例依次20%、33%、24%、12%、6%、5%；刻度40、50等是柱子的中心。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

本題把 100 名婦女體重整理成直方圖，圖中每個區間上方標出的百分比就是該區間在整體樣本中的相對次數，也就是該區間人數佔總人數的比例。

1. 資料來自 100 名婦女體重樣本

2. 各區間不包含左端點而包含右端點

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹寫明「曲線 N 代表一常態分佈，其平均數與標準差與樣本值相同」。

2. 图示
   观察依据

   畫面上疊加一條黃色曲線 N，位於直方圖之上。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

2. X_N是本站为曲线N所代表随机变量引入的记号，原题N是曲线名称。

曲線 N 不是另外獨立估計的分佈，而是直接取樣本平均數 55 公斤與標準差 12.5 公斤作為參數所得到的常態分佈，用來與實際直方圖比較理論比例與樣本比例。

1. 平均數 = 55

2. 標準差 = 12.5

1. 直方圖中的百分比代表相對次數

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹定義「體重過重」為「體重超過樣本平均數 2 個標準差以上 (即體重超過 80 公斤以上)」。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

本題將「體重過重」定義為超過樣本平均數 2 個標準差以上的體重。由於平均數為 55、標準差為 12.5，所以門檻為 55 + 2×12.5 = 80 公斤。

1. 平均數 = 55

2. 標準差 = 12.5

3. 超過 2 個標準差

4. 仅使用这道数学题给定的判定约定。

1. 以樣本平均數與標準差定義的常態分佈曲線 N

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 图示
   观察依据

   原图六组为(35,45]、(45,55]、(55,65]、(65,75]、(75,85]、(85,95]，比例依次20%、33%、24%、12%、6%、5%；刻度40、50等是柱子的中心。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

前组(35,45]为20%，再加第二组(45,55]的33%，累计为53%。样本中间位置在第二组，因此中位数在(45,55]，不大于55。

1. 使用直方圖的相對次數做累積

1. 直方圖中的百分比代表相對次數

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 图示
   观察依据

   原图六组为(35,45]、(45,55]、(55,65]、(65,75]、(75,85]、(85,95]，比例依次20%、33%、24%、12%、6%、5%；刻度40、50等是柱子的中心。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

(35,45]只有20%，低于25%；加入(45,55]的33%后累计53%，超过25%。第一四分位数在第二组(45,55]，所以严格大于45；不在组内插值。

1. 使用直方圖的相對次數做累積

1. 直方圖中的百分比代表相對次數

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 图示
   观察依据

   選項 (2) 提到常態分佈下 80 公斤以上約 2.5%，選項 (5) 提到樣本中 80 公斤以上大於或等於 5%。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

参考正态曲线超过80的概率，按经验近似约2.5%，精确值约2.275%。直方图只能保证样本超过80至少5%且至多11%，不能写成确定的5%或10%。

1. 同一組平均數與標準差

2. 比較對象皆為 80 公斤以上

1. 以樣本平均數與標準差定義的常態分佈曲線 N
2. 本题给定的体重门槛

1. 公式
   观察依据

   選項 (1) 原文為「曲線 N (常態分佈) 中，在 55 公斤以上所佔的比例約為 50%」

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

在曲線 N 代表的常態分佈中，體重超過 55 公斤的比例約為 50%。

1. 曲線 N 為常態分佈

2. 其平均數為 55

對該常態分佈而言

1. 公式
   观察依据

   選項 (2) 原文為「曲線 N (常態分佈) 中，在 80 公斤以上所佔的比例約為 2.5%」

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 2.5%使用中央95%的经验近似；精确正态2倍标准差右尾约2.275%，这项精确值是本站补充。

在曲線 N 代表的常態分佈中，體重超過 80 公斤的比例約為 2.5%。

1. 曲線 N 為常態分佈

2. 平均數為 55，標準差為 12.5

3. 80=55+2×12.5

對該常態分佈而言

1. 字幕依据
   观察依据

   選項 (1) 寫明「曲線 N (常態分佈) 中，在 55 公斤以上所佔的比例約為 50%」。

2. 图示
   观察依据

   題幹給出曲線 N 的平均數為 55。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

在曲線 N 這個常態分佈中，體重超過 55 公斤的比例約為 50%。

1. 曲線 N 為常態分佈

2. 曲線 N 的平均數為 55

1. 字幕依据
   观察依据

   選項 (2) 寫明「曲線 N (常態分佈) 中，在 80 公斤以上所佔的比例約為 2.5%」。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

在曲線 N 這個常態分佈中，體重超過 80 公斤的比例約為 2.5%。

1. 曲線 N 為常態分佈

2. 平均數為 55

3. 標準差為 12.5

4. 80 = 55 + 2×12.5

1. 字幕依据
   观察依据

   選項 (3) 寫明「該樣本中，體重的中位數大於 55 公斤」。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

选项3为假：样本中位数在(45,55]，不大于55。

1. 使用中位數定義

2. 使用直方圖相對次數

1. 字幕依据
   观察依据

   選項 (4) 寫明「該樣本中，體重的第一四分位數大於 45 公斤」。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

該樣本中，體重的第一四分位數大於 45 公斤。

1. 使用第一四分位數定義

2. 使用直方圖相對次數

1. 字幕依据
   观察依据

   選項 (5) 寫明「該樣本中，『體重過重』(體重超過 80 公斤以上) 的比例大於或等於 5%」。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

該樣本中，體重超過 80 公斤以上的比例大於或等於 5%。

1. 體重過重定義為超過 80 公斤

2. 使用直方圖相對次數

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 动画
   观察依据

   下方手寫圖把中央 95% 與兩側 2.5% 對應起來

1. 2.5%使用中央95%的经验近似；精确正态2倍标准差右尾约2.275%，这项精确值是本站补充。

1. 公式

   $$80-55=25$$
   解释

   先求 80 公斤與平均數 55 的差距

   步骤依据

   題幹給出平均數為 55，且選項 (2) 詢問 80 公斤以上比例

   视频直接表达
2. 公式

   $$25=2\times 12.5$$
   解释

   把差距換算成標準差的倍數

   步骤依据

   題幹給出標準差為 12.5

   视频直接表达
3. 公式

   $$P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx 0.95$$
   解释

   引用常態分佈的 68-95 法則

   步骤依据

   讲解采用正态分布中央两倍标准差约覆盖95%的经验近似；本式不是精确积分等式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$P(X>\mu+2\sigma)\approx \frac{1-0.95}{2}=0.025$$
   解释

   因常態分佈對稱，兩側尾端平分剩餘 5%

   步骤依据

   講者先說明常態分佈以平均為對稱軸，再得出前後只剩 2.5%

   视频直接表达

曲線 N 在 80 公斤以上的比例約為 2.5%，故選項 (2) 正確。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 图示
   观察依据

   原图六组为(35,45]、(45,55]、(55,65]、(65,75]、(75,85]、(85,95]，比例依次20%、33%、24%、12%、6%、5%；刻度40、50等是柱子的中心。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

1. 公式

   $$20\%+33\%=53\%$$
   解释

   将第一组(35,45]与第二组(45,55]的比例相加。

   步骤依据

   据实际原图区间与累计相对频数核对，不使用误读的刻度边界。

   补充解释
2. 公式

   $$53\%>50\%$$
   解释

   累计到55已超过50%，而累计到45只有20%。

   步骤依据

   据实际原图区间与累计相对频数核对，不使用误读的刻度边界。

   补充解释
3. 公式

   $$\operatorname{median}\in(45,55]$$
   解释

   中间位置的观测值落在第二组。

   步骤依据

   据实际原图区间与累计相对频数核对，不使用误读的刻度边界。

   补充解释
4. 公式

   $$\operatorname{median}\le55$$
   解释

   第二组包含右端点55，不能额外保证严格小于55。

   步骤依据

   据实际原图区间与累计相对频数核对，不使用误读的刻度边界。

   补充解释

選項 (3) 錯誤，樣本中位數不大於 55 公斤。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 图示
   观察依据

   原图六组为(35,45]、(45,55]、(55,65]、(65,75]、(75,85]、(85,95]，比例依次20%、33%、24%、12%、6%、5%；刻度40、50等是柱子的中心。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

1. 公式

   $$20\%<25\%$$
   解释

   第一组(35,45]只有20%，低于第一四分位位置25%。

   步骤依据

   本站按实际区间(35,45]、(45,55]与累计比例作严格核对，不归因作者误读。

   补充解释
2. 公式

   $$20\%+33\%=53\%>25\%$$
   解释

   加入第二组(45,55]后，累计超过四分位位置。

   步骤依据

   本站按实际区间(35,45]、(45,55]与累计比例作严格核对，不归因作者误读。

   补充解释
3. 公式

   $$Q_1\in(45,55]$$
   解释

   第一四分位数落在实际第二组。

   步骤依据

   本站按实际区间(35,45]、(45,55]与累计比例作严格核对，不归因作者误读。

   补充解释
4. 公式

   $$Q_1>45$$
   解释

   第二组不含左端点45，因此得到严格下界。

   步骤依据

   本站按实际区间(35,45]、(45,55]与累计比例作严格核对，不归因作者误读。

   补充解释

選項 (4) 被影片判為正確。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 图示
   观察依据

   原图六组为(35,45]、(45,55]、(55,65]、(65,75]、(75,85]、(85,95]，比例依次20%、33%、24%、12%、6%、5%；刻度40、50等是柱子的中心。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

1. 公式

   $$5\%\le p_{\mathrm{sample}}(X>80)\le5\%+6\%=11\%$$
   解释

   末组(85,95]占5%，全部超过80；前组(75,85]占6%，其中超过80的部分未知。

   步骤依据

   实际原图区间与相对频数给出上下界；不得把80两侧按刻度拼成10%。

   补充解释
2. 公式

   $$p_{\mathrm{sample}}(X>80)\ge5\%$$
   解释

   选项5只需下界，不需要假设组内均匀分布。

   步骤依据

   实际原图区间与相对频数给出上下界；不得把80两侧按刻度拼成10%。

   补充解释

選項 (5) 正確，樣本中體重過重比例大於或等於 5%。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 字幕依据
   观察依据

   選項 (2) 與 (5) 分別給出理論 2.5% 與樣本至少 5%。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

1. 公式

   $$P_N(X>80)\approx 2.5\%$$
   解释

   原片使用中央95%的经验近似，右尾约2.5%；精确正态右尾约2.275%。

   步骤依据

   影片直接引用常態分佈下超過平均數 2 個標準差的尾部比例。

   补充解释
2. 公式

   $$5\%\le p_{\mathrm{sample}}(X>80)\le11\%$$
   解释

   实际样本尾部只能由直方图确定上下界，不能定为10%。

   步骤依据

   (85,95]占5%，(75,85]占6%。

   补充解释
3. 公式

   $$p_{\mathrm{sample}}(X>80)\ge5\%>2.5\%$$
   解释

   即便只用下界，也可看出样本比例大于曲线经验近似比例。

   步骤依据

   下界比较，不是假造样本确切10%。

   补充解释

影片以此說明理論常態分佈與實際樣本直方圖之間存在差距。

1. 公式
   观察依据

   畫面完整顯示學測數學 95 多選 10 的題幹與五個選項

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

3. 图示
   观察依据

   右側可見直方圖與曲線 N 的疊合圖

1. 当前0–79秒处理选项1、2，全片随后处理3、4、5，完整正确项为1、2、4、5。

2. 2.5%使用中央95%的经验近似；精确正态2倍标准差右尾约2.275%，这项精确值是本站补充。

右圖是根據 100 名婦女的體所作成的直方圖，其中百分比數字代表各體重區間的相對次數，且各區間不包含左端點而包含右端點。該 100 名婦女體重的平均數為 55 公斤，標準差為 12.5 公斤。曲線 N 代表一常態分佈，其平均數與標準差與樣本值相同。在此樣本中，若定義「體重過重」的標準為體重超過樣本平均數 2 個標準差以上（即體重超過 80 公斤以上），則下列敘述哪些正確？

1. 樣本大小為 100

2. 直方圖給出各區間相對次數

3. 平均數 = 55 公斤

4. 標準差 = 12.5 公斤

5. 曲線 N 為以同樣平均數與標準差構成的常態分佈

6. 體重過重定義為超過 80 公斤

判斷五個選項中哪些正確；本片段實際完成 (1) 與 (2)

1. 公式

   $$(1)\ P_{N}(X>55)\approx 50\%$$
   解释

   選項 (1) 針對曲線 N，利用常態分佈以平均數為對稱軸，得知大於平均的比例為 50%

   步骤依据

   常態分佈對稱性

   视频直接表达
2. 公式

   $$80=55+2(12.5)$$
   解释

   先把 80 公斤改寫為平均數加 2 個標準差

   步骤依据

   題幹給定的平均數與標準差

   视频直接表达
3. 公式

   $$(2)\ P_{N}(X>80)\approx 2.5\%$$
   解释

   選項 (2) 也針對曲線 N，使用 68-95 法則與對稱性求得右尾比例

   步骤依据

   68-95 經驗法則

   视频直接表达

全片正确项为1、2、4、5；本项保留前两个参考正态曲线选项的步骤。

选项1由正态对称性得50%；选项2用95%中央经验近似得2.5%，不是精确积分，精确右尾约2.275%。其余样本选项由直方图累计频数核对。

1. 字幕依据
   观察依据

   整頁為「學測數學 95 多選 10」題目，含題幹、五個選項與右側直方圖、曲線 N。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

根據 100 名婦女體重的直方圖與曲線 N，判斷五個敘述何者正確。題幹給出平均數 55 公斤、標準差 12.5 公斤，且曲線 N 為同參數常態分佈；體重過重定義為超過 80 公斤。

1. 樣本人數 = 100

2. 平均數 = 55 公斤

3. 標準差 = 12.5 公斤

4. 曲線 N 為常態分佈且與樣本同平均數、同標準差

5. 原图六组为(35,45]、(45,55]、(55,65]、(65,75]、(75,85]、(85,95]，比例依次20%、33%、24%、12%、6%、5%；刻度40、50等是柱子的中心。

6. 各區間不包含左端點而包含右端點

7. 體重過重 = 超過 80 公斤

判斷選項 (1) 至 (5) 哪些正確。

1. 公式

   $$(1)\quad P_N(X>55)\approx 50\%$$
   解释

   曲線 N 為常態分佈且平均數為 55，故 55 以上比例約為 50%。

   步骤依据

   常態分佈以平均數為對稱中心。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(2)\quad P_N(X>80)\approx 2.5\%$$
   解释

   80 等於平均數加 2 個標準差，影片引用常態分佈尾部比例約 2.5%。

   步骤依据

   影片直接以常態分佈理論值判斷。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\operatorname{median}\le55$$
   解释

   前组20%加第二组33%得53%，中位数位于(45,55]，所以选项3为假。

   步骤依据

   中位數是累積相對次數達 50% 的位置。

   补充解释
4. 公式

   $$(4)\quad Q_1>45$$
   解释

   第一组累计20%小于25%，第二组累计53%大于25%，所以Q₁位于(45,55]并严格大于45。

   步骤依据

   第一四分位數是累積相對次數達 25% 的位置。

   补充解释
5. 公式

   $$(5)\quad P_{\text{sample}}(X>80)\ge 5\%$$
   解释

   末组(85,95]全部超过80且占5%；前组(75,85]占6%，超过80的部分未知，所以样本比例至少5%、至多11%。

   步骤依据

   实际相对频数只给界，不在组内作均匀插值。

   补充解释

全片正确项为1、2、4、5；当前79–158秒重点处理3、4、5，第一项已在前段确认。

以直方圖累積比例檢查 (3)(4)(5)，以常態分佈尾部比例檢查 (2)，並以平均數對稱性檢查 (1)。

1. 图示
   观察依据

   畫面左側為題幹與五個選項，右側為直方圖與黃色曲線 N

2. 图示
   观察依据

   本站核对实际原图：横轴刻度30至100，六柱比例依次20%、33%、24%、12%、6%、5%；刻度中心不能当作分组边界。

1. 已据实际原帧纠正模型把倒数第二柱6%转录为5%的错误；原回执不改。

1. 題幹文字

2. 五個選項

3. 青色直方圖

4. 黃色曲線 N

5. 橫軸刻度 30 至 100

6. 區間百分比標籤

1. 整個片段維持同一張靜態題板

2. 直方圖與曲線 N 始終並列顯示

版面設計讓學習者可同時對照實際樣本分配與理想常態分佈，便於分辨選項是在問樣本還是問曲線 N。

1. 动画
   观察依据

   約 59 秒起，講者在畫面下方手寫標出 68、95，並把兩端寫成 2.5%

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 手寫筆跡較小，但關鍵數字 68、95、2.5% 可辨識

2. 2.5%使用中央95%的经验近似；精确正态2倍标准差右尾约2.275%，这项精确值是本站补充。

1. 手寫數字 68

2. 手寫數字 95

3. 手寫 2.5%

4. 簡易鐘形曲線示意

1. 先寫出 68 與 95

2. 再把中央 95% 以外的兩側標為 2.5%

1. 示意圖對應的是常態分佈而非原始直方圖

這個動畫把抽象的經驗法則視覺化：中央 μ±2σ 範圍約佔 95%，剩下 5% 平均分到左右兩尾，因此右尾超過 μ+2σ 的比例約為 2.5%。

1. 图示
   观察依据

   整個片段維持同一張黑底講義畫面：左側為題幹與五個選項，右側為直方圖與疊加曲線 N，右下角另有手繪常態曲線示意。

2. 动画
   观察依据

   無明顯場景切換，僅見游標或筆跡在圖上移動指示。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

1. 題幹文字

2. 選項 (1) 至 (5)

3. 直方圖

4. 曲線 N

5. 右下角手繪常態曲線

1. 講者依序把注意力移到中位數、第一四分位數、80 公斤以上區域

2. 游標或筆跡在直方圖不同區間間移動

1. 版面配置不變

2. 直方圖百分比數值不變

3. 平均數 55 與標準差 12.5 不變

視覺上持續對照同一組樣本直方圖與理論常態曲線，強調本題核心是「理論分佈」與「實際樣本」的比較。

1. 图示
   观察依据

   原图六组为(35,45]、(45,55]、(55,65]、(65,75]、(75,85]、(85,95]，比例依次20%、33%、24%、12%、6%、5%；刻度40、50等是柱子的中心。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

1. 各體重區間

2. 區間上方百分比

3. 橫軸刻度 30 至 100

1. 從左向右累積 20%、33%、24% 等比例

2. 末组(85,95]占5%，前组(75,85]占6%；门槛80穿过前组内部。

1. 每根柱子代表一個體重區間的相對次數

2. 百分比總和對應整體樣本

实际边界是35、45、55等，刻度是柱中心；累计比例定位中位数与四分位数，门槛穿过组内时只能给尾部界。

1. 图示
   观察依据

   黃色曲線 N 疊在直方圖上方，題幹說明其平均數與標準差與樣本相同。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

1. 黃色曲線 N

2. 直方圖柱形

3. 平均數 55 的位置

4. 80 公斤門檻

1. 口頭比較曲線 N 的理論尾部比例與直方圖的實際尾部比例

1. 曲線 N 的中心與樣本平均數相同

2. 曲線 N 的散布與樣本標準差相同

這個疊圖直接呈現模型與資料的差異：曲線代表理論常態分佈，柱形代表實際樣本分配。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

看到題中有直方圖與曲線 N，就以為所有選項都在問同一個對象。

選項 (1)(2) 明寫「曲線 N (常態分佈) 中」，應按理論常態分佈判斷；選項 (3)(4)(5) 則回到「該樣本中」的實際資料。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 字幕依据
   观察依据

   選項 (3) 聲稱樣本中位數大於 55 公斤。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

看到平均數為 55，就直覺認為樣本中位數也會大於 55。

中位数须看累计相对频数：累计到45只有20%，到55为53%，所以中位数在(45,55]，不大于55。均值本身不能确定中位数。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 字幕依据
   观察依据

   選項 (2) 與 (5) 分別描述常態分佈理論比例與樣本實際比例。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

因為曲線 N 與樣本有相同的平均數和標準差，就以為 80 公斤以上的比例在樣本中也一定是 2.5%。

曲线N给的是模型概率，直方图给的是样本相对频数。模型超过80的经验近似为2.5%，精确值约2.275%；样本超过80至少5%、至多11%，并非确定的10%。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 2.5%使用中央95%的经验近似；精确正态2倍标准差右尾约2.275%，这项精确值是本站补充。

要先理解常態分佈關於平均數對稱，才能把 μ±2σ 外的 5% 平均分到左右兩尾，進而得到 P(X>μ+2σ)≈2.5%。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

只有先把 80 公斤識別為 μ+2σ，才能套用 68-95 法則去估計右尾比例。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 图示
   观察依据

   直方圖提供各區間相對次數。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

中位數判斷直接應用直方圖中的累積相對次數。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 图示
   观察依据

   直方圖提供 20% 與 33% 等區間比例。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

第一四分位數判斷同樣依賴直方圖的累積相對次數。

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹寫明曲線 N 的平均數與標準差與樣本值相同。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

要先知道樣本平均數與標準差，才能定義題目中的常態分佈曲線 N。

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹把過重定義為超過平均數 2 個標準差，亦即 80 公斤以上。

2. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

過重門檻 80 公斤是由平均數 55 與標準差 12.5 推導而來。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

本題把常態分佈的理論尾部比例與樣本直方圖的實際尾部比例對照，突顯模型與資料差異。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 常態分佈以平均數為對稱軸
2. 選項 (1) 為正確

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

2. 动画
   观察依据

   下方手寫把兩側尾端標為 2.5%

1. 2.5%使用中央95%的经验近似；精确正态2倍标准差右尾约2.275%，这项精确值是本站补充。

1. 80 公斤對應平均數加 2 個標準差
2. 68-95 法則與兩側尾端比例
3. 選項 (2) 為正確
4. 由 68-95 法則推得 80 公斤以上比例約 2.5%

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 直方圖與常態分佈曲線的區分
2. 誤把樣本比例與常態分佈比例混為一談

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹寫明「曲線 N 代表一常態分佈，其平均數與標準差與樣本值相同」。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

1. 以樣本平均數與標準差定義的常態分佈曲線 N

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

1. 中位數對應累積 50% 的位置
2. 由直方圖判斷中位數不大於 55

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

1. 第一四分位數對應累積 25% 的位置
2. 由直方圖判斷第一四分位數大於 45

1. 字幕依据
   观察依据

   題幹定義過重為超過平均數 2 個標準差，即 80 公斤以上。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

1. 本题给定的体重门槛

1. 声音
   观察依据

   讲解区分参考正态曲线与实际直方图，分别用对称性、经验近似及累计频数判断选项。

1. 本站按实际142、157原帧与原像素直方图核对区间；模型误将横轴刻度当边界，原回执保留，不归因作者数学错误。

1. 理論常態比例與樣本實際比例的比較
2. 比較常態理論值與樣本實際值
3. 誤把常態分佈理論比例當成樣本實際比例