微积分 / 英语

偏导数，简介

Khan Academy · YouTube · 10:55

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视频中的要点

01标量值多元函数示例
02偏导数是普通导数在多元变量情形下的对应概念
03普通导数的莱布尼茨记号

来自学习笔记

f(x,y)=x^2y+\sin(y)

标量值多元函数示例

选中时刻

多元函数的方向性变化

建议预备知识

常规的单变量导数
函数记号
基础的笛卡尔坐标系图像
输入空间与输出空间的概念
多变量函数
单变量函数的普通导数
解读诸如 $f(x,y)$ 之类的数学符号，并在某一点处求值
基础的单变量求导
幂函数求导法则
$\sin(y)$ 的导数是 $\cos(y)$
常数的导数是 $0$
熟悉函数记号与代入操作
基本三角函数的导数（例如， $\sin (x)$ 对 x 的导数等于 $\cos (x)$ ）
多元函数的概念

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这段 introductory 白板讲解通过首先回顾普通导数来阐释偏导数：先引入标量值双变量函数 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ ，再借助 $f(x)=x^2$ 和记号 $\frac{df}{dx}(2)$ ，从两种角度解释导数——其一是作为图像上的局部斜率，其中 $dx$ 和 $df$ 分别表示微小的输入变化与输出变化；其二是作为输入数轴与输出数轴之间的映射。随后，主讲人将这一直观理解迁移到多变量情形，写出 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ，并将其解释为沿 $x$ 方向的微小变化对输出的影响。最后，将输入空间重绘为 $xy$ -平面，强调该平面上的每个点都是函数的输入，而非函数图像上的点，并在视频中断前标出了示例点 $(1,2)$ 。这段时长为180秒的入门微积分内容讲解二元函数的偏导数。借助 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ ，主讲人首先直观展示仅改变 $x$ 或仅改变 $y$ 各自如何影响标量输出，随后引入记号 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ ，以强调多变量依赖关系。该片段将此与单变量情形作类比，接着擦除该一维类比面板，并开始为 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 建立解题步骤：将 $y$ 视为常量，将问题重写为关于 $x$ 的普通导数。最终的数值计算未在所提供时长内完成。这段时长为180秒的白板讲解，通过具体函数 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 引入偏导数的概念。首先计算函数在点 $(1,2)$ 处的两个偏导数，得到 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=4$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1+\cos(2)$ 。随后，主讲人从逐点计算转向更一般的视角，指出人们通常希望得到一个对任意 $(x,y)$ 都成立的公式。通过将另一变量符号性地视为常数（而非数值性地固定），本片段推导出 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+0$ ，即 $2xy$ ，并指出代入 $(1,2)$ 即可复现之前的数值结果。本视频通过演示如何计算二元函数 $f(x,y) = x^2y + \sin (y)$ 的偏导数，来介绍偏导数的概念。它指出：计算偏导数时，需将其他变量视为常数，再应用标准的一元函数求导法则。视频还讨论了几何解释，将偏导数描述为：当仅沿某一特定方向‘轻微扰动’输入时，所测得的变化率。最后强调：尽管图像与斜率在简单情形下直观易懂，但对于高维函数或向量值函数，必须采用更一般的、基于输入-输出比的理解方式。

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章节

0:00一个标量值多变量函数 0:15为什么需要偏导数 0:30回顾普通导数的记号 0:45导数作为图像上的斜率 1:35导数作为数轴之间的映射 2:15从普通导数到偏导数 2:35

xy

-平面作为输入空间 3:00多元函数的方向性变化 4:10引入偏导数记号 4:50擦除一维类比 5:10建立

\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)

的表达式 6:00计算

\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)

6:20计算

\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)

7:20从点处的取值到一般公式 8:00推导

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)

9:00偏导数的计算入门 10:05通用方法与几何解释 10:25超越图像：导数的更一般视角

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

该片段以一个具体的二元函数开场，板书写作 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 。主讲人指出这是一个标量值函数，即虽然输入有两个坐标，但输出仅为一个数。

这种设定引出了本片段的核心问题：如何对具有多个输入变量的表达式求导？给出的答案是偏导数方法；主讲人立即强调，偏导数与普通导数密切相关，而非一个完全独立的概念。

为建立这种联系，视频首先回顾单变量情形。黑板上写出 $f(x)=x^2$ 及莱布尼茨记号 $\frac{df}{dx}(2)$ ，表明接下来的讨论将聚焦于导数符号在某一特定输入点处取值时的含义。

接着画出 $f(x)=x^2$ 的图像。主讲人将 $dx$ 解释为输入方向上的一个微小水平扰动，将 $df$ 解释为由此引起的输出方向上的垂直变化。在此图像化理解中，导数即局部斜率，是所选点 $x=2$ 处由这两个微小变化所决定的“纵增量比横增量”。

随后，同一思想脱离图像重新表述：输入空间与输出空间被分别画成两条数轴，函数则被视为将一条数轴上的点映射到另一条数轴上的点。在此解释下，导数衡量的是一个微小输入位移被放大为输出位移的程度；主讲人以实例说明：若输出扰动是输入扰动的四倍，则该点处的导数值为4。

在建立起这一直观理解后，片段回归多元变量情形。板书写出记号 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ，主讲人解释其含义为：当输入仅沿 $x$ 方向发生微小变化时，该变化如何影响多个变量的函数的输出。

最后，可视化图示从一维输入直线转变为二维输入空间。画出一个 $xy$ 平面，主讲人特别强调：该平面并非函数的图像；相反，平面上的每个点都代表一个输入数对。标出示例点 $(1,2)$ ，以开启多元变量情境下的同类局部变化推理，但视频片段在此处结束，尚未完成相关解释。

本片段以例题函数 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 已书写在黑板上开场。主讲人提问：改变其中一个输入如何影响输出？图示使问题具体化：输入位于 $xy$ 平面上，而输出则表示为一条单独的数轴，其上标注为 $f$ 。

在输入平面上添加一条标有 $dx$ 的黄色水平箭头。从平面指向数轴的弯曲箭头表达了函数作为映射的关系，而数轴上对应的箭头则标为 $df$ 。数学上，这体现的是仅在 $x$ 方向上施加扰动时，测量输出响应的思想。

接着对第二个变量重复相同的推理过程。在输入平面上画出一条标有 $dy$ 的红色竖直箭头，并在数轴上标记出不同的输出位移。关键在于 $f$ 在输入沿 $y$ 方向移动时的响应，可能不同于其在 $x$ 方向移动时的响应。

主讲人写出非正式表达式 $\frac{df}{dx}(1,2)$ 和 $\frac{df}{dy}(1,2)$ ，表明在同一个输入点 $(1,2)$ 处同时考虑这两种方向上的敏感性。这使关注点始终落在每次仅改变一个坐标所引起的局部变化上。

接下来，记号被进一步规范化。黑板上的记号由普通的 $d$ 记号转变为 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ 。主讲人解释道：卷曲符号 $\partial$ 用于提示该函数是多元函数，且该导数仅记录 $f$ 整体行为中的一部分。

这引出了一个重要的概念性提醒： $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 均无法完整描述 $f$ 的变化过程。它们各自仅孤立地考察单一坐标方向，因此都只是该函数局部敏感性的部分刻画。

右侧对比面板中展示单变量函数 $f(x)=x^2$ 与 $\frac{df}{dx}(2)$ 的图像被擦除。这一视觉对比已达成其教学目的，课程重点由此从类比转向多变量实例中的直接计算。

主讲人将右上方的目标量重写为 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 。关键规则被明确指出：对 $x$ 求导时，变量 $y$ 被视为常数。在点 $(1,2)$ 处，这意味着可在任何求导操作之前，先将 $y$ 替换为 $2$ 。

黑板随后展示变换后的表达式 $\left.\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2\cdot 2+\sin(2)\right)\right|_{x=1}$ 。这是本片段的核心计算步骤：多变量偏导数问题已被转化为关于 $x$ 的单变量导数问题，再于 $x=1$ 处进行求值。

主讲人指出，余下部分“只是一个普通导数”，因为代入 $y=2$ 后，整个表达式仅依赖于 $x$ 。本片段止步于这一设定阶段，尚未执行求导运算，也未给出最终数值结果。

视频从一块已准备好的白板开始，标题为“偏导数”，函数 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 已预先写在板上。当前任务是计算 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 。主讲人首先代入 $y=2$ ，得到 $\frac{\partial}{\partial x}(x^2\cdot 2+\sin(2))\big|_{x=1}$ ，然后逐项求导： $x^2\cdot 2$ 变为 $4x$ ，而 $\sin(2)$ 关于 $x$ 为常数，其导数贡献为 $0$ 。最后，令 $x=1$ ，得到数值结果 $4$ 。

接下来，主讲人转向另一坐标方向，计算 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ 。此时固定变量为 $x=1$ ，因此将表达式重写为 $\frac{\partial}{\partial y}((1)^2y+\sin(y))\big|_{y=2}$ 。对 $y$ 求导得 $1+\cos(y)$ ，再代入 $y=2$ ，得到 $1+\cos(2)$ 。主讲人明确保留三角函数值的符号形式，不作数值计算，强调答案的精确符号表达。

完成这两个点态示例后，课程转向一个更普遍的问题：人们往往不仅需要某一点处的导数值，更需要一个适用于任意输入 $(x,y)$ 的通用规则。白板部分擦除，为这一新目标腾出空间。关键的概念转变在于，“固定其余变量”这一原则依然适用，但此时所固定的变量以符号形式表示，而非具体数值。

讲者随后直接从 $x$ -偏导推导出一般形式 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ ，写作 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2y+\sin(y))$ 。将 $y$ 视为常数乘子， $x^2y$ 对……求导得 $2xy$ ；将 $\sin(y)$ 视为常数项，其导数为 $0$ 。屏幕上显示的最终公式为 $2xy+0$ ，等价于 $2xy$ 。该片段最后指出，将 $(1,2)$ 代入这一通式，可复现先前的逐点结果 $4$ 。

我们来计算函数 $f(x,y) = x^2y + \sin (y)$ 关于 y 的偏导数，记作 ∂f/∂y。我们写出表达式：∂/∂ $y (x^2y + \sin (y))$ 。

对 y 求导时，我们将 x 视为常数。因此， $x^2$ 是 y 的一个常数系数。常数乘以 y 的导数就是该常数本身，故 ∂/∂ $y(x^2y) = x^2$ 。

对于 $\sin (y)$ 项，其中不涉及 x，因此我们直接对其关于 y 求普通导数，结果为 $\cos (y)$ 。将这两部分合并，得到 ∂f/∂ $y = x^2 + \cos (y)$ 。

该结果是一个通用的偏导数公式。若要在点 (1, 2) 处求值，我们代入 $x=1$ 和 $y=2$ ，得到 $1^2 + \cos (2) = 1 + \cos (2)$ 。注意：讲解者最初说的是‘1 的余弦’，但根据所给点 (1,2) 及公式，此处应为‘2 的余弦’。

这一过程展示了计算偏导数的核心方法：将其他所有变量视为常数，然后进行普通的求导。从概念上讲，这相当于沿着某一特定方向（例如沿 y 轴方向）对输入进行微小移动（即‘ nudging’），并观察输出如何变化。

虽然图像和斜率在简单情形下能提供有益的直观理解，但它们并非理解导数的唯一方式。对于具有高维输入或向量值输出的函数，图形表示将变得不充分。

在这些情形下，一种更一般的视角更有价值：将导数视为在选定方向上输出的‘微小变动’与输入的‘微小变动’之比。这一基础性思想对于深入理解多元微积分中的更高级主题至关重要。

知识卡片

标量值多元函数示例

视频片段以一个具体的二元函数 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 开始。主讲人明确指出：该函数接受两个变量作为输入，但仅输出一个数值，因此属于标量值函数。这一示例引出了对适用于多输入函数的微分方法的需求。

f(x,y)=x^2y+\sin(y)

偏导数是普通导数在多元变量情形下的对应概念

在提出“如何对多元表达式求导”之后，主讲人引入偏导数，并指出它们与普通导数非常相似。本段旨在说明：普通导数背后那种“输入变化—输出变化”的基本直觉，在多元变量情形下依然成立。

普通导数的莱布尼茨记号

在讨论偏导数之前，视频先回顾单变量记号 $\frac{df}{dx}$ ，并以函数 $f(x)=x^2$ 在 $x=2$ 处取值为例进行说明。选用该记号，是因为它能清晰展现后续关于微小变化的解释。

\frac{df}{dx}(2)

$dx$ 与 $df$ 的图形意义

在函数 $f(x)=x^2$ 的图像上，主讲人将 $dx$ 解释为输入方向上的一个微小扰动，将 $df$ 解释为由此引起的输出变化。二者之比即被认定为该点处图像的斜率，从而赋予导数一种局部几何含义。

\frac{df}{dx}=\text{slope}

导数作为输入数轴与输出数轴之间的放大关系

同一导数思想被重新表述，且不依赖图像。输入空间与输出空间被视为两条独立的数轴，函数则实现二者间的映射。在此视角下，导数表示：一个微小的输入位移会被放大为多大的输出位移；主讲人以输出变化量为输入变化量四倍的示例加以说明。

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 的含义

本片段将此前的直观理解迁移到多元函数上。符号 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 被解释为：衡量输入在 $x$ 方向上的微小变化对输出造成的影响。这是本节所呈现的偏导数的核心概念性定义。

\frac{\partial f}{\partial x}

对于二元函数，输入空间是 $xy$ 平面

当从单变量过渡到双变量时，主讲人画出一个 $xy$ 平面，并强调它代表的是输入空间，而非函数的图像。平面上的每个点都对应一个输入对，例如 $(1,2)$ ；随后便围绕定义域中的这类点展开偏微分的讨论。

偏导数即沿某一输入方向的变化率

对于像 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 这样的函数，偏导数刻画的是仅变动某一个输入坐标时，输出值如何变化。视频通过在输入平面中绘制微小扰动，并在输出数轴上显示相应变化，来直观呈现这一概念。

可视化模型中的 $dx$ 、 $dy$ 与 $df$

$dx$ 表示沿 $x$ 方向的微小变化， $dy$ 表示沿 $y$ 方向的微小变化， $df$ 表示函数值的相应变化。图示通过在平面上使用不同箭头区分两个输入方向，并在数轴上用不同位移区分对应的输出变化。

dx,\ dy,\ df

为何采用符号 $\partial$

记号由 $\frac{df}{dx}$ 和 $\frac{df}{dy}$ 变更为 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ ，旨在强调该函数具有多个变量。卷曲符号表明这是一个偏导数，而非普通的单变量导数。

\frac{\partial f}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial y}

每个偏导数仅揭示了故事的一部分

单个偏导数无法描述多元函数的所有可能变化。 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 仅刻画沿 $x$ 方向的变化，而 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 仅刻画沿 $y$ 方向的变化。

计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 时，将 $y$

为求出 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ ，视频将 $y$ 视作常量，并首先代入 $y=2$ 。这使得问题简化为对仅关于 $x$ 的表达式求导，再在 $x=1$ 处求值。

\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=\left.\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2\cdot 2+\sin(2)\right)\right|_{x=1}

函数在一点处的偏导数

对于多变量函数，函数在一点处的偏导数，是通过冻结除一个坐标外的所有变量，并沿剩余方向求导而得到的。本视频中， $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 通过先固定 $y=2$ 来计算，而 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ 则通过先固定 $x=1$ 来计算。所得结果是与特定点 $(1,2)$ 相关联的数值。

\frac{\partial f}{\partial x}(1,2),\quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)

$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 的具体计算过程

从 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 出发，代入 $y=2$ 得到 $x^2\cdot 2+\sin(2)$ 。再对 $x$ 求导： $x^2\cdot 2$ 的导数为 $4x$ ，常数 $\sin(2)$ 的导数为 $0$ 。在 $x=1$ 处取值得到 $4$ 。

\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2\cdot 2+\sin(2))\Big|_{x=1}=4x+0\Big|_{x=1}=4

$\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ 的具体计算过程

现在改为固定 $x=1$ 。函数化为 $(1)^2y+\sin(y)=y+\sin(y)$ 。对 $y$ 求导得 $1+\cos(y)$ ，再在 $y=2$ 处取值得到 $1+\cos(2)$ 。主讲人有意保留余弦函数的符号形式，不作数值计算。

\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=\frac{\partial}{\partial y}((1)^2y+\sin(y))\Big|_{y=2}=1+\cos(y)\Big|_{y=2}=1+\cos(2)

一般偏导数公式

一般偏导数是一个关于输入变量的函数，而非单一数值。为获得它，不应首先代入具体数值常量；而应将未参与求导的变量以符号方式视作常数。由此得到的规则，可后续在任意点处进行求值。

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)

推导例题中的 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$

对 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 应用相同的‘保持常数’逻辑，不代入具体数值。由于 $y$ 被视为常数， $x^2y$ 的导数为 $2xy$ ，而 $\sin(y)$ 的导数为 $0$ 。因此，一般公式为 $2xy+0$ ，即 $2xy$ 。将 $(1,2)$ 代入，即可还原出先前的结果 $4$ 。

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2y+\sin(y))=2xy+0

常见误区：混淆哪个变量被视为常数

本片段始终强调的核心方法是：偏导数仅沿一个坐标方向变化。计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 时，将 $y$ 视为常数；计算 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 时，将 $x$ 视为常数。若混淆二者，问题便从偏导数变成了对错误表达式的单变量普通导数。

偏导数的定义

一个多变量函数的偏导数，是指该函数关于其中某一个变量的导数，其余变量均视为常数。计算 ∂f/∂x 时，将 y 视为常数并正常求导；计算 ∂f/∂y 时，将 x 视为常数并正常求导。

\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}

计算 $f(x,y) = x^2y + \sin (y)$ 关于 y 的偏导数 ∂f/∂y

为求关于 y 的偏导数，将 x 视为常数。 $x^2y$ 关于 y 的导数为 $x^2$ （因为 $x^2$ 是常数）。 $\sin (y)$ 关于 y 的导数为 $\cos (y)$ 。因此，∂f/∂ $y = x^2 + \cos (y)$ 。

\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + \sin(y)) = x^2 + \cos(y)

偏导数的几何意义

偏导数表示当输入沿某一特定变量方向发生‘微小变动’、而其他变量保持不变时，函数输出的变化率。它刻画了输出对单个输入维度变化的敏感程度。

图形化解释的局限性

尽管图像和斜率对简单函数具有直观性，但它们无法完整表示向量值函数或输入维度高于二维的函数的导数。一种更一般的理解方式是：将导数视为在特定方向上输出变化量与输入变化量之比。

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 39

$f(x,y)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“假设我有一个像 $f(x, y)$ 这样的多元函数”，并将其描述为具有两个变量的输入。
公式
观察依据
黑板上展示了手写的表达式 $f(x,y)$ 。

符号

$f(x,y)$

含义

一个具有两个输入变量 x 和 y 的多元函数。

适用范围

双变量输入空间；本例中输出为一个单独的数。

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
表达式 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 被写在黑板上。

符号

含义

该多元函数的两个独立输入变量之一。

适用范围

表达式 $f(x,y)$ 的一个输入变量。

y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
表达式 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 被写在黑板上。

符号

含义

该多元函数的第二个独立输入变量。

适用范围

表达式 $f(x,y)$ 的一个输入变量。

$f(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“如果你有一个像 $f(x) = x$ ² 这样的函数”。
公式
观察依据
黑板上显示 $f(x)=x^2$ 。

符号

$f(x)$

含义

一个用作偏导数对比参照的单变量函数。

适用范围

单变量输入空间。

$\frac{df}{dx}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“这里我将采用莱布尼茨记号，df dx。”
公式
观察依据
黑板上显示 $\frac{df}{dx}$ 。

符号

$\frac{df}{dx}$

含义

$f$ 关于 $x$ 的导数的莱布尼茨记号。

适用范围

单变量函数的普通导数记号。

dx

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“这里的这个小dx，我喜欢将其理解为x方向上的一个微小扰动。”
图示
观察依据
一个标有 $dx$ 的小水平箭头绘制在 $x=2$ 的图像附近。

符号

含义

输入方向 $x$ 上的一个微小变化或“扰动”。

适用范围

导数几何解释中所用的无穷小风格输入增量。

df

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“然后df……就是你施加那个初始微小扰动后，输出所产生的相应变化。”
图示
观察依据
一个标有 $df$ 的垂直箭头绘制在点 $x=2$ 的正上方。

符号

含义

由输入变化 $dx$ 所引起的输出变化。

适用范围

导数的直观解释中，输出的无穷小式增量。

$x=2$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：‘我们来在2处计算它’，随后又说：‘这里我们有x等于2’。
公式
观察依据
黑板上显示 $\frac{df}{dx}(2)$ 。
图示
观察依据
图像标出了输入位置 $x=2$ 。

符号

$x=2$

含义

示例中普通导数被计算的那个特定输入点。

适用范围

$f(x)=x^2$ 的输入空间中的一个点。

$\frac{\partial f}{\partial x}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人在讨论多变量情形时说：‘你知道，你可以写成df dx，并将其理解为：嘿，x方向上输入的微小变化如何影响输出？’
公式
观察依据
黑板上显示 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

待核验内容

口述用的是“df dx”，但屏幕上显示的公式是偏导数符号 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

符号

$\frac{\partial f}{\partial x}$

含义

偏导数记号，表示输入在 $x$ 方向上的微小变化如何影响多变量函数的输出。

适用范围

多变量函数的情境；此处为 $f(x,y)$ 而引入。

(1,2)

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“假设你在像1、2这样的点处计算这个表达式。”
公式
观察依据
黑板上显示 $(1,2)$ 紧邻 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。
图示
观察依据
在 $xy$ -平面上标出一个点，对应输入值 $(1,2)$ 。

符号

(1,2)

含义

多变量函数在 $xy$ -平面上被考虑偏导数的某个特定输入点。

适用范围

多变量函数 $f(x,y)$ 的输入空间。

xy\text{-plane}

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“你会把你的输入空间……想象成xy平面。”
图示
观察依据
在先前公式下方画出一个坐标平面，其坐标轴分别标记为 $x$ 和 $y$ 。

符号

xy\text{-plane}

含义

二元函数的二维输入空间；该平面上的每个点都是一个输入。

适用范围

$f(x,y)$ 的输入空间。

$f(x,y)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左上角的图板显示 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 。
声音
观察依据
讲解偏导数时，说话者讨论了这个多变量函数。

符号

$f(x,y)$

含义

作为偏导数示例所用的二元实值函数。

适用范围

定义在变量 $x$ 和 $y$ 上；具体计算示例的取值点为 $(1,2)$ 。

知识点 · 16

标量值多变量函数的一个例子

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人引入“某个像 $f(x, y)$ 这样的多变量函数”，并指出它具有“两个变量的输入”。
公式
观察依据
黑板上写出 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 。
声音
观察依据
主讲人补充道：“因此它仅输出一个数值，是一个标量值函数。”

定义

解释

视频片段首先定义了一个具体的双变量函数，其输出为一个单独的数；主讲人明确指出该函数是标量值的。

公式

f(x,y)=x^2y+\sin(y)

适用条件

该函数有两个输入变量： $x$ 和 $y$ 。
输出是一个单独的数。

偏导数旨在回答的问题

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人提问：“问题在于，我们该如何对这样的表达式求导？”
声音
观察依据
主讲人回答：“有一种特定的方法叫做偏导数，它与普通导数非常相似。”

定义

解释

偏导数被引入为对多变量表达式进行求导的方法；视频将其描述为与普通导数关系密切，而非一种完全独立的运算。

公式

适用条件

适用于对具有多个输入变量的函数进行求导。

先修条目

标量值多变量函数的一个例子

普通导数的莱布尼茨记法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“如果你有类似 f 关于 x 的函数等于 x 的平方”，并补充道：“这里我将采用莱布尼茨记法，即 df dx。”
公式
观察依据
黑板上显示了 $f(x)=x^2$ 和 $\frac{df}{dx}(2)$ 。

公式

解释

在进入偏导数之前，视频回顾了单变量函数导数的记号 $\frac{df}{dx}$ ，并计算其在某一点处的值。

公式

\frac{df}{dx}(2)

适用条件

此处用于单变量函数 $f(x)=x^2$ 。
该例题计算导数在 $x=2$ 处的值。

先修条目

标量值多变量函数的一个例子

$\frac{df}{dx}$ 作为斜率的图形化解释

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“我非常喜欢这种记号，因为若我们画出函数图像，它能直观地提示我们正在发生什么。”
图示
观察依据
画出了函数 $f(x)=x^2$ 的图像，横轴与纵轴分别标为输入和输出。
声音
观察依据
主讲人解释道：“这里的 dx 表示……x 方向上一个微小的扰动”，而“df 表示输出随之产生的变化”。
声音
观察依据
主讲人总结道：“当你从图像角度思考时，这就是斜率”，并将其描述为“纵坐标变化量除以横坐标变化量”。

方法

解释

视频将 $dx$ 解释为一个微小的水平方向输入变化，将 $df$ 解释为由此引起的垂直方向输出变化；二者的比值即为所选点处图像的斜率。

公式

\frac{df}{dx}

适用条件

该函数被视作一幅图像，其中一轴表示输入，另一轴表示输出。
这种解释是局部的，取决于所选输入点的位置。

先修条目

普通导数的莱布尼茨记法

导数作为输入数轴与输出数轴之间的映射

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“但如果你真想的话，也可以完全不借助图像来理解这一点。”
声音
观察依据
主讲人描述道：“你的输入空间只是一条数轴，而你的输出空间也只是一条数轴。”
图示
观察依据
画出两条平行的数轴，一条标为“输入”，另一条标为“输出”，并用箭头示意：输入数轴上的一个微小移动，导致输出数轴上一个更大的移动。
声音
观察依据
主讲人举例如下：“也许这引发了一个扰动，其大小是输入扰动的四倍；这意味着该点处的导数为四。”

方法

解释

该片段呈现了普通导数的一种非图形化解释：函数将点从输入数轴映射到输出数轴，而导数则衡量一个微小的输入扰动被放大为多大的输出扰动。

公式

适用条件

该函数是单变量函数。
这种解释将输入空间和输出空间视为两条彼此独立的数轴。

先修条目

普通导数的莱布尼茨记法

对多元函数而言， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 的含义解释

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说道：“在多元函数的世界里，我们基本上也可以做同样的事情。”
公式
观察依据
黑板上显示 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。
声音
观察依据
主讲人将其解释为：“x 方向上的输入发生一个极微小的变化，会对输出产生怎样的影响？”

待核验内容

口述时说的是“df dx”，而屏幕上显示的是偏导数符号 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

定义

解释

该视频将单变量导数的直观理解迁移到多变量情形： $\frac{\partial f}{\partial x}$ 询问输入在 $x$ 方向上的微小变化如何影响输出。

公式

\frac{\partial f}{\partial x}

适用条件

该函数具有多个输入变量。
变化沿 $x$ 方向进行。

先修条目

标量值多变量函数的一个例子
偏导数旨在回答的问题
导数作为输入数轴与输出数轴之间的映射

对于一个双变量函数，输入空间是 $xy$ -平面。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“你会把你的输入空间……想象成xy平面。”
声音
观察依据
主讲人强调：“这次我们并不打算绘制函数图像；平面上的每个点都代表一个输入。”
图示
观察依据
在公式下方绘制了一个坐标平面，其坐标轴分别标记为 $x$ 和 $y$ 。

定义

解释

在多变量情形中，所绘制的平面并非该函数的图像；相反，平面上的每个点都表示函数的一个输入对。

公式

适用条件

该函数有两个输入变量。
所展示的平面代表输入空间，而非输出图像空间。

先修条目

标量值多变量函数的一个例子
对多元函数而言， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 的含义解释

偏导数是多元函数在某一方向上的敏感度。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人提问：一个输入的变化如何影响输出？并解释该函数将平面上的点映射到一条数轴上。
图示
观察依据
一个输入平面，其上标有 $dx$ 箭头，随后标有 $dy$ 箭头，通过一条弯曲箭头连接至一条输出数轴，该数轴上标有 $df$ 箭头。

定义

解释

视频非正式地将偏导数定义为：仅改变一个输入方向时，输出随之变化的方式。对于 $f(x,y)$ ，改变 $x$ 得到一种输出响应，改变 $y$ 则得到另一种；每种响应仅衡量单一坐标方向上的敏感度。

公式

适用条件

该函数具有多个输入变量。
讨论每次只隔离一个坐标方向上的变化。

偏导数的记号

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，人们采用一种新记号，即顶部带卷曲的 $d$ ，常读作“偏”。
公式
观察依据
书面表达式由 $\frac{df}{dx}$ 和 $\frac{df}{dy}$ 更改为 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

定义

解释

偏导数使用符号 $\partial$ ，而不是普通微分符号 $d$ 。视频中介绍这种记号，是为了表明所涉及的是多元函数，且仅考虑某一变量方向上的变化。

公式

\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}

适用条件

用于多元函数的导数。
将偏导数与普通的单变量导数区分开来。

先修条目

偏导数是多元函数在某一方向上的敏感度。

通过固定另一个变量来计算偏导数。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，在计算 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 时，它只关注沿 $x$ 方向的变化，因此将 $y$ 视为常数。
公式
观察依据
黑板上将问题重写为 $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2\cdot 2+\sin(2)\right)\big|_{x=1}$ 。

方法

解释

为在某一点计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ，视频先代入另一变量的固定值，从而将表达式转化为关于 $x$ 的普通单变量导数。在示例中，先代入 $y=2$ 再求导。

公式

\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=\left.\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2\cdot 2+\sin(2)\right)\right|_{x=1}

适用条件

目标是关于某一变量的偏导数。
另一个自变量在其取值点处被固定。

先修条目

偏导数的记号

某一点处的偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板在标题“偏导数”下明确写出 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ 。
声音
观察依据
主讲人称这些为某一点处的偏导数，并通过先代入固定坐标、再对另一变量求导的方式分别计算每个偏导数。

定义

解释

本片段将 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ 视为函数 $f$ 沿某一坐标方向的导数，此时另一坐标在指定点处保持不变。对于 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ ，先将 $y$ 固定在 $2$ ；对于 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ ，先将 $x$ 固定在 $1$ 。

公式

\frac{\partial f}{\partial x}(1,2),\quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)

适用条件

该函数必须具有两个变量的表达式。
对一个坐标求导时，另一个坐标保持固定。
结果是一个数值，而非关于 $x$ 和 $y$ 的公式。

关于 $(x,y)$ 的一般偏导数（作为函数）

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，通常你不仅需要在某一点处计算，还希望得到一个通用公式，用以说明当你代入任意点 $(x,y)$ 时会发生什么。
公式
观察依据
新一行写出 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2y+\sin(y))$ 并化简为 $2xy+0$ 。

定义

解释

讲者没有预先代入具体数值常量，而是将相同过程用符号形式重写：把未求导的变量视为常量，并对选定变量求导。所得结果是一个在任意输入点都成立的公式。

公式

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2y+\sin(y)\bigr)

适用条件

当期望的输出是依赖于 $(x,y)$ 的规则，而非单一数值时，使用该方法。
求导过程中，另一变量被视为常量。

先修条目

某一点处的偏导数

定理与条件 · 5

关于某一变量的偏导数忽略另一变量的变化。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 只关注沿 $x$ 方向的变化，并将 $y$ 视为常数。

命题

对于函数 $f(x,y)$ ，关于 $x$ 的偏导数仅衡量改变 $x$ 所产生的影响；其余变量被视为固定不变。

前提

$f$ 是多个变量的函数。
所讨论的导数是关于某一个选定变量的导数。

量词

在例题 $f(x,y)$ 于 $(1,2)$ 处计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 时， $y$ 保持不变。

当其他变量被固定后，偏导数就转化为一个普通导数。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“而此处，这实际上只是一个普通的导数。”
公式
观察依据
代入 $y=2$ 后，所显示的表达式变为仅关于 $x$ 的导数。

命题

一旦非求导变量被替换为常数，剩余的计算便成为一个普通的单变量导数。

前提

原始表达式是一个多变量函数的偏导数。
除求导变量外，所有其他变量均已被固定为常数。

量词

在该例题中，将 $y$ 替换为 $2$ 后，表达式仅依赖于 $x$ 。

$x$ -偏导数在 $(1,2)$ 处的值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2\cdot 2+\sin(2))\big|_{x=1}=4x+0\big|_{x=1}=4$ 。
声音
观察依据
讲者指出， $x^2\cdot 2$ 的导数是 $4x$ ， $\sin(2)$ 的导数是 $0$ ，在 $x=1$ 处求值得到 $4$ 。

命题

对于 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ ，有 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=4$ 。

前提

$f(x,y)=x^2y+\sin(y)$
对 $x$ 求导，同时保持 $y=2$ 不变
然后代入 $x=1$

量词

在特定点 $(1,2)$ 处。

$y$ -偏导数在 $(1,2)$ 处的值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=\frac{\partial}{\partial y}((1)^2y+\sin(y))\big|_{y=2}=1+\cos(y)\big|_{y=2}=1+\cos(2)$ 。
声音
观察依据
说话人指出： $1\cdot y$ 的导数是 $1$ ， $\sin(y)$ 的导数是 $\cos(y)$ ，并在 $y=2$ 处求值得到 $1+\cos(2)$ 。

命题

对于 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ ，有 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1+\cos(2)$ 。

前提

$f(x,y)=x^2y+\sin(y)$
对 $y$ 求导，同时保持 $x=1$ 不变
然后代入 $y=2$

量词

在特定点 $(1,2)$ 处。

$x$ 阶偏导数的一般公式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2y+\sin(y))=2xy+0$ 。
声音
观察依据
主讲人指出， $x^2$ 的导数乘以一个常数等于 $2x$ 乘以该常数，而常数的导数为零。

待核验内容

最终化简形式在屏幕上保留为 $2xy+0$ ，而非重写为 $2xy$ 。

命题

对于 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ ，关于 $x$ 的一般偏导数为 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+0$ ，即 $2xy$ 。

前提

$f(x,y)=x^2y+\sin(y)$
将 $y$ 视为常数，同时关于 $x$

量词

对于任意 $(x,y)$ 。

推导与证明 · 8

在引入偏导数之前，理解普通导数的两种等价方式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示了 $f(x)=x^2$ 和 $\frac{df}{dx}(2)$ 。
图示
观察依据
画出了一条抛物线，在 $x=2$ 处标出一个点，一条水平箭头 $dx$ ，以及一条竖直箭头 $df$ 。
图示
观察依据
绘制两条数轴分别表示输入空间和输出空间，箭头显示一个微小的输入变化引起了更大的输出变化。
声音
观察依据
主讲人首先解释图像/斜率的含义，然后说：“但如果你真想的话，也可以不借助图像来理解这一点。”

直观解释

步骤

公式
$f(x)=x^2$
解释
从一个单变量示例函数开始。
步骤依据
主讲人明确写出并命名了这个示例。
视频直接表达
公式
$\frac{df}{dx}(2)$
解释
引入导数在 $x=2$ 处的莱布尼茨记号。
步骤依据
主讲人表示将采用莱布尼茨记号，并在2处求值。
视频直接表达
公式
$dx \text{ as a horizontal nudge},\quad df \text{ as the resulting vertical change}$
解释
在图像上，将 $dx$ 解释为一个微小的输入变化量，将 $df$ 解释为由此引发的输出变化量。
步骤依据
主讲人在抛物线上画出箭头的同时，口头定义了这两个符号。
视频直接表达
公式
$\frac{df}{dx}=\text{slope}$
解释
得出结论：导数即所选点处的局部“纵坐标变化量比横坐标变化量”之比（即升降比）。
步骤依据
主讲人指出：“当你从图像角度思考时，这就是斜率。”
视频直接表达
公式
$\text{input number line} \to \text{output number line}$
解释
不借助图像，而是将函数视作两条数轴之间的映射，从而重新诠释同一个导数。
步骤依据
主讲人明确提出了这种替代性解释。
视频直接表达
公式
$\text{a small input nudge can become an output nudge four times as large}$
解释
利用该例题说明该点处的导数为4。
步骤依据
主讲人用语言给出了这一数值示例。
视频直接表达

结论

普通导数既可理解为图像上某点的局部斜率，也可理解为数轴映射下微小输入变化的放大倍数；这为偏导数的同类推理方式做了铺垫。

将单变量导数的直观理解迁移到双变量情形

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“在多元函数的世界里，我们基本上可以做同样的事情。”
公式
观察依据
黑板上先后展示了 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $(1,2)$ 。
图示
观察依据
画出了一个 $xy$ 平面，并标出了对应于 $(1,2)$ 的一个点。
声音
观察依据
主讲人指出输入空间是 $xy$ 平面，且平面上的每一点都代表一个输入。

待核验内容

最后一句话在“这个微小变化dx”处被截断；视频片段中未完整呈现多元增量的可视化解释。

直观解释

步骤

公式
$\text{Use the same idea in the multivariable case}$
解释
在讲解完普通导数后，主讲人宣布多元情形的处理方式与此类似。
步骤依据
音频中直接陈述。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial f}{\partial x}$
解释
写出在 $x$ 方向上的偏导数记号。
步骤依据
该符号出现在黑板上，并被口头解读。
视频直接表达
公式
$\text{How does a tiny change in the input in the }x\text{ direction influence the output?}$
解释
将偏导数的意义表述为一个关于方向性输入-输出敏感度的问题。
步骤依据
主讲人用语言给出这一解释。
视频直接表达
公式
$\text{input space} = xy\text{-plane}$
解释
将一维的输入数轴替换为二维的输入平面。
步骤依据
主讲人明确指出输入空间是 $xy$ 平面。
视频直接表达
公式
$(1,2)$
解释
在平面上选取一个具体的输入点作为示例。
步骤依据
主讲人说：“假设你在像1、2这样的点处计算这个值”，并在平面上标出该点。
视频直接表达
公式
$\text{tiny change }dx\text{ at }(1,2)$
解释
开始描述在所选点处输入发生的微小变化。
步骤依据
主讲人开始这一解释，但视频片段在此结束，完整的视觉论证尚未完成。
视频直接表达

结论

对于二元函数， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 被引入作为普通导数的类比：它衡量输出对 $x$ 方向上微小输入变化的响应程度，此时该变化被可视化于 $xy$ 输入平面上，而非单条数轴上。

将 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 重写为单变量导数问题

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2\cdot 2+\sin(2)\right)\big|_{x=1}$ 。
声音
观察依据
主讲人解释道，由于只有 $x$ 起作用，因此可以提前将 $y$ 代入。

待核验内容

视频片段内未完成最终的数值计算。

严格证明

步骤

公式
$f(x,y)=x^2y+\sin(y)$
解释
从给定的多元函数出发。
步骤依据
写在黑板上。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$
解释
确定待求的量：对 $x$ 在点 $(1,2)$ 处的偏导数。
步骤依据
在黑板上明确写出。
视频直接表达
公式
$y=2 \text{ is held fixed}$
解释
由于该导数是关于 $x$ 的，因此将 $y$ 坐标视为常数。
步骤依据
主讲人口头陈述。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2\cdot 2+\sin(2)\right)\big|_{x=1}$
解释
先将 $y=2$ 代入公式再求导，得到仅依赖于 $x$ 的表达式，然后标明在 $x=1$ 处取值。
步骤依据
以黑板上重写的表达式呈现，并由主讲人的解释加以说明。
视频直接表达

结论

该偏导数问题已被简化为对单变量表达式求导，再在 $x=1$ 处取值；但视频片段在此步骤前即结束，未执行最后的求导与代入。

$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
分步代数运算写在右上方黑板上。
声音
观察依据
主讲人逐一对每个求导与代入步骤进行口述。

严格证明

步骤

公式
$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2\cdot 2+\sin(2)\bigr)\Big|_{x=1}$
解释
从给定函数出发，先将 $y$ 在 $2$ 处固定，再对 $x$ 求导。
步骤依据
偏导数在某一点处的定义，如讲解者所演示。
视频直接表达
公式
$=4x+0\Big|_{x=1}$
解释
对 $x^2\cdot 2$ 求导得到 $4x$ ，对常数 $\sin(2)$ 求导得到 $0$ 。
步骤依据
$x^2$ 的幂法则，以及常数的导数为零这一事实。
视频直接表达
公式
$=4$
解释
将 $x=1$ 代入 $4x+0$ 。
步骤依据
在指定点处求值。
视频直接表达

结论

$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=4$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ 的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
红色手写体逐行构建完整的计算过程。
声音
观察依据
讲解者说明 $x$ 在 $1$ 处保持不变，然后对 $y$ 求导，并在 $y=2$ 处求值。

严格证明

步骤

公式
$\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl((1)^2y+\sin(y)\bigr)\Big|_{y=2}$
解释
将 $x$ 在 $1$ 处固定，并将函数重写为关于 $y$ 的单变量表达式，再进行求导。
步骤依据
在某一点处定义偏导数，此时将另一个坐标视为固定值。
视频直接表达
公式
$=1+\cos(y)\Big|_{y=2}$
解释
对 $(1)^2y=y$ 求导得到 $1$ ，并对 $\sin(y)$ 求导得到 $\cos(y)$ 。
步骤依据
线性项与正弦函数的基本求导法则。
视频直接表达
公式
$=1+\cos(2)$
解释
将 $y=2$ 代入求导后的表达式。
步骤依据
在指定点处进行求值。
视频直接表达

结论

$\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1+\cos(2)$ 。

推导 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ 的一般公式。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
清空板书空间后，黑板上写下 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2y+\sin(y))=2xy+0$ 。
声音
观察依据
主讲人指出这是相同的思想，只是现在我们假设另一个变量为常数，而非事先代入一个具体数值。

待核验内容

视频片段在主讲人明确于屏幕上将 $2xy+0$ 化简为 $2xy$ 之前结束。

严格证明

步骤

公式
$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2y+\sin(y)\bigr)$
解释
将任务重述为：寻找一个对任意 $(x,y)$ 均成立的公式，而非仅针对某一点的取值。
步骤依据
如主讲人所述，从点处求值过渡到一般偏导数。
视频直接表达
公式
$=2xy+0$
解释
将 $y$ 视为 $x^2y$ 中的常数因子，得到 $2x\cdot y=2xy$ ；将 $\sin(y)$ 视为常数项，得到 $0$ 。
步骤依据
常数倍法则、幂法则以及常数的导数。
视频直接表达

结论

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+0$ ，等价于 $2xy$ 。

∂f/∂y 的计算

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
我们写下所有相同的内容，但现在是对 y 求导……不过这一次，我们将所有 x 视为常数……当你对某个常数乘以 y 的表达式关于 y 求导时，结果就等于该常数……而在这里，你对 $\sin (y)$ 求导，其中不含任何 x，因此结果仍是 $\cos (y)$ 。
公式
观察依据
∂f/∂ $y (x,y)$ = ∂/∂ $y (x^2y + \sin (y)) = x^2 + \cos (y)$

严格证明

步骤

公式
$f(x,y) = x^2y + sin(y)$
解释
从给定函数出发。
步骤依据
已知。
视频直接表达
公式
$∂f/∂y (x,y) = ∂/∂y (x^2y + sin(y))$
解释
建立关于 y 的偏导数。
步骤依据
偏导数的定义。
视频直接表达
公式
$= ∂/∂y (x^2y) + ∂/∂y (sin(y))$
解释
应用导数的和法则。
步骤依据
求导的和法则。
依据视频推导
公式
$= x^2 * ∂/∂y (y) + cos(y)$
解释
将 $x^2$ 视为常数并提取出来；再对 $\sin (y)$ 求导。
步骤依据
常数倍数法则与标准三角函数求导公式。
视频直接表达
公式
$= x^2 * 1 + cos(y)$
解释
y 对 y 的导数是 1。
步骤依据
幂函数求导法则。
视频直接表达
公式
$= x^2 + cos(y)$
解释
化简该表达式。
步骤依据
代数化简。
视频直接表达

结论

函数 $f(x,y) = x^2y + \sin (y)$ 关于 y 的偏导数为 $x^2 + \cos (y)$ 。

计算 ∂f/∂x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
∂f/∂ $x (x,y)$ = ∂/∂ $x (x^2y + \sin (y)) = 2$ xy + 0

严格证明

步骤

公式
$f(x,y) = x^2y + sin(y)$
解释
从给定的函数出发。
步骤依据
已知条件。
视频直接表达
公式
$∂f/∂x (x,y) = ∂/∂x (x^2y + sin(y))$
解释
写出关于 x 的偏导数表达式。
步骤依据
偏导数的定义。
视频直接表达
公式
$= ∂/∂x (x^2y) + ∂/∂x (sin(y))$
解释
应用求导的和法则。
步骤依据
求导的和法则。
依据视频推导
公式
$= y * ∂/∂x (x^2) + 0$
解释
将 y 视为常数并将其提出； $\sin (y)$ 关于 x 的导数是0，因为 $\sin (y)$ 关于 x 是常数。
步骤依据
常数倍法则与常数的导数。
视频直接表达
公式
$= y * 2x + 0$
解释
对 $x^2$ 应用幂法则。
步骤依据
求导的幂法则。
视频直接表达
公式
$= 2xy$
解释
化简该表达式。
步骤依据
代数化简。
视频直接表达

结论

函数 $f(x,y) = x^2y + \sin (y)$ 关于 x 的偏导数是2xy。

例题详解 · 5

普通导数示例： $f(x)=x^2$ 在 $x=2$ 处

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $f(x)=x^2$ 和 $\frac{df}{dx}(2)$ 。
图示
观察依据
绘制了一条抛物线，在点 $x=2$ 处做了标记，并标有箭头 $dx$ 和 $df$ 。
声音
观察依据
主讲人先从斜率角度解释该图像，再给出数轴解释：输出的微小变化量是输入的微小变化量的四倍。

待核验内容

数值4以口述方式作为映射解释的一个示例结果给出；该片段未展示对 $f'(2)$ 的正式代数计算。

题目

解释 $\frac{df}{dx}(2)$ 对函数 $f(x)=x^2$ 的意义。

已知条件

$f(x)=x^2$
在 $x=2$ 处求值
使用莱布尼茨记号 $\frac{df}{dx}$

目标

从几何意义及输入-输出映射两个角度解释导数。

步骤

公式
$\text{Draw the graph of }f(x)=x^2$
解释
将函数表示为一条抛物线，横轴为输入轴、纵轴为输出轴。
步骤依据
主讲人通过手绘图像来解释相关记号。
视频直接表达
公式
$\text{Mark }x=2\text{ \text{且} add }dx,df$
解释
展示该点处一个极小的水平方向输入变化，及其引发的垂直方向输出变化。
步骤依据
主讲人在图上标出了这些增量。
视频直接表达
公式
$\frac{df}{dx}=\text{slope}$
解释
将导数识别为在 $x=2$ 处的局部“纵坐标变化量比横坐标变化量”斜率。
步骤依据
由主讲人直接陈述。
视频直接表达
公式
$\text{Alternatively, map one number line to another}$
解释
将函数视作将输入值映射到输出值的过程，不借助图像。
步骤依据
主讲人明确给出了这种非图像化的解释。
视频直接表达
公式
$\text{If the output nudge is four times the input nudge, the derivative is }4$
解释
在该例中，用所引起的输出变化量与输入变化量的大小之比作为导数值。
步骤依据
主讲人通过口头表述给出了这一数值示例。
视频直接表达

结果

在 $x=2$ 处的导数被解释为 $f(x)=x^2$ 的局部斜率；而在映射图示中则被解释为放大因子；主讲人用数值4对此进行了演示。

检验

该解释通过图中的箭头直观验证，并由主讲人用语言再次确认：输出变化量与输入变化量的比值即为斜率。

在 $(1,2)$ 处为一个双变量函数设置偏导数。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出了 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $(1,2)$ 。
图示
观察依据
画出了一个 $xy$ 平面，并标出了对应于 $(1,2)$ 的一个点。
声音
观察依据
主讲人指出输入空间是 $xy$ 平面，且该平面上的每一点都代表一个输入。
声音
观察依据
主讲人开头说道：“然后你会说，好吧，所以输入值发生了这个微小的扰动，这个微小的变化 dx”，随后片段结束。

待核验内容

该例题仅完成铺垫；片段在主讲人解释位于 $(1,2)$ 处的微小变化之前就结束了。
本片段中未给出偏导数的任何数值结果。

题目

介绍如何理解二元函数在输入点 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 处的 $(1,2)$ 。

已知条件

多变量函数 $f(x,y)$ 此前已被引入。
记号 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 被写出。
选定输入点 $(1,2)$ 。
输入空间由 $xy$ 平面表示。

目标

建立多变量情形下偏导数的几何解释。

步骤

公式
$\text{Switch from one input number line to the }xy\text{-plane}$
解释
将单变量的输入空间替换为二维输入空间。
步骤依据
主讲人明确指出，当前输入空间是 $xy$ 平面。
视频直接表达
公式
$\text{Every point on the plane is an input}$
解释
明确指出该平面并非函数的图像，而是输入值的定义域。
步骤依据
由说话者直接陈述。
视频直接表达
公式
$(1,2)$
解释
选择一个特定的输入点，在该点处考虑偏导数。
步骤依据
说话者说：“假设你在像1、2这样的点上计算这个函数”，并在平面上标出该点。
视频直接表达
公式
$\text{Begin describing a tiny change }dx\text{ at that point}$
解释
沿用单变量导数中所用的“输入微扰”推理思路，现在将其推广到多变量情形。
步骤依据
说话者开始这一解释，但视频片段在此处中断，未完成全部说明。
视频直接表达

结果

该片段阐明： $\frac{\partial f}{\partial x}$ 应被理解为在诸如 $x$ 这样的点处沿 $(1,2)$ 在 $xy$ 输入平面中。

检验

本片段中验证仅部分完成：平面上的设定已通过图示呈现，但完整的解释步骤在片段结束前尚未完成。

建立 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 的表达式： $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
已写出的演算步骤表示为 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2\cdot 2+\sin(2)\right)\big|_{x=1}$ 。
声音
观察依据
主讲人叙述了对 $y=2$ 的代入过程，并指出剩余任务是一个常规导数计算。

待核验内容

导数的计算在视频片段内未完成。
视频中未展示或口述最终的数值答案。

题目

求 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 关于 $x$ 的偏导数，并在点 $(1,2)$ 处求值。

已知条件

$f(x,y)=x^2y+\sin(y)$
求值点 $(1,2)$
对 $x$ 求导。

目标

将偏导数化简为单变量导数，并为在 $x=1$ 处求值做好准备。

步骤

公式
$\text{Treat } y \text{ as constant because we differentiate with respect to } x.$
解释
主讲人解释说， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 仅关注沿 $x$ 方向的变化。
步骤依据
视频片段中的口头讲解。
视频直接表达
公式
$\text{Substitute } y=2 \text{ into } f(x,y).$
解释
将每一个 $y$ 替换为固定值 $2$ 。
步骤依据
明确陈述并展示在黑板上。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2\cdot 2+\sin(2)\right)\big|_{x=1}$
解释
由此得到一个关于 $x$ 的单变量表达式，随后标明在 $x=1$ 处求值。
步骤依据
黑板上显示的公式。
视频直接表达

结果

该片段在设定好 $\left.\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2\cdot 2+\sin(2)\right)\right|_{x=1}$ 后结束；并未说明最终数值。

检验

该片段内未进行任何验证。

例题：求 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 的偏导数。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
整段视频从 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 出发，先计算具体数值点，再推导出一般公式。
声音
观察依据
主讲人明确将这些计算表述为练习，随后上升为更一般的公式。

题目

已知 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ ，计算 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ ，再求出 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ 的一般公式。

已知条件

$f(x,y)=x^2y+\sin(y)$
求值点 $(1,2)$

目标

求在 $(1,2)$ 处的两个偏导数；求一般的关于 $x$ 的偏导公式。

步骤

公式
$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2\cdot 2+\sin(2))\Big|_{x=1}=4x+0\Big|_{x=1}=4$
解释
固定 $y=2$ ，对 $x$ 求导，再代入 $x=1$ 。
步骤依据
函数在某点的偏导数，加上基础求导法则。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=\frac{\partial}{\partial y}((1)^2y+\sin(y))\Big|_{y=2}=1+\cos(y)\Big|_{y=2}=1+\cos(2)$
解释
固定 $x=1$ ，对 $y$ 求导，然后代入 $y=2$ 。
步骤依据
某一点处的偏导数加上基本求导法则。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2y+\sin(y))=2xy+0$
解释
以符号方式重复相同的逻辑，将 $y$ 视为常数，而非先代入具体数值。
步骤依据
从逐点计算推广为关于 $(x,y)$ 的公式。
视频直接表达

结果

$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=4$ 、 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1+\cos(2)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+0$ （即 $2xy$ ）。

检验

将 $(x,y)=(1,2)$ 代入通式 $2xy$ 得到 $2\cdot 1\cdot 2=4$ ，与先前针对 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 的逐点计算结果一致。

在一点处计算偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
若代入1、2，则得到1加上1的余弦值，这与我们之前所得结果一致。
公式
观察依据
f 对 x 的偏导数在点 (1, 2) 处的值；f 对 y 的偏导数在点 (1, 2) 处的值

题目

计算函数 $f(x,y) = x^2y + \sin (y)$ 在点 (1, 2) 处的偏导数。

已知条件

$f(x,y) = x^2y + \sin (y)$
点 (x, y) = (1, 2)

目标

求 ∂f/∂ $x(1,2)$ 和 ∂f/∂ $y(1,2)$ 的数值。

步骤

公式
$∂f/∂x (x,y) = 2xy$
解释
使用之前已计算出的关于 x 的偏导数。
步骤依据
关于 x 的偏导数计算结果（der-calc-partial-x）。
视频直接表达
公式
$∂f/∂x (1,2) = 2(1)(2) = 4$
解释
将 $x=1$ 和 $y=2$ 代入 ∂f/∂x 的表达式。
步骤依据
函数在一点处的取值。
依据视频推导
公式
$∂f/∂y (x,y) = x^2 + cos(y)$
解释
使用之前已计算出的关于 y 的偏导数。
步骤依据
关于 y 的偏导数计算结果（der-calc-partial-y）。
视频直接表达
公式
$∂f/∂y (1,2) = 1^2 + cos(2) = 1 + cos(2)$
解释
将 $x=1$ 和 $y=2$ 代入 ∂f/∂y 的表达式。
步骤依据
函数在某一点的取值。
依据视频推导

结果

∂f/∂ $x(1,2) = 4$ ，且 ∂f/∂ $y(1,2) = 1 + \cos (2)$ 。

检验

说话人提到代入(1,2)得到 $1 + \cos (1)$ ，但黑板上写的是(1,2)。根据公式 $x^2+\cos (y)$ ，代入(1,2)得 $1^2+\cos (2)=1+\cos (2)$ 。音频中很可能将“cosine of 1”口误说成了“cosine of 2”。黑板上的视觉证据与该计算一致。

图示与动画 · 13

普通导数的图像表示：局部斜率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
画出一个坐标系，并勾勒出函数 $f(x)=x^2$ 的抛物线图像。
图示
观察依据
在输入轴上标出点 $x=2$ 。
图示
观察依据
在曲线上的该点附近，添加一条标有 $dx$ 的水平箭头和一条标有 $df$ 的竖直箭头。
声音
观察依据
说话者将这两条箭头分别解释为一个微小的输入扰动及其引发的输出变化，并指出该比值即为斜率。

图中对象

笛卡尔坐标轴
函数 $f(x)=x^2$ 的抛物线
点 $x=2$
水平箭头 $dx$
竖直箭头 $df$

变化过程

先绘制函数图像。
标出求值点 $x=2$ 。
加入一个微小的水平增量 $dx$ 。
加入对应的竖直增量 $df$ 。
将这一对增量理解为纵增量比横增量。

不变量

所依据的函数仍为 $f(x)=x^2$ 。
所选的求值点在此解释过程中保持为 $x=2$ 。

数学含义

动画/示意图表明：某一点处的导数，即该点附近微小输出变化与微小输入变化之比，也就是该点处图像的斜率。

导数的数轴映射解释

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
绘制了两条平行的数轴，一条表示输入，另一条表示输出。
图示
观察依据
箭头分别表示输入轴上的微小位移和输出轴上的较大位移。
声音
观察依据
讲解者指出，这是一种无需借助图像来理解导数的方式，并以输出扰动是输入扰动四倍为例加以说明。

图中对象

输入数轴
输出数轴
微小输入箭头
较大输出箭头

变化过程

基于图像的理解方式被两条独立的数轴所取代。
展示了输入数轴上的一个微小移动。
输出轴上相应更大的运动被展示出来。

不变量

该函数仍被视为从输入到输出的映射。
导数仍被解释为输出变化量与输入变化量之比。

数学含义

这种可视化方式将微分重新理解为映射下的放大效应：一个微小的输入位移，会产生一个成比例地更大或更小的输出位移。

二元函数的输入空间可视化

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
在先前的公式下方画出了一个 $xy$ 平面。
声音
观察依据
讲解者称输入空间是 $xy$ 平面，且该平面上的每个点都是一个输入。
公式
观察依据
$(1,2)$ 写在 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 旁边。
图示
观察依据
在平面上标出了一个对应于 $(1,2)$ 的点。

待核验内容

视频片段在讲解者完成描述该标记点处的微小变化前就结束了。

图中对象

$x$ 轴
$y$ 轴
$xy$ 平面
标出输入点 $(1,2)$
记号 $\frac{\partial f}{\partial x}$

变化过程

在先前工作的下方引入了一个新的坐标平面。
该平面被认定为输入空间，而非图像空间。
标出了特定的输入点 $(1,2)$ 。

不变量

该平面表示多元函数的输入，而非输出相对于输入的绘图。
讨论仍聚焦于 $x$ 方向上的变化。

数学含义

图示将设定从一维输入空间转向二维输入空间，为定义域中某点处偏导数的几何意义做准备。

将多变量函数可视化为从平面到数轴的映射

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
绘制一个绿色输入平面，其坐标轴为 $x$ 和 $y$ ；一条标有 $dx$ 的黄色水平箭头出现，并有一条弯曲箭头指向一条单独的、标有 $f$ 的输出数轴。
声音
观察依据
主讲人称该函数将平面上的点映射到数轴上，并提问： $dx$ 的变化会使输出改变多少？

图中对象

输入平面，其坐标轴为 $x$ 和 $y$
标有 $dx$ 的黄色箭头
弯曲的映射箭头
输出数轴，标有 $f$
输出数轴上标有 $df$ 的箭头

变化过程

在输入平面中引入一个水平扰动 $dx$ 。
在数轴上画出相应的输出扰动 $df$ 。

不变量

输出仍为一条数轴，而非一个平面。
示例函数 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 在黑板上保持固定。

数学含义

该图示表示：仅改变输入的 $x$ 坐标，如何影响标量输出。

将 $y$ 方向的扰动加入同一映射图示中

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
在输入平面中添加一个标有 $dy$ 的红色竖直箭头，并在数轴上标出不同的输出位移。
声音
观察依据
说话者指出，对 $y$ 变量也可进行同样操作，且 $dy$ 是在 $y$ 方向上的变化。

图中对象

输入平面
标有 $dy$ 的红色竖直箭头
输出数轴
标有 $df$ 的红色输出位移

变化过程

引入第二个输入方向，即平面内的竖直方向。
此时输出数轴上显示出与 $dy$ 相关联的另一种感应位移。

不变量

所用的输入平面和输出数轴保持不变。
函数 $f(x,y)$ 保持不变。

数学含义

视觉对比表明，扰动 $y$ 会产生自身独立的输出响应，该响应不同于扰动 $x$ 所产生的响应。

将 $df/dx$ 和 $df/dy$ 替换为偏导数记号

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
书面分数形式从普通的 $d$ 记号变为 $\partial$ 记号。
声音
观察依据
讲解者说明，卷曲的 $d$ 用于强调这是一个多元函数。

图中对象

表达式 $\frac{df}{dx}(1,2)$
表达式 $\frac{df}{dy}(1,2)$
重写后的表达式 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$

变化过程

分子与分母符号使用 $\partial$ 重写。

不变量

求值点仍为 $(1,2)$ 。
底层函数仍为 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 。

数学含义

黑板以视觉方式标示从非正式的方向变化语言向标准偏导数记号的过渡。

擦除单变量比较面板

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
选中并擦除右侧的一维类比面板。
声音
观察依据
主讲人表示将清空黑板，因为一维类比很可能已为大家所熟悉。

图中对象

右侧面板含 $f(x)=x^2$
$f(x)$ 的图像
图像下方的数轴类比

变化过程

整个右侧比较区域消失。
为已演算的偏导数计算过程腾出空间。

不变量

左侧的多变量示例及对应图示保持可见。

数学含义

课程从类比讲解重新转向多变量示例的直接计算。

写出基于代入法的偏导数计算设置。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在右上方，主讲人写下 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2\cdot 2+\sin(2)\right)\big|_{x=1}$ 。
声音
观察依据
主讲人表示可提前代入 $y=2$ ，并指出结果仅为一个普通导数。

图中对象

右上方新增已演算的表达式。
左侧保留原始函数陈述。
下方展示输入/输出图示。

变化过程

在清空的空间中，书写一段全新的符号化推导过程。
该表达式明确将 $y$ 替换为 $2$ ，并标出在 $x=1$ 处求值。

不变量

整个过程中始终使用相同的函数和求值点。

数学含义

视觉化步骤将抽象的偏导数问题转化为具体的单变量求导问题。

初始黑板布局

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板上已写有标题“偏导数”、函数 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 、两个目标表达式 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ ，以及下方带坐标轴和箭头的示意图。

图中对象

标题“偏导数”
函数定义 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$
两个加框的目标偏导数
带 $x$ 轴和 $y$ 轴的坐标示意图
弯曲箭头指向一条标有 $f$ 的水平线
标有 $df$ 、 $dx$ 和 $dy$ 的箭头

变化过程

右上方关于 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 的计算实时完成。
黑板其余部分保持可见，作为参考。

不变量

函数定义及两个目标偏导数表达式持续显示在屏幕上。
下方的方向示意图保持不变。

数学含义

版面布局将上方的代数计算与下方的几何直观示意图分隔开，从而将符号化的偏导数与坐标方向上的变化联系起来。

$y$ 偏导数计算的实时推演

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
红色手写内容依次出现，逐步构建完整的 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ 计算过程。

图中对象

红色表达式 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$
红色代入形式 $\frac{\partial}{\partial y}((1)^2y+\sin(y))\big|_{y=2}$
红色化简结果 $1+\cos(2)$

变化过程

主讲人先写出导数算子，再写出代入后的函数，接着写出求导后的表达式，最后写出最终的求值结果。

不变量

先前蓝色/黄色的 $x$ -部分计算仍保留在上方。
下方的草图保持不变。

数学含义

颜色转为红色，在视觉上区分第二个例子，并强调固定变量已从 $y=2$ 变为 $x=1$ 。

擦除先前的逐点计算，以引入一般公式。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
一个选择框出现在先前右侧演算区域周围，并移除其中部分内容以腾出空间。
声音
观察依据
主讲人说：“我们在这里稍微腾出一点空间”以及“这些内容我们都不再需要了。”

待核验内容

被删除与被保留的片段的确切顺序，因剪辑动作而部分模糊。

图中对象

选择矩形
先前写下的逐点计算
保留下来的标题标签 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$

变化过程

右侧详细的数值计算被清除。
黑板重新布局，为新的符号推导留出空间。

不变量

函数定义和概念示意图保持不变。
关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数记号予以保留。

数学含义

这一视觉重置标志着从在单个点上计算具体数值，转向推导一个可重复使用的公式。

写出关于 $x$ 的通用偏导公式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
新增的黄色和红色书写构建 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2y+\sin(y))=2xy+0$ 。

图中对象

表达式 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$
代入符号形式，其中 $y$ 保持一般性
化简结果 $2xy+0$

变化过程

黑板内容从数值代入转向将 $y$ 视为常量的符号处理。
本片段最终停在 $2xy+0$ 处。

不变量

底层函数 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 保持不变。
将另一个变量视为常量的方法与之前相同。

数学含义

直观的推演过程表明，一般导数公式是通过与逐点计算相同的规则得到的，无需先代入具体数值。

易错点 · 7

偏导数并非一种与普通导数完全不同的运算

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人称偏导数“与普通导数非常相似”，并表示他想说明“它们本质上是同一回事”。

误区

人们或许会认为偏导数是一种无关的或全新的导数类型。

说明

视频明确将偏导数描述为与普通导数非常相似，并基于相同的‘输入变化引起输出变化’的直观概念来构建偏导数。

在多变量设定中，所画出的平面是输入空间，而非函数的图像。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“这次我们不画函数的图像，而是把平面上的每个点都看作一个输入。”

误区

观众可能误以为新画出的 $xy$ -平面是该函数本身的另一幅图像。

说明

主讲人明确纠正了这一误解，指出该平面代表输入空间，其中每个点都作为函数的一对输入值。

误以为偏导数能够描述函数的所有变化

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，偏导数无法完整描述 $f$ 的变化情况，因为它只关注单一方向。

误区

人们可能认为 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 或 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 能完全刻画 $f$ 在任意输入变化下的行为。

说明

视频强调，每个偏导数仅捕捉一个坐标方向上的变化；合在一起，它们也只是完整图景的一部分。

混淆偏导数记号与普通导数记号

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，人们主要采用新记号来突出所涉函数是多元函数。
公式
观察依据
板书明显地从 $d$ 变为 $\partial$ 。

误区

人们可能在未意识到多元函数背景的情况下，将 $\frac{df}{dx}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 视为可互换的。

说明

视频专门引入 $\partial$ ，以表明该导数是在多元函数中对某一变量求取的。

在某一点处的偏导数 vs 作为函数的偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者明确对比了在某一点处计算偏导数，与希望获得一个适用于任意点 $(x,y)$ 的一般公式。

误区

错误地假设偏导数仅表示某一点上的单一数值。

说明

该片段区分了 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ （它是一个数）与 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ （它是一个对任意输入都成立的公式）。

忘记将未参与求导的变量保持为常量。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者反复强调另一个变量保持不变： $x$ 在求导过程中保持为常数，其值为 $1$ 的 $y$ -偏导数；随后我们假设 $y$ 在求一般 $x$ -偏导数时为常数。

误区

将表达式中所有符号都当作仅含一个变量的函数来求导。

说明

计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 时，将 $y$ 视为常量；计算 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 时，将 $x$ 视为常量。

常见误解：导数仅与图像和斜率有关

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
需要理解的是，图像和斜率并非理解导数的唯一方式；因为一旦开始思考向量值函数，或输入维度高于二维的函数，就无法再借助图像来思考……

误区

学生可能认为，将导数几何地理解为函数图像上切线的斜率，是理解导数的唯一有效方式。

说明

尽管这种图像化理解在简单情形下很有用，但它在输入为高维或输出为向量的情形下便不再适用。更一般的理解是：导数表示在某一特定方向上，输出的‘微小变化’与输入的‘微小变化’之比。

概念关系 · 14

普通导数的莱布尼茨记法 → 对多元函数而言， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 的含义解释

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人首先回顾普通导数，然后说道：“进入多变量世界后，我们基本上可以做同样的事情。”
公式
观察依据
板书内容从 $\frac{df}{dx}$ 变为 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

先修

解释

该片段以普通导数及其莱布尼茨记法作为理解偏导数的概念基础。

标量值多变量函数的一个例子 → 偏导数旨在回答的问题

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
该片段从 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 开始，随后引入 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。
声音
观察依据
主讲人提问：如何对这样一个多变量表达式求导？并以偏导数作答。

应用

解释

偏导数这一概念正是为了处理该多变量函数示例的求导问题而引入的。

$\frac{df}{dx}$ 作为斜率的图形化解释 → 导数作为输入数轴与输出数轴之间的映射

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人先给出图像解释，接着又说：“但如果你真想的话，也可以完全不借助图像来思考这个问题。”
图示
观察依据
一条带有 $dx,df$ 箭头的抛物线和一对数轴都被用来解释同一个导数概念。

等价

解释

视频展示了普通导数的两种不同视觉解释，二者均表达了相同的输入变化与输出变化之间的内在关系。

导数作为输入数轴与输出数轴之间的映射 → 对于一个双变量函数，输入空间是 $xy$ -平面。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人首先将单变量函数的输入与输出描述为数轴，然后指出在多变量情形下，输入空间是 $xy$ 平面。
图示
观察依据
视觉呈现从两条数轴过渡到二维输入平面。

推广

解释

当从普通导数过渡到偏导数时，一维输入空间的图示被推广为二维输入空间。

对多元函数而言， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 的含义解释 → 对于一个双变量函数，输入空间是 $xy$ -平面。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示了 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ，同时新绘制出的 $xy$ 平面及点 $(1,2)$ 也一并呈现。
声音
观察依据
主讲人将该记号解释为：输入在 $x$ 方向上的微小变化如何影响输出，并指出输入空间是 $xy$ 平面。

证明依赖

解释

本片段中 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 的含义取决于认识到相关定义域是二维输入平面，而非该函数的图像。

偏导数是多元函数在某一方向上的敏感度。 → 偏导数的记号

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人先解释方向变化 $dx$ 和 $dy$ ，再引入 $\partial$ 记号。
公式
观察依据
书写表达式从 $df/dx$ 、 $df/dy$ 转换为 $\partial f/\partial x$ 、 $\partial f/\partial y$ 。

先修

解释

仅改变一个输入方向的非正式想法，被用来引出形式化的偏导数记号。

偏导数的记号 → 通过固定另一个变量来计算偏导数。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在引入 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 之后，讲解者立即在例题推演中使用了它。

先修

解释

理解 $\partial$ 记号是应用‘计算时将另一变量视为常量’这一规则的前提。

通过固定另一个变量来计算偏导数。 → 建立 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 的表达式： $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
该方法在 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 于 $(1,2)$ 处被具体实施。

应用

解释

将非目标变量固定不变的一般步骤，在例题推演中被直接演示。

偏导数是多元函数在某一方向上的敏感度。 → $f(x)=x^2$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
右侧面板在多元函数示例旁展示了 $f(x)=x^2$ 和 $\frac{df}{dx}(2)$ 。
声音
观察依据
讲解者将此称为一维类比。

对比

解释

多元函数的偏导数概念，与单变量函数的简单普通导数形成对比。

关于 $(x,y)$ 的一般偏导数（作为函数） → 某一点处的偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，一般公式非常相似，区别仅在于：不是提前代入常量，而是假定它为常量。
公式
观察依据
板书从 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 过渡到 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ 。

推广

解释

一般的偏导数公式推广了逐点计算：将特定点代入一般公式，即可得到该点处的数值偏导数。

令另一变量保持不变 → 某一点处的偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在逐点的 $y$ -偏导数和后续的一般 $x$ -偏导数中，均采用相同的“固定其余变量”规则。

应用

解释

冻结另一个坐标的办法，是计算某一点处偏导数所依据的操作规则。

令另一变量保持不变 → 关于 $(x,y)$ 的一般偏导数（作为函数）

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，在求一般公式时，我们仍需假定另一个变量为常数。

应用

解释

同样的固定常数原则导出了符号表达式 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+0$ 。

问题定位 · 19

什么是偏导数？为何要为多变量函数引入偏导数？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人提问如何对一个多变量表达式求导，并将该方法命名为“偏导数”。

涉及知识点

偏导数旨在回答的问题
标量值多变量函数的一个例子

莱布尼茨记号 $\frac{df}{dx}$ 在几何上表示什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示了 $\frac{df}{dx}(2)$ 。
声音
观察依据
主讲人解释了 $dx$ 和 $df$ ，并称该比值为斜率。

涉及知识点

普通导数的莱布尼茨记法
$\frac{df}{dx}$ 作为斜率的图形化解释

不看图像时，该如何理解一个普通的导数？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“但如果你真想这么做，也可以不借助图像来思考这个问题。”
图示
观察依据
画出两条数轴，分别表示输入空间和输出空间。

涉及知识点

导数作为输入数轴与输出数轴之间的映射

对于一个二元函数， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写着 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。
声音
观察依据
主讲人将其解释为：输入在 $x$ 方向上发生微小变化时对输出造成的影响。

涉及知识点

对多元函数而言， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 的含义解释

在多变量情形下，所画出的 $xy$ -平面是该函数的图像，还是输入空间？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，这个平面并非该函数的图像，平面上的每个点都代表一个输入。
图示
观察依据
画出一个 $xy$ -平面作为输入空间。

涉及知识点

对于一个双变量函数，输入空间是 $xy$ -平面。
在多变量设定中，所画出的平面是输入空间，而非函数的图像。

在输入点 $(1,2)$ 处，偏导数示例是如何设定的？

时间近似

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上在 $(1,2)$ 旁边写出了 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。
图示
观察依据
在 $xy$ -平面上标出了一个点。
声音
观察依据
主讲人开始描述该点处的一个微小变化，但视频片段在解释中途结束。

待核验内容

在所提供片段中，关于点 $(1,2)$ 处微小变化的完整解释未完成。

涉及知识点

对多元函数而言， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 的含义解释
对于一个双变量函数，输入空间是 $xy$ -平面。

偏导数对多变量函数究竟度量的是什么？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
讲解者解释了：当仅改变一个输入时，平面到数轴的函数的输出如何随之变化。
图示
观察依据
输入平面与输出直线的图示，说明了方向性变化。

涉及知识点

偏导数是多元函数在某一方向上的敏感度。

为什么对多元函数，我们要写 $\partial f/\partial x$ 而不是 $df/dx$ ？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，卷曲的 $d$ 记号强调了所涉函数是多元函数。
公式
观察依据
黑板上将 $df/dx$ 和 $df/dy$ 用 $\partial$ 表示。

涉及知识点

偏导数的记号

如何计算 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 在 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 处的值？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
已给出的推导过程先代入 $y=2$ ，再对 $x$ 求导。
声音
观察依据
主讲人指出，偏导数将其他变量视为常量。

涉及知识点

通过固定另一个变量来计算偏导数。
建立 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 的表达式： $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$

单个偏导数能否完整描述多元函数的全部变化？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，每个偏导数仅反映了 $f$ 变化情况中的一小部分。

涉及知识点

误以为偏导数能够描述函数的所有变化
偏导数是多元函数在某一方向上的敏感度。

为什么代入之后，一个偏导数问题会转化为普通导数问题？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，固定 $y$ 后，剩余表达式就只是一个普通导数。
公式
观察依据
所显示的表达式仅依赖于 $x$ 。

涉及知识点

当其他变量被固定后，偏导数就转化为一个普通导数。
将 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 重写为单变量导数问题

在某一点处计算偏导数意味着什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板书同时展示了 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ 。

涉及知识点

某一点处的偏导数
例题：求 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 的偏导数。

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 引入标量值双变量函数 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 。

已覆盖 · 主讲人针对一个多变量表达式提出求导问题，并指出偏导数是解决该问题的方法。

已覆盖 · 回顾单变量示例 $f(x)=x^2$ 及记号 $\frac{df}{dx}(2)$ 。

已覆盖 · 通过图像解释 $dx$ 、 $df$ 以及抛物线上点 $x=2$ 处的斜率。

已覆盖 · 将导数另作非图像化解释：视为输入数轴与输出数轴之间的映射。

已覆盖 · 借助 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ，将导数的直观理解迁移到多变量情形。

已覆盖 · 将 $xy$ -平面作为输入空间并标出点 $(1,2)$ ；最终的口头阐述被截断，但该时间段内呈现的数学内容已被完整捕获。

已覆盖 · 非正式解释：分别改变 $x$ 或 $y$ 如何影响输出，并配有对应图示。

已覆盖 · 引入 $\partial$ 记号，并说明每个偏导数只捕捉一个方向上的变化。

已覆盖 · 一维类比面板被擦除，为解题示例腾出空间。

已覆盖 · 的设定： $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 通过代入 $y=2$ ；视频在此处暂停，未计算最终的导数值。

已覆盖 · 根据所展示的函数计算 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ ，得到结果 $4$ 。

已覆盖 · 计算 $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ 时固定 $x=1$ ，得到 $1+\cos(2)$ 。

已覆盖 · 主讲人从点处的取值过渡到一般公式的概念，并清空黑板留出空间。

已覆盖 · 推导出符号表达式 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+0$ ，并说明该式能复现之前在某一点处得到的结果。

已覆盖 · 本片段中所有数学内容均已提取并分类。

探索视频中的知识

已审核的主题路径

偏导数

偏导数，简介

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

标量值多元函数示例

偏导数是普通导数在多元变量情形下的对应概念

普通导数的莱布尼茨记号

dxdxdx与dfdfdf的图形意义

导数作为输入数轴与输出数轴之间的放大关系

∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}∂x∂f​的含义

对于二元函数，输入空间是xyxyxy平面

偏导数即沿某一输入方向的变化率

可视化模型中的dxdxdx、dydydy与dfdfdf

为何采用符号∂\partial∂

每个偏导数仅揭示了故事的一部分

计算∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}∂x∂f​时，将yyy

函数在一点处的偏导数

∂f∂x(1,2)\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)∂x∂f​(1,2)的具体计算过程

∂f∂y(1,2)\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)∂y∂f​(1,2)的具体计算过程

一般偏导数公式

推导例题中的∂f∂x(x,y)\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)∂x∂f​(x,y)

常见误区：混淆哪个变量被视为常数

偏导数的定义

计算 f(x,y)=x2y+sin⁡(y)f(x,y) = x^2y + \sin (y)f(x,y)=x2y+sin(y) 关于 y 的偏导数 ∂f/∂y

偏导数的几何意义

图形化解释的局限性

详细学习笔记

f(x,y)f(x,y)f(x,y)

x

y

f(x)f(x)f(x)

dfdx\frac{df}{dx}dxdf​

dx

df

x=2x=2x=2

∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}∂x∂f​

(1,2)

xy\text{-plane}

f(x,y)f(x,y)f(x,y)

标量值多变量函数的一个例子

偏导数旨在回答的问题

普通导数的莱布尼茨记法

dfdx\frac{df}{dx}dxdf​作为斜率的图形化解释

导数作为输入数轴与输出数轴之间的映射

对多元函数而言，∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}∂x∂f​的含义解释

对于一个双变量函数，输入空间是xyxyxy-平面。

偏导数是多元函数在某一方向上的敏感度。

偏导数的记号

通过固定另一个变量来计算偏导数。

某一点处的偏导数

关于(x,y)(x,y)(x,y)的一般偏导数（作为函数）

关于某一变量的偏导数忽略另一变量的变化。

当其他变量被固定后，偏导数就转化为一个普通导数。

xxx-偏导数在(1,2)(1,2)(1,2)处的值

yyy-偏导数在(1,2)(1,2)(1,2)处的值

xxx阶偏导数的一般公式

在引入偏导数之前，理解普通导数的两种等价方式

将单变量导数的直观理解迁移到双变量情形

将∂f∂x(1,2)\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)∂x∂f​(1,2)重写为单变量导数问题

∂f∂x(1,2)\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)∂x∂f​(1,2)的推导

∂f∂y(1,2)\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)∂y∂f​(1,2)的推导

推导∂f∂x(x,y)\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)∂x∂f​(x,y)的一般公式。

∂f/∂y 的计算

计算 ∂f/∂x

普通导数示例：f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2在x=2x=2x=2处

在(1,2)(1,2)(1,2)处为一个双变量函数设置偏导数。

建立 ∂f∂x(1,2)\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)∂x∂f​(1,2) 的表达式：f(x,y)=x2y+sin⁡(y)f(x,y)=x^2y+\sin(y)f(x,y)=x2y+sin(y)

例题：求f(x,y)=x2y+sin⁡(y)f(x,y)=x^2y+\sin(y)f(x,y)=x2y+sin(y)的偏导数。

在一点处计算偏导数

普通导数的图像表示：局部斜率

导数的数轴映射解释

二元函数的输入空间可视化

将多变量函数可视化为从平面到数轴的映射

将yyy方向的扰动加入同一映射图示中

将df/dxdf/dxdf/dx和df/dydf/dydf/dy替换为偏导数记号

擦除单变量比较面板

写出基于代入法的偏导数计算设置。

初始黑板布局

yyy偏导数计算的实时推演

$dx$ 与 $df$ 的图形意义

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 的含义

对于二元函数，输入空间是 $xy$ 平面

可视化模型中的 $dx$ 、 $dy$ 与 $df$

为何采用符号 $\partial$

计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 时，将 $y$

$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 的具体计算过程

$\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ 的具体计算过程

推导例题中的 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$

计算 $f(x,y) = x^2y + \sin (y)$ 关于 y 的偏导数 ∂f/∂y

$f(x,y)$

$f(x)$

$\frac{df}{dx}$

$x=2$

$\frac{\partial f}{\partial x}$

$f(x,y)$

$\frac{df}{dx}$ 作为斜率的图形化解释

对多元函数而言， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 的含义解释

对于一个双变量函数，输入空间是 $xy$ -平面。

关于 $(x,y)$ 的一般偏导数（作为函数）

$x$ -偏导数在 $(1,2)$ 处的值

$y$ -偏导数在 $(1,2)$ 处的值

$x$ 阶偏导数的一般公式

将 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 重写为单变量导数问题

$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 的推导

$\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ 的推导

推导 $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ 的一般公式。

普通导数示例： $f(x)=x^2$ 在 $x=2$ 处

在 $(1,2)$ 处为一个双变量函数设置偏导数。

建立 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 的表达式： $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$

例题：求 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 的偏导数。

将 $y$ 方向的扰动加入同一映射图示中

将 $df/dx$ 和 $df/dy$ 替换为偏导数记号

$y$ 偏导数计算的实时推演

写出关于 $x$ 的通用偏导公式

普通导数的莱布尼茨记法 → 对多元函数而言， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 的含义解释

$\frac{df}{dx}$ 作为斜率的图形化解释 → 导数作为输入数轴与输出数轴之间的映射

导数作为输入数轴与输出数轴之间的映射 → 对于一个双变量函数，输入空间是 $xy$ -平面。

对多元函数而言， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 的含义解释 → 对于一个双变量函数，输入空间是 $xy$ -平面。

通过固定另一个变量来计算偏导数。 → 建立 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 的表达式： $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$

偏导数是多元函数在某一方向上的敏感度。 → $f(x)=x^2$

关于 $(x,y)$ 的一般偏导数（作为函数） → 某一点处的偏导数

令另一变量保持不变 → 关于 $(x,y)$ 的一般偏导数（作为函数）

莱布尼茨记号 $\frac{df}{dx}$ 在几何上表示什么？

对于一个二元函数， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示什么？

在多变量情形下，所画出的 $xy$ -平面是该函数的图像，还是输入空间？

在输入点 $(1,2)$ 处，偏导数示例是如何设定的？

为什么对多元函数，我们要写 $\partial f/\partial x$ 而不是 $df/dx$ ？

如何计算 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ 在 $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$ 处的值？