数论 | 二次剩余：定义与示例

1. 公式
   观察依据

   黑板在定义中写下 `$a \in \mathbb{Z}$`。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“若 a 和 n 是整数。”

a

其关于模 n 的二次剩余性质正在被讨论的整数。

整数集

1. 公式
   观察依据

   黑板写下 `$n > 0$`，随后使用 `$\pmod n$` 和 `$\pmod 7$`。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“n 还大于零，因此它是一个自然数。”

n

正模数；在该例中特化为 7。

整数集，n 大于0

1. 公式
   观察依据

   黑板写下 `$\gcd(a,n)=1$`。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“a 与 n 的最大公约数为一，因此它们互素。”

$\gcd(a,n)$

a 与 n 的最大公约数；定义要求它等于 1。

定义在整数对上的整数值函数

1. 公式
   观察依据

   黑板上写下 `$x^2 \equiv a \pmod n$`。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“若 x 的平方对模 n 与 a 同余有解。”

x

待检验其平方是否对模 n 与 a 同余的未知整数。

整数（由同余方程隐含）

1. 公式
   观察依据

   黑板反复使用 `$\equiv$ ... $\pmod n$` 和 `$\pmod 7$`。

2. 声音
   观察依据

   说话人朗读示例，例如“与1模7同余”。

$\equiv \pmod n$

模 n 的同余关系。

定义在整数集上

1. 公式
   观察依据

   左板定义写道：“设 a ∈ ℤ，满足 $n > 0$ 且 gcd(a,n) = 1。若同余方程 x² ≡ a (mod n) 有解，则称 a 是模 n 的二次剩余。”

a

二次剩余/非剩余定义中出现的整数；在例题中，这些整数具体指被平方的底数，或被分类的剩余类。

整数，例题中使用的是小于模数的正剩余。

1. 公式
   观察依据

   定义行包含“$n > 0$”，且同余式写作模 n 形式。

n

二次剩余模 n 的一般定义中的模数。

正整数。

1. 公式
   观察依据

   定义行包含“gcd(a,n) = 1”。

gcd(a,n)

a 与 n 的最大公约数；定义要求该值等于 1。

定义在整数对上的取整数值函数。

1. 公式
   观察依据

   定义行包含“x² ≡ a (mod n) 是可解的”。

$x^2 \equiv a \pmod n$

一个同余条件，其是否可解决定了 a 是否为模 n 的二次剩余。

整数模 n 上的同余关系。

1. 公式
   观察依据

   中间列标题为“例：$n = 7$”。

$n=7$

第一个例题中所用的模数。

某个具体的正整数模数。

1. 公式
   观察依据

   擦除第一个例题后，中间列标题重写为“例：$n = 8$”。

$n=8$

第二个例题中所用的模数。

某个具体的正整数模数。

1. 公式
   观察依据

   右列结论为：“因此，1、2、4是模7的二次剩余。”

1,2,4

从所列平方数中识别出的模7的二次剩余。

模7的剩余类。

1. 公式
   观察依据

   黑板文字：“定义：设 $a \in \mathbb{Z}$，$n > 0$，且 $\gcd(a,n) = 1$。若同余式 $x^2 \equiv a \pmod n$ 有解，则称 a 是模 n 的二次剩余；否则称 a 是模 n 的二次非剩余。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人出声陈述同一定义，并特别更正“a 的平方”为“x 的平方”。

对整数 a 和正模数 n（满足 $\gcd(a,n) = 1$），当同余式 $x^2 \equiv a \pmod n$ 有解时，a 称为模 n 的二次剩余；若该同余式无解，则 a 称为模 n 的二次非剩余。

1. a 是一个整数

2. n 大于0

3. a 与 n 的最大公约数等于1

4. 可解性是指存在一个整数 x 满足该同余式

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们主要关注 n 为奇素数的情形。”

尽管定义适用于任意与 a 互素的正模 n，但讲者指出后续理论将主要集中于 n 为奇素数的情形。

1. 一般定义允许任意满足 $n > 0$ 且 gcd(a, n) = 1 的 n

2. 后续重点放在奇素数 n 上

1. 模 n 的二次剩余与二次非剩余

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板写有：“定义：设 a ∈ ℤ，$n > 0$，且 gcd(a,n) = 1。若同余式 x² ≡ a (mod n) 可解，则称 a 是模 n 的二次剩余。”

2. 声音
   观察依据

   说话人继续该定义，指出：否则，a 称为模 n 的二次非剩余。

视频给出了关于整数 a 相对于正模数 n 的定义，并明确要求满足互素条件 gcd(a,n) = 1；该定义指出：当且仅当同余式 x² ≡ a (mod n) 有解时，a 是模 n 的二次剩余。同一设定下也定义了互补情形：若该同余式无解，则 a 称为模 n 的二次非剩余。

1. a 是整数

2. n 大于0

3. a 与 n 的最大公约数等于1

4. 分类取决于同余式 x² ≡ a (mod n) 是否有解

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板上写着：“否则，它就是一个模 n 的二次非剩余。”

2. 声音
   观察依据

   在两个例子中，主讲人都将剩余的与 n 互质的剩余类标记为二次非剩余。

在同一定义段落中，视频陈述了否定情形：若 a 满足 gcd(a,n)=1，但同余式 x² ≡ a (mod n) 无解，则 a 是模 n 的二次非剩余。例子通过选取那些未出现在已计算平方值中的互质剩余类来应用该定义。

1. a 是整数

2. n 大于0

3. a 与 n 的最大公约数等于1

4. x² ≡ a (mod n) 无解

1. 模 n 的二次剩余的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们将采用相同的策略。因此，我们会取所有与 8 互质的数，对它们分别平方，再观察结果。”

2. 公式
   观察依据

   当 $n=8$ 时，他列出了 1、3、5、7，并计算了它们模 8 的平方值。

所给例题采用直接计算法。首先列出所有小于 n 且与 n 互质的正剩余；然后对每个剩余求平方，并对 n 取模；所得的不同结果即为二次剩余；其余与 n 互质的剩余则为二次非剩余。该方法在 $n=7$ 和 $n=8$ 两种情形下分别明确展示。

1. 使用定义，其中 gcd(a,n)=1

2. 对与 n 互质的代表元 x 计算 x² mod n

3. 将不同的平方值汇总为二次剩余

1. 模 n 的二次剩余的定义
2. 模 n 的二次非剩余的定义

1. 公式
   观察依据

   中间一列列出：1²≡1，2²≡4，3²≡2，4²≡2，5²≡4，6²≡1 (mod 7)。

2. 公式
   观察依据

   右列写明：“因此 1、2、4 是模 7 的二次剩余。”

对于模数 7，其互质剩余中的二次剩余是 1、2 和 4。

1. n 等于7

2. 考虑与 7 互质的剩余

3. 利用二次剩余的定义：即方程 x² ≡ a (mod 7) 是否有解

对于模7的所列剩余类。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“剩下的那些，即3、5和6，是模7的二次非剩余。”

2. 公式
   观察依据

   右栏写有：“3、5、6是模7的二次非剩余。”

对于模数7，在与之互素的剩余中，二次非剩余为3、5和6。

1. n 等于7

2. 剩余3、5、6均与7互素

3. 它们不出现在平方值中1，2，4模7

对于模7的所列剩余类。

1. 公式
   观察依据

   中间栏列出：1²≡1，3²≡1，5²≡1，7²≡1（mod8）

2. 公式
   观察依据

   右栏写有：“1是模8下唯一的二次剩余。”

对于模8，1是所有与模互质的剩余类中唯一的二次剩余。

1. n 等于8

2. 考虑所有与8互质的剩余类。

3. 利用二次剩余的定义：即同余方程 x² ≡ a (mod 8) 是否有解。

在模8的所有与模互质的剩余类中。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“因此1是一个二次剩余，这意味着3、5和7都是二次非剩余。”

对于模8，所有与模互质的剩余类中的二次非剩余是3、5和7。

1. n 等于 8

2. 剩余3、5、7均与8互质。

3. 它们不等于唯一的平方值1模8

针对所列出的模8剩余类。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们将对模 7 下的所有数直接平方，并观察结果。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上列出 `$1^2$ ≡ 1`、`$2^2$ ≡ 4`、`$3^2 = 9$ ≡ 2`、`$4^2 = 16$ ≡ 2`、`$5^2 = 25$ ≡ 4`、`$6^2 = 36$ ≡ 1`，全部对模 7 成立。

1. 公式

   $$1^2 \equiv 1 \pmod 7$$
   解释

   对1进行平方运算，再对7取模。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2^2 \equiv 4 \pmod 7$$
   解释

   对2进行平方运算，再对7取模。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$$
   解释

   对3进行平方运算得到9，再对9进行7取模。

   步骤依据

   直接计算，并对7取模。

   视频直接表达
4. 公式

   $$4^2 = 16 \equiv 2 \pmod 7$$
   解释

   对4进行平方运算得到16，再对16进行7取模。

   步骤依据

   直接计算，并对7取模。

   视频直接表达
5. 公式

   $$5^2 = 25 \equiv 4 \pmod 7$$
   解释

   对5进行平方运算得到25，再对25进行7取模。

   步骤依据

   直接计算，并对7取模。

   视频直接表达
6. 公式

   $$6^2 = 36 \equiv 1 \pmod 7$$
   解释

   对6进行平方运算得到36，再对36进行7取模。

   步骤依据

   直接计算，并对7取模。

   视频直接表达

对1至6的每个数模7求平方，所得余数依次为1、4、2、2、4、1。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“如果我们沿着这条线将这个列表对折，它们就能一一对应：二对应二，四对应四，一对应一。”

2. 图示
   观察依据

   屏幕上竖直排列着六个同余式，说话人用手势指向该列表的中部。

1. 公式

   $$1^2 \leftrightarrow 6^2$$
   解释

   比较该列表的第一个和最后一个条目。

   步骤依据

   两者均约化为1模7。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2^2 \leftrightarrow 5^2$$
   解释

   比较该列表的第二个和第五个条目。

   步骤依据

   两者均约化为4模7。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3^2 \leftrightarrow 4^2$$
   解释

   比较该列表的第三个和第四个条目。

   步骤依据

   两者均约化为2模7。

   视频直接表达

模7的平方数列表具有镜像结构：成对对称的位置给出相同的余数。

1. 公式
   观察依据

   中间一列展示了模7下的六个平方运算。

2. 公式
   观察依据

   右侧一列列出了所得的二次剩余集与非剩余集。

1. 公式

   $$1^2 \equiv 1 \pmod 7$$
   解释

   将第一个互素代表元平方，再对7取模。

   步骤依据

   直接进行模运算。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2^2 \equiv 4 \pmod 7$$
   解释

   对下一个代表元进行平方，并对7取模。

   步骤依据

   直接进行模运算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$$
   解释

   计算9，并对7取模。

   步骤依据

   整数对7取模的约化。

   视频直接表达
4. 公式

   $$4^2 = 16 \equiv 2 \pmod 7$$
   解释

   计算16，并对7取模。

   步骤依据

   整数对7取模的约化。

   视频直接表达
5. 公式

   $$5^2 = 25 \equiv 4 \pmod 7$$
   解释

   计算25，并对7取模。

   步骤依据

   整数对7取模的约化。

   视频直接表达
6. 公式

   $$6^2 = 36 \equiv 1 \pmod 7$$
   解释

   计算36，然后对7取模约化。

   步骤依据

   整数对7取模的约化。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\{1,2,4\}$$
   解释

   收集对7取模所得的不同平方值。

   步骤依据

   根据定义，这些就是模7的二次剩余。

   视频直接表达
8. 公式

   $$\{3,5,6\}$$
   解释

   选取未出现在平方值集合中的其余互素剩余类。

   步骤依据

   根据定义，这些就是模7的二次非剩余。

   视频直接表达

模7下，二次剩余为1、2、4，二次非剩余为3、5、6。

1. 公式
   观察依据

   中间一列列出1、3、5、7，然后依次列出它们对8取模的平方。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说明哪些数与8互素，然后计算它们的平方。

3. 公式
   观察依据

   右列得出结论：1是模8下的唯一二次剩余。

1. 公式

   $$\gcd(1,8)=1,\ \gcd(3,8)=1,\ \gcd(5,8)=1,\ \gcd(7,8)=1$$
   解释

   找出小于8且与8互质的正剩余。

   步骤依据

   直接检验与8的互质性。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1^2 \equiv 1 \pmod 8$$
   解释

   对第一个互质代表元进行平方。

   步骤依据

   直接进行模运算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3^2 = 9 \equiv 1 \pmod 8$$
   解释

   计算9，并对8取模。

   步骤依据

   对一个整数模8取余。

   视频直接表达
4. 公式

   $$5^2 = 25 \equiv 1 \pmod 8$$
   解释

   计算25，并对8取模。

   步骤依据

   对一个整数模8取余。

   视频直接表达
5. 公式

   $$7^2 = 49 \equiv 1 \pmod 8$$
   解释

   计算49，并对8取模。

   步骤依据

   对一个整数模8取余。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\{1\}$$
   解释

   收集模8所得的不同平方值。

   步骤依据

   根据定义，这些即为模8的二次剩余。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\{3,5,7\}$$
   解释

   取剩余未在平方值中出现的互质剩余类。

   步骤依据

   根据定义，这些是模8的二次非剩余。

   视频直接表达

模8时，互质剩余类中唯一的二次剩余是1，而二次非剩余是3、5、7。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写下“例：$n=7$”，随后列出六个平方同余式。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们取 n 等于7”，然后对所有模7的数进行平方运算。

确定哪些剩余类可表示为模7的平方，并从中识别出二次剩余。

1. n 等于7

2. 考虑整数1、2、3、4、5、6模7的值

对这些 x 值计算 x 的2次方模7，并从中读出二次剩余。

1. 公式

   $$1^2 \equiv 1 \pmod 7$$
   解释

   计算1模7的平方。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2^2 \equiv 4 \pmod 7$$
   解释

   计算2模7的平方。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$$
   解释

   计算3的平方并约化。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$4^2 = 16 \equiv 2 \pmod 7$$
   解释

   计算4的平方并化简。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
5. 公式

   $$5^2 = 25 \equiv 4 \pmod 7$$
   解释

   计算5的平方并化简。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
6. 公式

   $$6^2 = 36 \equiv 1 \pmod 7$$
   解释

   计算6的平方并化简。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\{1,2,4\}$$
   解释

   汇总六次计算所得的不同结果。

   步骤依据

   这些恰好是模7下某个平方数所代表的剩余类。

   依据视频推导

模7的二次剩余为1、2和4。

所列每个剩余类均出现在计算所得的模7平方数中，且列表中不包含其他非零剩余类。

1. 公式
   观察依据

   中间列标题为“例：$n = 7$”，并列出六个平方同余式。

2. 公式
   观察依据

   右列陈述了关于剩余与非剩余的结论。

依据定义，对模7的二次剩余与二次非剩余进行分类。

1. n 等于 7

2. 需考虑的互质剩余类：1、2、3、4、5、6

3. 计算所得的模7平方值显示在黑板上

确定模7的哪些剩余类是二次剩余，哪些是二次非剩余。

1. 公式

   $$1^2 \equiv 1 \pmod 7$$
   解释

   从第一个代表元开始，计算并化简其平方。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2^2 \equiv 4 \pmod 7$$
   解释

   依次遍历所有代表元。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$$
   解释

   将9对7取模。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$4^2 = 16 \equiv 2 \pmod 7$$
   解释

   将16对7取模。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
5. 公式

   $$5^2 = 25 \equiv 4 \pmod 7$$
   解释

   将25对7取模。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
6. 公式

   $$6^2 = 36 \equiv 1 \pmod 7$$
   解释

   将36对7取模。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
7. 公式

   $$1,2,4$$
   解释

   从剩余类中读出互不相同的平方值。

   步骤依据

   二次剩余的定义：通过同余方程 x² ≡ a (mod n) 是否有解来定义。

   视频直接表达
8. 公式

   $$3,5,6$$
   解释

   其余与模数互质的同余类即为非剩余。

   步骤依据

   二次非剩余的定义：即上述同余方程无解的情形。

   视频直接表达

模 7 的二次剩余：1，2，4。模 7 的二次非剩余：3，5，6。

所列出的模 7 的平方值恰好是 1、2 和 4，其余与模数互质的同余类是 3、5 和 6。

1. 公式
   观察依据

   中间列标题为“例：$n = 8$”，并列出 1、3、5、7 各自对模 8 的平方值。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出这是一个合数的例子，并采用相同的策略。

3. 公式
   观察依据

   右列内容为：“1 是模 8 下唯一的二次剩余。”

使用此前相同的策略，对模 8 的二次剩余与二次非剩余进行分类。

1. n 等于8

2. 仅考虑与 8 互质的剩余：1、3、5、7。

3. 模8的平方数在黑板上计算

判断模8的哪些互质剩余类是二次剩余，哪些是二次非剩余。

1. 公式

   $$1,3,5,7$$
   解释

   选出小于8且与8互质的正剩余。

   步骤依据

   定义要求gcd(a,n)=1，而说话者明确排除了2、4、6。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1^2 \equiv 1 \pmod 8$$
   解释

   对第一个选定的代表元进行平方。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3^2 = 9 \equiv 1 \pmod 8$$
   解释

   将9对8取模。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$5^2 = 25 \equiv 1 \pmod 8$$
   解释

   将25对8取模。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
5. 公式

   $$7^2 = 49 \equiv 1 \pmod 8$$
   解释

   将49对8取模。

   步骤依据

   直接计算。

   视频直接表达
6. 公式

   $$1$$
   解释

   所有平方运算都得到相同的剩余类。

   步骤依据

   不同的平方值确定了二次剩余。

   视频直接表达
7. 公式

   $$3,5,7$$
   解释

   因此，其余与模数互质的剩余类都是非剩余。

   步骤依据

   二次非剩余的定义即为不可解的情形。

   视频直接表达

模8的唯一二次剩余是1；二次非剩余是3、5、7。

每个互质的底数1，3，5，7 的平方等于 1 模 8，因此没有其他与之互质的同余类会作为平方值出现。

1. 图示
   观察依据

   黑板被分为左侧定义区与右侧示例区。

2. 动画
   观察依据

   讲师先指向定义部分，随后在右侧写下示例标题及六个同余式。

1. 左侧面板展示形式化定义

2. 右侧面板标题为“例：$n=7$”

3. 垂直列出关于模7的六个同余式

1. 右侧面板初始为空白

2. 随后写下“例：$n=7$”

3. 接着逐个添加六个平方同余式

4. 最后，主讲人用手势示意各行之间的对称性

1. 左侧面板的定义始终可见

2. 模数7在该例题中保持不变

视觉布局将一般性定义与具体的计算例题分隔开来，使抽象判据到显式剩余检验的过渡清晰易懂。

1. 图示
   观察依据

   黑板被划分为三个垂直区域：左侧为定义，中间为演算示例，右侧为结论。

1. 左侧定义栏

2. 中间演算示例栏

3. 右侧结论栏

4. 主讲人用粉笔书写

1. 中间和右侧面板首先填入 $n=7$ 的示例。

2. 大约在 42 秒时，主讲人擦去中间和右侧面板的内容，而左侧定义保持不变。

3. 随后，中间和右侧面板重新填入 $n=8$ 的示例。

1. 左侧定义在整个片段中始终可见。

2. 数学任务保持不变：对选定的模数分类二次剩余与非剩余。

视觉布局将理论、计算与结论分离开来，使示例呈现为对左侧固定定义的应用。

1. 动画
   观察依据

   主讲人在重写新标题前，先擦除中间和右侧列中先前的示例内容。

1. 黑板擦/手部动作

2. 旧的 $n=7$ 计算过程

3. 新的空白中间/右侧区域

1. $n=7$ 的计算过程与结论消失。

2. 当 $n=8$ 时，一个新的标题写在中间一列。

1. 左侧的定义保持不变。

2. 对互质代表元进行平方的方法被沿用到新的模数上。

这一视觉上的重置标志着模数从奇素数转变为合数，同时保持相同的定义框架。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“若x的平方关于模n同余于a有解。”

有人可能误以为定义方程是 $a^2$ ≡ a (mod n)，因为主讲人最初口误说错了。

修正后并写在黑板上的条件是 $x^2$ ≡ a (mod n)：x 是待求的未知量，而 a 是其剩余类性质正被讨论的整数。

1. 声音
   观察依据

   当 $n=8$ 时，讲解者明确指出：“2 不与模数互质，因此不能使用；4 也不互质，因此不能使用；6 同样不互质”，最终只保留 1、3、5、7。

有人可能试图将模 n 的每个剩余类都归类为二次剩余或非二次剩余，而不先验证 gcd(a,n)=1。

本视频中的定义仅适用于 gcd(a,n)=1 的情形。在 $n=8$ 的例子中，2、4 和 6 在平方前即被排除，因为它们与 8 不互质。

1. 公式
   观察依据

   当 $n = 8$ 时，四个不同的底数 1，3，5，7 均产生相同的平方值 1 模 8。

2. 声音
   观察依据

   讲解者根据重复出现的输出结果得出结论：1 是模 8 下唯一的二次剩余。

人们可能预期每个互质的底数都会生成不同的二次剩余。

这些例子表明，多个不同的底数可以平方后得到相同的剩余类。关键在于模 n 下不同平方值的集合，而不在于得到这些平方值所用底数的个数。

1. 公式
   观察依据

   左侧面板给出一般定义；右侧面板将该定义应用于 $n=7$ 的情形。

2. 声音
   观察依据

   主讲人从定义直接过渡到“我们来看一个例子”。

$n=7$ 的例子通过显式计算模 7 意义下哪些剩余类可表示为平方数，来应用该一般定义。

1. 声音
   观察依据

   在陈述一般定义之后，主讲人指出后续结果主要关注奇素数 n。

奇素数模数是一般定义下的一个特例，讲师特别标出以便后续理论展开。

1. 声音
   观察依据

   主讲人在列出剩余类之前，先指出了折叠匹配的规律。

2. 公式
   观察依据

   重复出现的剩余类 1、4、2 在六行列表中对称分布。

所观察到的镜像结构有助于说明：为何仅将三个不同的剩余类 1、2 和 4 收集为模 7 的二次剩余。

1. 公式
   观察依据

   左侧定义引入了同余式 x² ≡ a (mod n) 的可解性。

2. 声音
   观察依据

   主讲人针对 $n=8$说：“我们将采用相同的策略”，然后对与 n 互质的代表元进行平方。

该计算方法是定义的直接应用：通过对候选底数进行平方并模 n 约化，可直接检验哪些与 n 互质的剩余类会作为平方值出现。

1. 公式
   观察依据

   定义先说明剩余情形，再指出“否则，它就是一个二次非剩余”。

2. 公式
   观察依据

   两个例子都将与 n 互质的剩余类划分为平方值类和剩余类。

二次非剩余是在相同互质性假设下，相对于二次剩余所定义的补集情形。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们已考察了一个模为奇素数的例子；因此，现在我再举一个模为合数的例子，以作补充。”

2. 公式
   观察依据

   两个例子均采用相同的三步模式：列出与 n 互质的剩余类，对其平方，再对结果分类。

这两个例子在使用同一定义驱动流程的前提下，对比了模为奇素数与模为合数的情形。

1. 公式
   观察依据

   $n=7$下的平方运算直接导出了所述的剩余集与非剩余集。

关于模 7 的剩余断言，依赖于从与 n 互质的代表元出发、计算其不同平方值的方法。

1. 公式
   观察依据

   当 $n = 8$ 时，平方运算直接得出结论：1 是模 8 的唯一二次剩余。

模 8 下的唯一性断言，源于对所有与模数互质的底数进行显式计算——它们的平方都等于 1。

1. 公式
   观察依据

   定义写在黑板左侧。

2. 声音
   观察依据

   主讲人用语言解释该定义。

1. 模 n 的二次剩余与二次非剩余

1. 公式
   观察依据

   黑板上在假设条件中写有“$\gcd(a,n)=1$”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“因此它们互素。”

1. 模 n 的二次剩余与二次非剩余

1. 公式
   观察依据

   黑板上列出了六个关于模7的显式同余式。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说，他将对所有模7的数进行平方，并观察结果。

1. 以7为模的示例
2. 计算模 7 下的平方

1. 声音
   观察依据

   主讲人说，这个列表可以对折，各项恰好一一对应。

2. 图示
   观察依据

   这六个同余式以竖直方式排列，使配对关系一目了然。

1. 在模7的平方数列表中观察到的对称性
2. 以7为模的示例

1. 声音
   观察依据

   主讲人说，后续结论大多针对奇素数 n。

1. 通常聚焦于奇素数模

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板上的定义始终可见。

1. 模 n 的二次剩余的定义

1. 公式
   观察依据

   左侧黑板包含了“否则”条款。

1. 模 n 的二次非剩余的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人将 2、4、6 排除在 $n = 8$ 的讨论之外，因为它们与 8 不互质。

1. 模 n 的二次剩余的定义
2. 在此基于定义的分类中，不得包含非互质的剩余类。

1. 公式
   观察依据

   右侧栏陈述了 $n = 7$ 时的结论。

1. 例题：模7的二次剩余
2. 模 7 的二次剩余

1. 公式
   观察依据

   右侧栏陈述了 $n = 7$ 时的二次非剩余结论。

1. 例题：模7的二次剩余
2. 模7的二次非剩余

1. 公式
   观察依据

   右栏指出，1是模8的唯一二次剩余。

1. 演算示例：模 8 的二次剩余
2. 模8下的唯一二次剩余

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，3、5和7是二次非剩余。

1. 演算示例：模 8 的二次剩余
2. 模8下的二次非剩余。