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正切函数图像 | 三角函数图像 | 三角学 | 可汗学院

Khan Academy · YouTube · 10:11

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视频中的要点

01本段目标：理解正切函数图像
02单位圆作为一种可视化工具
03标准位置的角

来自学习笔记

y = \tan \theta

本段目标：理解正切函数图像

选中时刻

引入目标：绘制 $y=\tan\theta$ 的图像

建议预备知识

正弦与余弦的单位圆定义
基本坐标系中的斜率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$
坐标轴上的弧度
单位圆基础
弧度与角度制
斜率即纵坐标变化量与横坐标变化量之比
正弦与余弦在特殊角处的取值
正弦与余弦的单位圆定义
弧度制的角度度量
基本的坐标系绘图
正切的定义为 $\sin\theta/\cos\theta$
垂直渐近线的概念
直线斜率的概念
在坐标轴上读取函数图像
熟悉弧度制
特殊直角三角形
象限符号约定
对三角函数比值的基本理解
对单位圆的认识

章节 · 时间参考

0:00引入目标：绘制 $y=\tan\theta$ 的图像
0:10绘制单位圆以辅助可视化
0:35以标准位置表示角 $\theta$
0:46标记单位圆上的点 $(\cos\theta,\sin\theta)$
1:05陈述 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
1:25将正切解释为斜率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$
1:43开始过渡到函数值表格
2:00准备：表格、单位圆和空白坐标系
2:03从水平射线出发计算 tan 0
2:13选取易于计算的角以推断图像形状
2:27由横纵坐标相等推出 $\tan (π/4)=1$
3:25引入 $\tan (-π/4)=-1$
4:00角 $-\pi/4$ 对应的单位圆坐标
4:18将 $\tan(-\pi/4)$ 计算为正弦除以余弦
4:31清理单位圆图示并完成表格
4:46建立 $\theta$ - $y$ 坐标系图像
4:58描出点 $(0,0)$ 、 $(\pi/4,1)$ 和 $(-\pi/4,-1)$
5:12为何正切函数图像不是一条直线
5:19当 $\theta\to\pi/2^{-}$ 趋近时的函数行为
5:53在 $\theta=\pi/2$ 处画出垂直渐近线
6:00准备环节：正切函数图像、表格与单位圆
6:13± $π/2$ 附近的斜率行为及中间分支
6:38垂直渐近线与主分支的完成
6:50继续越过 $π/2$ ：为什么下一个分支从下方开始
7:33以 $3π/4$ 作为下一个示例角度引入
8:00在单位圆上标出 $3π/4$
8:17利用45-45-90三角形求斜率1
8:40从 $3π/4$ 移动到π，再增加下一个 $π/4$
9:04趋近于 $3π/2$ 及正无穷大
9:20绘制正切分支，并以π弧度为周期重复
9:51画出渐近线并总结图像特征
10:00正切图像导引
10:07函数的周期性

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这段120秒的片段通过首先构建正切函数的单位圆解释来引入 $y=\tan\theta$ 的图像。屏幕左侧，讲师绘制坐标轴、单位圆，以及对应角 $\theta$ 的终边射线，将交点标记为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ ，并写出恒等式 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 。随后他解释：这一比值同样等于该射线的斜率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ，从而提供了一种理解正切值的几何方式。屏幕右侧已预先展示一个标有弧度的大坐标网格，专为后续绘制图像预留，但本片段中尚未绘制任何正切曲线。片段结束时，讲师清理图表，并开始列出不同角度的表格。这段时长为120秒的白板讲解，通过从单位圆出发构建小数值表，引出 $y = \tan θ$ 的图像绘制。主讲人将正切解释为终边射线的斜率，计算得 $\tan 0 = 0$ ，利用坐标相等及恒等式 $\sin θ / \cos θ$ 解释 $\tan (π/4) = 1$ ，并记录 $\tan (-π/4) = -1$ 。本片段中，右侧坐标网格始终保持空白。这段持续120秒的白板讲解，从单位圆坐标出发推导出 $\tan(-\pi/4)=-1$ ，填写一张正切值的小表格，描出 $y=\tan\theta$ 的前三个点，并通过说明 $\tan\theta$ 随 $\theta\to\pi/2^{-}$ 而无限增大，解释为何该图像不是一条直线，最终在 $\theta=\pi/2$ 处画出一条虚线垂直渐近线。这段时长为120秒的白板讲解，通过将单位圆中射线的斜率与正切曲线的形状相联系，来教授 $y = \tan θ$ 的图像。讲师首先完成介于 $θ = -π/2$ 与 $θ = π/2$ 两处垂直渐近线之间的主分支，并说明斜率在 $π/2$ 左侧趋近+ $\infty$ 、在-π/2右侧趋近-∞。随后他继续越过 $π/2$ ，指出射线在刚穿过渐近线后斜率极大且为负，因此图像跃至横轴下方的新分支并再次上升。结尾处，他引入示例角度 $3π/4$ ，并开始将其重写为 $π/2 + π/4$ ，但片段在此处结束，示例尚未完全展开。这段 119秒的白板讲解通过将正切值视为单位圆上终边射线的斜率，来阐释 $y = \tan θ$ 。讲解者推导出 $\tan (3π/4) = -1$ 来自第二象限的 $45-45-90$ 三角形，然后转向 $\tan (π) =0$ 以及下一个正单位斜率，在 θ-y 坐标系中描出对应点，并利用在 $3π/2$ 附近的无界性绘制垂直渐近线，并指出正切函数图像每 π 弧度重复一次。本视频片段介绍了正切函数的图像 $y = \tan \theta$ 。它以视觉方式呈现了被垂直渐近线分隔开的、具有特征性的重复分支。讲解者说明该函数是周期函数，即图像模式沿横轴向左右两个方向无限延续。

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章节

0:00引入目标：绘制

y=\tan\theta

的图像 0:10绘制单位圆以辅助可视化 0:35以标准位置表示角

\theta

0:46标记单位圆上的点

(\cos\theta,\sin\theta)

1:05陈述

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

1:25将正切解释为斜率

\frac{\Delta y}{\Delta x}

1:43开始过渡到函数值表格 2:00准备：表格、单位圆和空白坐标系 2:03从水平射线出发计算 tan 0 2:13选取易于计算的角以推断图像形状 2:27由横纵坐标相等推出

\tan (π/4)=1

3:25引入

\tan (-π/4)=-1

4:00角

-\pi/4

对应的单位圆坐标 4:18将

\tan(-\pi/4)

计算为正弦除以余弦 4:31清理单位圆图示并完成表格 4:46建立

\theta

y

坐标系图像 4:58描出点

(0,0)

、

(\pi/4,1)

和

(-\pi/4,-1)

5:12为何正切函数图像不是一条直线 5:19当

\theta\to\pi/2^{-}

趋近时的函数行为 5:53在

\theta=\pi/2

处画出垂直渐近线 6:00准备环节：正切函数图像、表格与单位圆 6:13±

π/2

附近的斜率行为及中间分支 6:38垂直渐近线与主分支的完成 6:50继续越过

π/2

：为什么下一个分支从下方开始 7:33以

3π/4

作为下一个示例角度引入 8:00在单位圆上标出

3π/4

8:17利用45-45-90三角形求斜率1 8:40从

3π/4

移动到π，再增加下一个

π/4

9:04趋近于

3π/2

及正无穷大 9:20绘制正切分支，并以π弧度为周期重复 9:51画出渐近线并总结图像特征 10:00正切图像导引 10:07函数的周期性

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

片段以函数名 $y=\tan\theta$ 书写在左上方开场，右侧则呈现一个大型空白坐标系。首要问题是：在实际描点之前，如何理解正切函数的图像。

为回答该问题，教师在左侧构建了一个小型单位圆示意图：青色坐标轴，圆心位于原点。这一辅助图示并非最终图像，而是一种几何工具，用于从角度读取正切值。

接着，一条黄色射线从原点出发，伸入第一象限；射线与正 $x$ 轴之间的夹角被标记为 $\theta$ 。此举使该角处于标准位置，从而其终边可与单位圆交于一个确定的点。

交点随后被标记为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。关键细节在于坐标的指定：横坐标为余弦值，纵坐标为正弦值。讲解者甚至口头纠正了最初的一处口误，强调该点并非 $(\sin\theta,\cos\theta)$ 。

在确认该点之后，课程写出商数恒等式 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 。在此单位圆背景下，这意味着正切值等于该点纵坐标与横坐标的比值，即 $y$ 坐标除以 $x$ 坐标。

教师进而补充斜率解释 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 。由于该射线起始于原点并经过点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ ，其纵增量与横增量之比（即斜率）恰好等于 $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 。这是本片段的核心概念桥梁：正切不仅可视为代数分式，更可直观理解为一条直线的斜率。

最后，所有额外标注被清除，同时在画面最左侧画出一条新的竖直线，作为表格的起始边界。讲解中的过渡语表明，下一阶段将列出若干角度 $\theta$ 并计算对应的正切值；但该表格本身在片段结束前并未填写。

本片段以三部分并排的白板布局开场：左侧为手写标题 $y=\tan\theta$ ，中间为两列表格（表头分别为 $\theta$ 和 $\tan\theta$ ），中央为单位圆，右侧为空白直角坐标系。其目的在于通过先收集若干可靠函数值，为绘制正切函数图像做好准备。

主讲人从最简单的输入 $\theta=0$ 开始。在单位圆上，对应的射线沿正 $x$ -轴方向延伸，因此当横坐标变化时，纵坐标无变化。依据正切的斜率解释，这给出 $\tan 0=0$ ，并将数对 $(0,0)$ 填入表格中。

接着，主讲人说明选取策略：选择正切值易于识别的角度，因为这些采样点有助于揭示 $y=\tan\theta$ 图像的整体形状。这一过程将基于单位圆的几何推理与后续将迁移到坐标系中的数值表格联系起来。

下一个例子是 $\theta=\frac{\pi}{4}$ ，口述为一个 45-度角。一条射线被画入第一象限，并勾勒出一个小直角三角形，以强调横纵方向的变化量相等。由于斜率等于纵变比横变，变化量相等意味着斜率为 $1$ ，故有 $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$ 。

主讲人进一步用代数方式验证同一结论，援引 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 。在 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 处，正弦值与余弦值相等，因此它们的商为 $1$ 。随后，表格中更新一行： $\left(\frac{\pi}{4},1\right)$ 。

最后，主讲人引入 $\theta=-\frac{\pi}{4}$ ，并在第四象限中沿正 $x$ -轴下方画出对应射线。表格中记录的数值为 $\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1$ 。视觉布置暗示该射线向右行进的同时向下倾斜，因而斜率为负；但口述解释在完全展开前即被截断。

本片段以一个单位圆开场，圆上已标出角 $-\pi/4$ ，且一张用于填写 $y=\tan\theta$ 的表格中已预先列出 $0\mapsto 0$ 和 $\pi/4\mapsto 1$ 。讲解者指出圆上对应的关键点：它的余弦值（即 $x$ 坐标）为 $\frac{\sqrt2}{2}$ ，而它的正弦值（即 $y$ 坐标）为 $-\frac{\sqrt2}{2}$ 。由此确立了正切运算所需的坐标输入。

依据定义 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ，视频将上述两个坐标代入，得到结果 $\tan(-\pi/4)=-1$ 。推理过程是：两者的绝对值相等但符号相反，因此其商为 $-1$ 。至此，表格中 $-\pi/4$ 所对应的空缺项已填入 $-1$ 。

在转向绘图之前，主讲人擦除了单位圆上的辅助作图标记，以便复用同一图示。此次清理不改变任何数值，仅是为了下一阶段做准备——将数值化的正切值转移到直角坐标系网格中。

右侧的坐标系被引入为函数 $y=\tan\theta$ 的图像，横轴标记为 $\theta$ ，纵轴标记为 $y$ 。讲解者随后直接根据表格绘制前三个已知点： $(0,0)$ 、 $(\pi/4,1)$ 和 $(-\pi/4,-1)$ 。这些点锚定了正切曲线的起始部分。

绘出这三个点后，视频立即提醒观众：不可据此断定该图像是直线。在当前粗略的观察阶段，这三点看似共线，但讲解者随即转向关注角度增大趋近于 $\pi/2$ 时的情形。在单位圆上，终边越来越接近竖直方向，因此其斜率变得越来越大且为正数。

在 $\theta=\pi/2$ 处，斜率无定义；但当 $\theta\to\pi/2^{-}$ 时， $\tan\theta$ 趋近于 $+\infty$ 。为在图像上表示这一行为，在 $\theta=\pi/2$ 处画出一条虚线竖直线，标识出正切函数的一条垂直渐近线。

屏幕被组织为 $y = \tan θ$ 的教学板：左侧是手写的标题、一个小型的 $θ / \tan θ$ 表格，以及一个青色单位圆和黄色射线；右侧是一个坐标平面，横轴为 θ，纵轴为 y。该布局旨在将几何角度信息转化为函数图像。

讲师通过追踪单位圆上射线的斜率来讲解中心分支。当角度从下方趋近 $π/2$ 时，射线在正方向上变得越来越陡峭，因此正切值无限增大；直观来看，红色曲线向上攀升，趋近于 $θ = π/2$ 处的虚线。

接着他提问：当角度趋近 -π/2 时会发生什么？在同样的斜率图示中，射线变为剧烈负向陡峭，因此正切值趋向 -∞；在图像上，该分支左端向下坠落，趋近于 $θ = -π/2$ 处的虚线。

在边界角度处，主讲人指出该函数“尚未定义”，并确认此处存在一条垂直渐近线。这将语言描述的极限行为转化为清晰的图形特征：正切函数的主分支被夹在两条垂直渐近线之间，并经过原点。

在完成 θ 轴上这一区间的讲解后，讲师指出图像可以继续延伸。关键在于：考虑刚越过 $π/2$ 的角度，而非止步于渐近线。

对于略大于 $π/2$ 的角度，其对应射线位于第二象限，其斜率为负，且绝对值极大。这解释了为何图像不会穿过渐近线向上延续；而是跳转至 x 轴下方的新分支，紧邻 $π/2$ 右侧。

随着 θ 在该新区间内进一步增大，斜率的负值逐渐减小（即变得不那么负），因此这条新分支随之上升。其视觉逻辑是：正切函数的每个新周期都重复相同模式——在一条渐近线附近无界增长，经历不连续重置，随后再次上升。

为用具体例子锚定下一个区间，讲师在第二象限标出一个角度，并将其命名为 $3π/4$ 。他首先通过将其改写为 $3π/4 = π/2 + π/4$ 来说明该角度位于渐近线之后四分之一圈处。

本片段在此例尚未完全展开时结束。截至目前所确立的数学要点，并非 $\tan (3π/4)$ 的最终数值结果，而是方法本身：利用单位圆上刚越过 $π/2$ 处的射线斜率，解释为何正切图像在较低分支重新开始，随后上升。

该片段以教师在单位圆上定位 $\frac{3\pi}{4}$ 开始：先将 $\frac{\pi}{2}$ 改写为 $\frac{2\pi}{4}$ ，再额外加上一个 $\frac{\pi}{4}$ 。可见的白板同时关联三种表征：一张包含 $\theta$ 和 $\tan\theta$ 的表格、一个标有黄色终边射线的单位圆，以及一幅 $y=\tan\theta$ 的网格坐标图。

接着他从几何角度解释该角的重要性：终边射线构成另一个 $45$ - $45$ - $90$ 三角形，因此水平距离与垂直距离的绝对值相等；又因该射线位于第二象限，故x方向距离为负、y方向距离为正。依据本片段对正切的斜率解释，这一符号模式得出 $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1$ ，与先前在 $-\frac{\pi}{4}$ 处观察到的斜率一致。

随后角度增大至 $\pi$ ，此时终边射线呈水平，斜率回归 $0$ ，从而得到 $\tan(\pi)=0$ ；再增加一个 $\frac{\pi}{4}$ ，即到达下一个特殊角，其视觉效果与 $\frac{5\pi}{4}$ 一致，此时斜率再次变为正的 $1$ 。这些数值被转化为右侧图像上的描点。

接下来讨论角度趋近于 $\frac{3\pi}{2}$ 时的情形。主讲人强调，斜率变得越来越正，并趋近于正无穷大。他解释道：x方向的微小变动对应y方向极大的向上变动，因此曲线在该边界附近急剧变陡。

依据上述变化规律，他在图像上绘制正切分支：曲线穿过已描出的点，并在位于 $\frac{3\pi}{2}$ 的竖直线旁急速上升。随后他指出，该模式每 $\pi$ 弧度重复一次，因此图像在长度为 $\pi$ 的相邻区间内以完全相同的分支延续。

最后，他在 $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍处画出虚线竖直渐近线，用以分隔各重复分支。结尾的视觉信息是：正切函数图像由单位圆上的斜率值构建而成，在函数无界处出现竖直渐近线，且以 $\pi$ 为周期作周期性重复。

视频展示了方程 $y = \tan \theta$ ，同时配有一个单位圆示意图和一张特定数值表。右侧的坐标平面上画出了正切函数的图像。该图像由多条经过原点 $(0,0)$ 并向上下无限延伸的曲线分支构成。

讲解者指出该函数具有周期性，即这些分支的图形以固定间隔重复出现。图像显示这些分支向左右两侧无限延伸，其间由垂直的虚线分隔；这些虚线代表函数无定义的渐近线。

知识卡片

本段目标：理解正切函数图像

该片段引入了熟悉函数 $y=\tan\theta$ 图像的问题。它并未立即开始描点作图，而是首先借助单位圆给出一种几何解释。右侧大型坐标系已为后续作图做好准备，但本片段中尚未绘制任何曲线。

y = \tan \theta

单位圆作为一种可视化工具

左侧绘制了一个小型坐标系和一个圆，代表单位圆。这种构图使得角度 $\theta$ 可以转化为平面上的一个点，从而支撑本视频其余部分所使用的正弦、余弦和正切的定义。

标准位置的角

角度 $\theta$ 以一条边落在正 $x$ 轴上、另一条边为从原点出发的一条射线的方式呈现。该射线与单位圆相交，将角度大小与一个特定的坐标点关联起来。

单位圆上点的坐标

终边射线与单位圆的交点标记为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。视频明确纠正了一个常见错误： $x$ 坐标是余弦值， $y$ 坐标是正弦值。

(\cos\theta,\ \sin\theta)

正切的商数恒等式

教师陈述并写出 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 。在单位圆图示中，这表示该点纵坐标的值与横坐标的值之比。视频未明确提及通常的限制条件 $\cos\theta\neq 0$ 。

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

正切作为终边射线的斜率

由于该射线起始于原点并经过点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ ，因此上述比值也可理解为斜率： $y$ 的变化量除以 $x$ 的变化量。这提供了一种直接的几何方式，用以理解当角度变化时正切值的大小与符号。

\tan\theta = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

过渡到列值表格

在确立正切的几何意义后，教师整理了图示，并在最左侧开始构建一张表格。预期的下一步是将若干角度 $\theta$ 与其对应的正切值进行比较，但本120秒视频中并未展示表格的具体内容。

单位圆上正切函数的斜率含义

本片段定义了全篇采用的工作解释：对于一个角 $\theta$ ， $\tan\theta$ 读作从单位圆原点出发的终边射线的斜率。水平射线的斜率为0，向上倾斜45度的射线斜率为1，向下倾斜45度的射线斜率为-1。

\tan\theta = \text{slope of the terminal ray}

为什么 $\tan 0 = 0$

当 $\theta=0$ 时，射线恰好落在正 $x$ 轴上。随着 $x$ 变化， $y$ 完全不发生变化，因此斜率为0。视频将此记录为表格的第一项。

\tan 0 = 0

绘制 $y = \tan θ$ 图像的策略

在绘制完整图像之前，主讲人选取了若干个正切值特别简单的角度。这些采样点被填入一张以 $\theta$ 为横坐标、 $\tan\theta$ 为纵坐标的表格中，旨在帮助推断空白坐标系中图像的大致形状。

为什么 $\tan (π/4) = 1$

在 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 处，单位圆上的点具有相等的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标。水平方向与垂直方向移动相同距离，意味着纵增量等于横增量，因此斜率为1。主讲人还指出，这对应一个45度的角。

\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1

利用 $\sin θ / \cos θ$ 验证正切值

视频陈述了恒等式 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ，并在 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 处应用该式。由于此处正弦值与余弦值相等，其商为1，与几何斜率论证结果一致。

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

对应 -π/4 的表格项

接着，主讲人考虑 $\theta=-\frac{\pi}{4}$ ，并将射线画入第四象限。表格明确记录其值为 $-1$ ，这与斜率大小与 $\frac{\pi}{4}$ 情形相同但方向向下的射线一致。口述的推理刚刚开始，但视频片段在此处结束，尚未完成。

\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1

角 $-\pi/4$ 在单位圆上的坐标

对于单位圆上所示的角 $-\pi/4$ ，其余弦值为 $x$ 坐标 $\frac{\sqrt2}{2}$ ，正弦值为 $y$ 坐标 $-\frac{\sqrt2}{2}$ 。本视频正是以这组精确坐标作为计算正切值的初始数据。

\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}

正切即正弦与余弦之比

一个角的正切值通过正弦与余弦的比值来计算。本片段中，该定义被应用于单位圆上的坐标，将几何信息转化为函数值。

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

$\tan(-\pi/4)$ 的值

将角 $-\pi/4$ 对应的坐标代入，得到商 $-1$ 。该值随后被填入表格中对应于 $\theta=-\pi/4$ 的条目。

\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1

开始绘制函数 $y=\tan\theta$ 的图像

图像设定为横轴 $\theta$ 、纵轴 $y$ 。首批绘制的点直接来自表格： $(0,0)$ 、 $(\pi/4,1)$ 和 $(-\pi/4,-1)$ 。

(0,0),\quad \left(\frac{\pi}{4},1\right),\quad \left(-\frac{\pi}{4},-1\right)

正切函数不是直线

尽管最初描出的点可能暗示线性变化趋势，但视频明确指出该图像并非一条直线。下一步是考察极限行为，而非将这些点连成一条看似由它们决定的直线。

以 $\theta\to\pi/2^{-}$ 为形式的增长

当角度从下方趋近于 $\pi/2$ 时，单位圆上的终边几乎变为竖直方向，因此其斜率趋于任意大的正值。这正是正切函数在 $\pi/2$ 附近无界增长的直观依据。

\theta\to\frac{\pi}{2}^{-}\implies \tan\theta\to +\infty

在 $\theta=\pi/2$ 处存在垂直渐近线

由于 $\tan\theta$ 在 $\pi/2$ 处无定义，且在趋近该点时趋于无穷大，因此图像在 $\theta=\pi/2$ 处用虚线标出一条垂直渐近线。

\theta=\frac{\pi}{2}

$y = \tan θ$ 的中心分支

在 $θ = -π/2$ 与 $θ = π/2$ 之间，图像绘制成一条经过原点的单调递增分支。教师从单位圆的斜率图示中得出这一形状：在 $π/2$ 附近，斜率趋于正无穷大；在 -π/2 附近，斜率趋于负无穷大。

y=\tan\theta

垂直渐近线位于 ± $π/2$

视频片段明确指出该函数在边界处“并未真正定义”，并用垂直虚线标出这些位置。这些渐近线将正切函数图像的一个分支与下一个分支分隔开来。

正切 θ 表示单位圆上某条射线的斜率

本课反复将 tan θ 解释为与正 x 轴成 θ 角的射线的斜率：更陡峭的正向射线对应更大的正值正切；更陡峭的负向射线对应绝对值很大的负值正切。

为何图像恰在 $π/2$ 之后向下跳跃

刚越过 $π/2$ 时，该射线进入第二象限，其斜率为负且绝对值极大。因此正切图像不会穿过该渐近线继续向上延伸，而是从 x 轴下方重新开始一个新的分支，并随 θ 增大而上升。

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 44

$y = \tan \theta$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左上方的手写标题/函数标签为 $y = \tan \theta$ 。
声音
观察依据
说话者表示他希望熟悉θ的正切函数图像。

符号

$y = \tan \theta$

含义

因变量 $y$ 是角度 $\theta$ 处正切函数的取值；该函数即为本节所要介绍其图像的函数。

适用范围

$\theta$ 是坐标系中以弧度为单位的一个角； $y$ 在 $\tan\theta$ 有定义。

$x$ -axis

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者说：“那么我们称这条为y轴，这是我x轴。”
图示
观察依据
左侧绘制了一对青绿色的垂直轴与水平轴，构成单位圆坐标系。

符号

$x$ -axis

含义

辅助单位圆图中的水平轴；它也对应于角度 $\theta$ 的正向初始边。

适用范围

辅助图中的实数轴。

$y$ -axis

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者在绘制单位圆示意图时，指出该垂直线为y轴。
图示
观察依据
左侧绘制了一条青绿色的垂直轴。

符号

$y$ -axis

含义

辅助单位圆图中的垂直轴；它提供圆上对应点的正弦坐标值。

适用范围

辅助图中的实数轴。

$\theta$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“如果我有一个角，一个角度为 theta 的角，其中一边是正 x 轴。”
图示
观察依据
一条从原点出发的黄色射线与正 $x$ 轴形成一个角，该角标记为 $\theta$ 。

符号

$\theta$

含义

从正 $x$ 轴到与单位圆相交的射线所测得的角。

适用范围

以弧度为单位的角度；本片段中所画示例位于第一象限。

$\cos\theta$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人更正自己，称 $x$ 坐标是 theta 的余弦值。
公式
观察依据
圆上的点标记为 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 。

符号

$\cos\theta$

含义

终边射线与单位圆交点的 $x$ 坐标。

适用范围

对于单位圆， $-1 \le \cos\theta \le 1$ ；此处显示为直角三角形的水平直角边。

$\sin\theta$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人称该处的 $y$ 坐标是 theta 的正弦值。
公式
观察依据
圆上的点标记为 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 。

符号

$\sin\theta$

含义

终边射线与单位圆交点的 $y$ 坐标。

适用范围

对于单位圆， $-1 \le \sin\theta \le 1$ ；此处显示为直角三角形的竖直直角边。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“我们知道，θ 的正切值等于 θ 的正弦值除以 θ 的余弦值。”
公式
观察依据
标题下方出现了手写的等式 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 。

符号

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

含义

正切定义为正弦除以余弦，等价于单位圆上该点的 $y$ 坐标与 $x$ 坐标的比值。

适用范围

当 $\cos\theta \neq 0$ 时成立；视频片段未明确说明被排除的角度。

$\Delta y$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人称这是 y 方向上的变化量。
公式
观察依据
手写的斜率表达式中，分子为 $\Delta y$ 。

符号

$\Delta y$

含义

从原点到单位圆上该点的纵坐标变化量；在此设定下，它等于 $\sin\theta$ 。

适用范围

图中展示的是第一象限射线的情形；一般而言，这是一种竖直方向的位移。

$\Delta x$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人称这是除以 x 方向上的变化量。
公式
观察依据
手写的斜率表达式中，分母为 $\Delta x$ 。

符号

$\Delta x$

含义

从原点到单位圆上该点的横坐标变化量；在此设定下，它等于 $\cos\theta$ 。

适用范围

图中展示的是第一象限射线的情形；一般而言，这是一种水平方向的位移。

$(\cos\theta, \sin\theta)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
交点标记为 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 。
声音
观察依据
说话者指出，射线与单位圆的交点坐标为（cos θ, sin θ）。

符号

$(\cos\theta, \sin\theta)$

含义

角 $\theta$ 的终边与单位圆交点的坐标。

适用范围

单位圆上的点 $x^2+y^2=1$ 。

$y = \tan \theta$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左上角手写标题为 $y = \tan θ$ 。
声音
观察依据
主讲人描述函数 y 等于 theta 的正切值所对应图像的形状。

符号

$y = \tan \theta$

含义

所绘制的函数，其在角度 θ 处的函数值为 theta 的正切值。

适用范围

θ 是以弧度为单位的角度；y 是对应的正切值。

$\theta$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
表格表头使用符号 θ。
声音
观察依据
主讲人在选取示例角度时反复说“若 theta 为……”。

符号

$\theta$

含义

用于计算正切函数值及在单位圆上画出射线的输入角度。

适用范围

本片段中展示的角度包括0、 $π/4$ 和 -π/4弧度。

知识点 · 30

目标：熟悉 $y=\tan\theta$ 的图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者说：“因此，我希望在本视频中帮助大家初步了解θ的正切函数图像。”
公式
观察依据
标题 $y = \tan \theta$ 写在左上方。

定义

解释

本片段通过将正切函数与单位圆关联起来（而非直接描点）来引入正切图像的理解任务。画面中明确呈现的目标函数是 $y=\tan\theta$ ，右侧的大坐标网格为后续作图做好准备。

公式

y = \tan \theta

适用条件

该片段属于导入部分。
本片段未明确说明定义域限制。

单位圆构图，用于直观呈现正切值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者表示将绘制一个单位圆，以便直观理解不同θ值对应的正切值。
图示
观察依据
左侧画出了青绿色坐标轴及一个以原点为圆心的圆。

定义

解释

教师绘制了一个辅助坐标系和一个以原点为圆心的圆，代表单位圆。该构图作为几何参照，用于通过坐标和斜率来解释 $\tan\theta$ 。

公式

适用条件

该圆被呈现为单位圆。
该绘图是主坐标网格旁的辅助示意图。

先修条目

目标：熟悉 $y=\tan\theta$ 的图像

角 $\theta$ 由正 $x$ 轴构成

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“如果我有一个角，一个角θ，其中一边是正x轴。”
图示
观察依据
一条黄色射线从原点出发，伸入第一象限，与正 $x$ -轴形成一个角。

定义

解释

角 $\theta$ 以标准位置表示：一边沿正 $x$ -轴，另一边是从原点出发的一条射线。本片段利用这条射线将角与单位圆上的某一点关联起来。

公式

适用条件

该角的一边是正 $x$ -轴。
另一边是从原点出发的一条射线。

先修条目

单位圆构图，用于直观呈现正切值

单位圆上的点的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人先口误，随后更正，指出该射线与单位圆交点的坐标为余弦θ，正弦θ。
公式
观察依据
该点被标记为 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 。

定义

解释

当角 $\theta$ 的终边与单位圆相交时，交点的横坐标为 $\cos\theta$ ，纵坐标为 $\sin\theta$ 。这是从角度度量通往坐标几何的桥梁，后续将用于正切函数。

公式

(\cos\theta,\ \sin\theta)

适用条件

该点位于单位圆上。
该角从正 $x$ 轴测量到终边射线。

先修条目

角 $\theta$ 由正 $x$ 轴构成

正切恒等式 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者指出，θ的正切值等于θ的正弦值除以θ的余弦值。
公式
观察依据
手写的等式 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 被展示出来。

公式

解释

该片段陈述了正切的商数恒等式。在单位圆图示中，这意味着正切值等于该点的 $y$ 坐标与其 $x$ 坐标的比值。

公式

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

适用条件

该恒等式用于单位圆上所示的角度 $\theta$ 。
该片段未明确提及限制条件 $\cos\theta\neq 0$ 。

先修条目

单位圆上的点的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$

正切值作为终边射线的斜率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者指出，用纵坐标除以横坐标本质上就是这条直线的斜率，即纵坐标的变化量除以横坐标的变化量。
公式
观察依据
手写的斜率表达式 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 被添加在正切恒等式下方。

方法

解释

因为该射线起始于原点并经过 $(\cos\theta,\sin\theta)$ ，所以比值 $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 也等于该射线的纵坐标变化量与横坐标变化量之比（即斜率）。这为理解 $\tan\theta$ 的大小和符号提供了一种几何视角。

公式

\tan\theta = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

适用条件

该直线／射线经过原点。
所指的点是单位圆与终边的交点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。
该片段未明确讨论横坐标变化量为零时正切无定义的情形。

先修条目

正切恒等式 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
单位圆上的点的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$

从几何解释过渡到数值列表

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“那么现在我们来列一张表格”，随后开始讨论若干个角度θ以及对应的tan θ值。
图示
观察依据
单位圆上的标注已被清理，并在画面最左侧新绘制了一条垂直的黄色直线，作为表格的起始边界。

待核验内容

截至该片段结束，表格的标题与内容均尚未显现。

方法

解释

在确立正切值既可由单位圆上坐标之比读出、也可理解为射线斜率之后，讲师清空板书空间并开始制作表格。预期的下一步是列出若干角度 $\theta$ ，并求出对应的 $\tan\theta$ 值。

公式

适用条件

这仅是该片段中制表步骤的开端。
在120秒之前，没有任何已完成的表格条目出现。

先修条目

正切值作为终边射线的斜率

正切被理解为终边射线的斜率。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人通过提问“该射线的斜率是多少？”来解释正切值。
图示
观察依据
每个选定的角度都用一条从单位圆原点出发的射线表示。

定义

解释

在此片段中，主讲人将 $\tan \theta$ 视为单位圆上与正x轴成角 $\theta$ 的射线的斜率。其推理是直观的：比较该射线在给定水平位移下对应的垂直上升量。

公式

\tan \theta = \text{slope of the ray at angle } \theta

适用条件

θ 从正x轴开始度量。
该射线绘制在单位圆示意图中。

先修条目

利用单位圆上的射线求正切值。

利用单位圆上的射线求正切值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
图中显示一个青色单位圆，并标出x轴和y轴；同时从原点出发，用黄色射线标出若干选定角度。
声音
观察依据
主讲人在讨论该射线斜率时，手指指向该射线。

方法

解释

所展示的方法是：选取便于计算的角度，在单位圆上画出对应的终边射线，并根据该射线的斜率，或依据坐标变化量的相等关系，读出正切值。

公式

适用条件

已提供一个单位圆。
所选角度应具有易于识别的坐标或斜率。

先修条目

正切被理解为终边射线的斜率。

绘图前先构建函数取值表

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左侧构建了一个标有 θ 和 tan θ 的两列表格。
声音
观察依据
主讲人表示，这些数值将帮助我们思考 $y = \tan θ$ 图像的形状。

方法

解释

在绘制完整图像之前，视频中先将若干输入-输出对记录在表格中。这一步把单位圆上的几何信息转化为数值点，以便后续映射到坐标网格上。

公式

适用条件

当目标是通过若干选取的数值推断函数图像的整体形状时，此方法十分有用。

先修条目

正切被理解为终边射线的斜率。
利用单位圆上的射线求正切值。

0 弧度处的正切值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说，如果θ为零弧度，那么斜率为零，因为当x变化时，y完全不发生变化。
公式
观察依据
表格第一行记录 $θ = 0$ ， $\tan θ = 0$ 。

公式

解释

在 $\theta=0$ 处，终边落在正 x 轴上，因此当横坐标变化时，纵坐标无变化，故该射线的斜率（即正切值）为 0。

公式

\tan 0 = 0

适用条件

$θ = 0$ 弧度。

先修条目

正切被理解为终边射线的斜率。

$π/4$ 弧度处的正切值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，当角度为四分之π弧度时，x 坐标与 y 坐标相等，因此这条射线的斜率为 1。
公式
观察依据
表格中记录 $θ = π/4$ ， $\tan θ = 1$ 。

公式

解释

对于 $\theta=\frac{\pi}{4}$ ，单位圆上的点横纵坐标相等，因此水平与垂直方向移动相同距离所得斜率为 1。讲解者还指出 $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$ 相同，故其比值为 1。

公式

\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1

适用条件

$θ = π/4$ 弧度。
等价地说，正弦值与余弦值相等且非零。

先修条目

正切被理解为终边射线的斜率。
正切即正弦除以余弦

定理与条件 · 16

正切的商数恒等式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，θ 的正切值等于 θ 的正弦值除以 θ 的余弦值。
公式
观察依据
屏幕上写出方程 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 。

待核验内容

本片段中，视频未明确陈述条件 $\cos\theta\neq 0$ 。

命题

对于单位圆上所示的角度 $\theta$ ，有 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 。

前提

$\theta$ 是单位圆上一个标准位置的角。
由 $\theta$ 在单位圆上确定的点的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。
本片段未说明商式有定义所需的通常条件 $\cos\theta\neq 0$ 。

量词

该表述针对正在讨论的角度 $\theta$ ；本片段中未口头给出全称量词。

正切值等于终边射线的斜率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说，y 坐标除以 x 坐标本质上就是这条直线的斜率，即 y 的变化量除以 x 的变化量。
公式
观察依据
斜率表达式 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 与正切恒等式并列写出。

待核验内容

口述时使用了“这条直线”一词，而图中所画的是从原点出发的一条射线；其数学含义是指终边的斜率。

命题

在单位圆设定中， $\tan\theta$ 是从原点出发并经过点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 的射线的斜率，即 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 。

前提

该射线起始于原点。
它与单位圆相交于点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。
斜率的计算方式是 $y$ 的变化量除以 $x$ 的变化量。

量词

本例针对角度 $\theta$ 及其对应的射线进行展示。

水平射线的斜率为0。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，若θ为零弧度，则斜率为零，因为x变化时，y完全不发生变化。
图示
观察依据
$θ = 0$ 对应的射线沿正x轴方向延伸。

命题

若θ的终边射线沿正x轴方向，则其斜率为0，因此 $\tan \theta = 0$ 。

前提

$θ = 0$ 弧度。
该射线从原点出发，沿正x方向画出。

量词

针对视频片段中所示的特定角度 $θ = 0$ 。

正弦值与余弦值相等意味着正切值为1。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，你的x坐标与y坐标相同……因此这条射线的斜率将等于1。
声音
观察依据
他进一步说明，θ的正弦值除以θ的余弦值是同一数值，因此得到1。

命题

当单位圆上的 x 坐标与 y 坐标相等且不为零时，该射线的斜率为1，等价于 $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=1$ ，因此 $\tan \theta=1$ 。

前提

该点位于单位圆上。
x 坐标等于 y 坐标。
对应的余弦值不为零。

量词

视频片段中将此结论应用于 $θ = π/4$ 。

记录了 -π/4 处的正切值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左侧表格明显包含一行： $θ = -π/4$ ， $\tan θ = -1$ 。
图示
观察依据
为负角绘制了第四象限的射线。

待核验内容

口述的推理过程被截断而未完成，但书面结果清晰明确。

命题

视频片段中记录了 $\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1$ 。

前提

$θ = -π/4$ 弧度。

量词

针对表格中所示的具体角度。

$\tan\theta$ 在 $\theta\to\pi/2^-$ 处的行为

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在01:19.000处，主讲人提问：当角度越来越接近 $\pi/2$ 时，会发生什么？
声音
观察依据
在01:35.000处，主讲人说射线正越来越趋近于竖直方向。
声音
观察依据
在01:40.000处，主讲人说其斜率变得越来越大、越来越正。
声音
观察依据
在01:44.000处，主讲人说在 $\pi/2$ 处斜率无定义，但正趋近于无穷大。

命题

当 $\theta$ 从下方趋近于 $\pi/2$ 时，正切值无限增大，因此图像在 $\theta=\pi/2$ 处有一条垂直渐近线。

前提

$\theta$ 以弧度为单位。
该趋近过程来自小于 $\pi/2$ 的数值。

量词

当 $\theta$ 从左侧趋近于 $\pi/2$ 时。

正切函数图像在 $\theta=\pi/2$ 处的垂直渐近线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在 01：53.000 the speaker says, "So as you get closer 且 closer to pi over two ... I'm going to draw essentially a vertical asymptote right over here at pi over two".
图示
观察依据
在右侧图像中，于 $\theta=\pi/2$ 处画出一条虚线垂直线。

命题

$y=\tan\theta$ 的图像在 $\theta=\pi/2$ 处有一条垂直渐近线。

前提

绘制 $y=\tan\theta$ 的图像。
以弧度表示的角度。

量词

本片段中所示的具体值 $\theta=\pi/2$ 。

正切函数在所标渐近线位置处无定义。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在00:00:38-00:00:42处，说话者说：“因此，再次强调，该点处函数并未定义，此处存在一条垂直渐近线。”

待核验内容

该片段指出所标位置处函数未定义，但本段摘录中未给出形式化的代数证明。

命题

在当前讨论的边界角处，正切函数图像无定义，且曲线在该处具有垂直渐近线。

前提

该角度即图中所示的边界位置，靠近 -π/2 或 $π/2$ 。
该图像通过片段中所用的单位圆斜率图示法进行解读。

量词

关于片段中正在讨论的特定边界角的局部性陈述。

当 θ 从左侧趋近 $π/2$ 时，函数值趋近 + $\infty$ 。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在00:00:13-00:00:18处，说话者称斜率越来越接近 $π/2$ ，并越来越趋近于无穷大。
图示
观察依据
中央红色分支急剧上升，趋近于直线 $θ = π/2$ 处的虚线。

待核验内容

该片段以口头描述与视觉呈现方式表达该概念，而非书写极限记号。

命题

当角度从下方趋近 $π/2$ 时，对应射线的斜率（即正切值）正向无限增大。

前提

θ 趋近于 $π/2$ 从小于 π/ 的值趋近2。
正切值在单位圆图示中对应射线的斜率。

量词

在 $π/2$ 附近的单侧极限行为。

当 θ 从右侧趋近于 -π/2 时，函数值趋近于 -∞。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在 00:00:18-00:00:36 处，主讲人提问：当角度越来越接近负 $π/2$ 时会发生什么？并回答：斜率趋近于负无穷大。
图示
观察依据
中央的红色分支急剧下降，趋近于 $θ = -π/2$ 处的虚线。

待核验内容

该片段通过口头表述和视觉呈现来传达概念，而非书写极限记号。

命题

当角度从上方趋近于 -π/2 时，对应射线的斜率变得越来越负，且无下界。

前提

θ 趋近于 -π/2 从大于 -π/ 的值趋近2。
正切值在单位圆图示中对应射线的斜率。

量词

在 -π/2 附近的单侧极限行为。

在 $π/2$ 之后立即，正切函数图像从极负的数值重新开始。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在 00:01:02-00:01:15 处，主讲人指出：刚越过 $π/2$ 后，斜率就变得极大且为负。
声音
观察依据
在00:01:19-00:01:24处，说话者指出图像在此处骤然回落，并再次变得极大负值。
图示
观察依据
在 $π/2$ 处的垂直渐近线右侧紧邻位置，x轴下方开启了一条新分支。

待核验内容

该片段在结束前未完成推导出完整的下一条分支。

命题

当角度刚越过 $π/2$ 时，对应的斜率是一个绝对值很大的负数，因此正切函数图像跌落到x轴下方的新分支上，随后随着θ增大而上升。

前提

θ略大于 $π/2$ 。
此处延续了上一分支所采用的单位圆斜率解释法。

量词

关于略大于 $π/2$ 的角度的局部描述。

$3π/4$ 处的正切值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者说：“因此，在三点四分之π处，斜率为负一。”
公式
观察依据
表格中已列出 -π/4 对应的正切值 $\tan θ = -1$ ，说话者将 $3π/4$ 与该斜率作比较。

命题

对应的式子为： $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1$ 。

前提

θ 以弧度为单位进行度量。
角 $3π/4$ 位于单位圆上。
正切值被解释为终边射线的斜率。

量词

对于特定角度 $θ = 3π/4$ 。

推导与证明 · 10

从单位圆推导正切的斜率解释

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者依次从点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 移动到点 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ，再引出斜率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 。
公式
观察依据
屏幕上依次显示 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 、 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 、 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 。

直观解释

步骤

公式
$(\cos\theta,\ \sin\theta)$
解释
角度 $\theta$ 的终边射线与单位圆相交于一点，该点的坐标为余弦θ和正弦θ。
步骤依据
讲解者陈述单位圆对正弦与余弦的定义。
视频直接表达
公式
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
解释
正切被重写为该点的 $y$ 坐标与其 $x$ 坐标的比值。
步骤依据
正切函数的商数恒等式，在视频片段中以书写和口述两种方式呈现。
视频直接表达
公式
$\frac{\Delta y}{\Delta x}$
解释
因为射线起始于原点，所以该坐标比值也等于该射线的纵坐标变化量与横坐标变化量之比（即‘纵升/横跑’）。
步骤依据
斜率的定义为 $y$ 的变化量除以 $x$ 的变化量，通过口头讲解并在屏幕上写出。
视频直接表达

结论

该视频片段将三种等价观点联系起来：单位圆上的坐标、正切函数的商数恒等式，以及终边射线的斜率。

从单位圆上的斜率推导示例正切值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人通过反复询问射线的斜率来计算正切值。
图示
观察依据
在单位圆上，针对若干选定的角度，画出了射线及相应的小直角三角形。

视觉说明

步骤

公式
解释
选取一个角度 θ，并从单位圆原点出发画出其终边射线。
步骤依据
这是左侧图示所展示的设定。
视频直接表达
公式
解释
读取该射线在竖直方向上的变化量相对于水平方向上的变化量，即其斜率。
步骤依据
主讲人明确将正切解释为该射线的斜率。
视频直接表达
公式
$\tan 0 = 0$
解释
当 $θ = 0$ 时，射线呈水平方向，因此当 x 变化时 y 不发生变化。
步骤依据
音频中直接陈述，并由所画射线予以印证。
视频直接表达
公式
$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$
解释
当 $θ = π/4$ 时，x 坐标与 y 坐标相等，因此纵坐标变化量等于横坐标变化量，斜率为 1。
步骤依据
通过坐标相等及恒等式 $\sin θ / \cos θ$ 进行口头解释。
视频直接表达
公式
$\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1$
解释
当 $θ = -π/4$ 时，射线向右延伸的同时向下倾斜，因而斜率为负，其绝对值为 1。
步骤依据
表格条目被明确写出；口头解释刚开始，但视频片段在此前结束，未能完整呈现。
视频直接表达

结论

视频中列出的样本值为 $\tan 0 = 0$ 、 $\tan(\pi/4)=1$ 和 $\tan(-\pi/4)=-1$ 。

利用 $\sin /\cos$ 验证 $π/4$ 处的正切值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说 theta 的正切值将等于1，或等于 theta 的正弦值除以余弦值，二者等价，因此你将得到1。

直观解释

步骤

公式
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
解释
将正切函数重写为正弦与余弦的商。
步骤依据
该恒等式由主讲人口头陈述。
视频直接表达
公式
解释
在 $θ = π/4$ 处，正弦值与余弦值相等。
步骤依据
主讲人指出 x 坐标与 y 坐标相同，并提到二者均为 √ $2/2$ 。
视频直接表达
公式
$\frac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = 1$
解释
相等的非零量相除结果为1。
步骤依据
分子与分母相等所直接导致的算术结果。
依据视频推导

结论

这在不单依赖直观斜率论证的前提下，验证了 $\tan(\pi/4)=1$ 。

由单位圆上的坐标推导 $\tan(-\pi/4)=-1$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在00:00.000处，说话者指出该角的正弦值与余弦值互为相反数。
声音
观察依据
在00:04.000处，说话者给出余弦值为 $\sqrt{2}/2$ ；在00:10.000处，给出 $y$ -坐标为 $-\sqrt{2}/2$ 。
声音
观察依据
在00:18.000处，说话者将正切值计算为正弦除以余弦，并得到结果 $-1$ 。

直观解释

步骤

公式
$\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
解释
由该角对应的单位圆上的点可知， $x$ -坐标为正的 $\sqrt{2}/2$ ，而 $y$ -坐标为负的 $\sqrt{2}/2$ 。
步骤依据
在音频中00:04.000–00:17.000时段直接陈述。
视频直接表达
公式
$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
解释
正切值由正弦与余弦的比值构成。
步骤依据
在音频00:18.000–00:23.000时段陈述。
视频直接表达
公式
$\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1$
解释
代入两个坐标后，得到商为 $-1$ 。
步骤依据
对屏幕上显示的比值进行代数化简；最终结果也在00:45.000时刻填入表格。
依据视频推导

结论

角 $-\pi/4$ 的正切值为 $-1$ 。

解释在 $\theta=\pi/2$ 处的竖直渐近线。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在01:19.000处，说话者提问：当角度趋近于 $\pi/2$ 时，会发生什么？
声音
观察依据
在01:35.000处，说话者指出射线趋近于竖直方向。
声音
观察依据
在01:40.000处，说话者指出斜率变得越来越大且为正。
声音
观察依据
在01:44.000处，说话者指出在 $\pi/2$ 处的斜率无定义，但趋近于无穷大。
图示
观察依据
在01:53.000–02:00.000期间，在 $\theta=\pi/2$ 处画出一条虚线竖直渐近线。

视觉说明

步骤

公式
$\theta\to\frac{\pi}{2}^{-}$
解释
角度从较小的值逐渐增大，趋近于 $\pi/2$ 。
步骤依据
音频中自01:19.000起开始说明。
视频直接表达
公式
$\text{ray becomes more nearly vertical}$
解释
在单位圆上，终边射线趋近于竖直方向。
步骤依据
音频中在01:35.000–01:40.000处说明。
视频直接表达
公式
$\tan\theta=\text{slope of the ray}\to +\infty$
解释
由于正切值被理解为终边射线的斜率，当射线趋近竖直时，斜率将无限增大。
步骤依据
音频中在01:40.000–01:52.000处说明。
视频直接表达
公式
$\theta=\frac{\pi}{2}\ \text{is a vertical asymptote}$
解释
这种无界增长在图像上表现为在 $\pi/2$ 处的一条虚线竖直线。
步骤依据
在音频01:53.000-02:00.000处绘制并描述。
视频直接表达

结论

正切函数图像在 $\theta=\pi/2$ 处出现垂直渐近线，因为对应的射线变为竖直方向，其斜率趋于无穷大。

依据射线斜率行为推导中心正切分支的形状。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在00:00:02-00:00:18处，说话者解释了在 $π/2$ 附近趋近于正无穷的现象。
声音
观察依据
在00:00:18-00:00:36处，说话者解释了在-π/2附近趋近于负无穷的现象。
图示
观察依据
红色曲线绘制在两条虚线渐近线之间，并经过原点。

直观解释

步骤

公式
解释
从单位圆图像出发：从原点出发的一条射线表示角度 θ，本课将 tan θ 视为该射线的斜率。
步骤依据
在00:00:13-00:00:18处音频中明确指出，并由左侧图示支持。
视频直接表达
公式
解释
当 θ 趋近于 $π/2$ 时，射线在正方向上变得越来越陡峭，因此斜率趋于 + $\infty$ 。
步骤依据
说话人在00:00:13-00:00:18处直接陈述，并由红色分支右端上升趋势显示。
视频直接表达
公式
解释
当 θ 趋近于 -π/2时，射线在负方向上变得越来越陡峭，因此斜率趋于 -∞。
步骤依据
说话人在00:00:18-00:00:36处直接陈述，并由红色分支左端下降趋势显示。
视频直接表达
公式
解释
因此，在 -π/2 与 $π/2$ 之间的区间上，图像是一条单调递增的分支，经过原点，且两端均以垂直渐近线为界。
步骤依据
这是从前述关于斜率的描述及所绘制曲线中得出的直观结论。
依据视频推导

结论

$y = \tan θ$ 的中心分支，是将 ± $π/2$ 附近无界的正、负斜率行为，转化为在这些角度处具有垂直渐近线的图像。

为何图像恰好在 $π/2$ 之后从横轴下方重新开始

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在00:00:51-00:01:01处，说话人指出图像可继续延伸至当前显示范围之外。
声音
观察依据
在00:01:02-00:01:15处，说话人分析刚越过 $π/2$ 后的角度，并称其斜率是极大的负数。
声音
观察依据
在00:01:19-00:01:24处，说话人指出图像再次向下跳跃，斜率又一次变为极大的负数。
图示
观察依据
一条新的红色分支在渐近线 $π/2$ 右侧、横轴下方开始。

待核验内容

推导过程在片段结束前仅完成了一部分。

直观解释

步骤

公式
解释
考虑单位圆上一个略大于 $π/2$ 的角。
步骤依据
由主讲人在 00:01:02-00:01:09 处明确引入。
视频直接表达
公式
解释
此时对应的射线指向第二象限，其斜率为负，且绝对值非常大。
步骤依据
主讲人在 00:01:10-00:01:18 处将其表述为“极大负数”。
视频直接表达
公式
解释
因此，正切图像不会向上穿过渐近线继续延伸；而是重新出现在横轴下方很远处的一条新分支上。
步骤依据
主讲人在 00:01:19-00:01:24 处作出该陈述，并通过新绘制的下方分支加以展示。
视频直接表达
公式
解释
当 θ 持续增大并超过 $π/2$ 时，斜率的负值逐渐减小，因此这条新分支随之上升。
步骤依据
主讲人在 00:01:24-00:01:33 处作出该陈述。
视频直接表达

结论

在 $π/2$ 之后立即，正切图像跃至一条新分支，该分支起始于极负的数值，随后随角度增大而上升。

利用单位圆几何推导 $\tan (3π/4)$ 。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者推导出 $3π/4$ 从 $π/2$ 加上 $π/4$ 然后解释象限符号。
图示
观察依据
单位圆上显示了一条位于第二象限的射线，并手写标注为 $3π/4$ 。

直观解释

步骤

公式
$\frac{2\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$
解释
主讲人将 $π/2$ 改写为 $2π/4$ ，再加一个 $π/4$ ，从而确定角度为 $3π/4$ 。
步骤依据
弧度制下的算术运算。
视频直接表达
公式
$45^\circ\text{-}45^\circ\text{-}90^\circ\text{ triangle}$
解释
他指出该角构成另一个 45-45-90 三角形，因此水平距离与垂直距离的绝对值相等。
步骤依据
单位圆上的特殊直角三角形几何。
视频直接表达
公式
$x<0,\ y>0$
解释
由于终边落在第二象限，x 方向的距离为负，y 方向的距离为正。
步骤依据
坐标平面上各象限的符号约定。
视频直接表达
公式
$\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1$
解释
绝对值相等但符号相反，所得比值为 -1，这与之前在 -π/4 处观察到的斜率一致。
步骤依据
正切被理解为终边射线的斜率，即纵坐标变化量除以横坐标变化量。
视频直接表达

结论

视频得出结论：在 $3π/4$ 处的正切值为-1。

将正切图像从 $3π/4$ 经π延伸至下一个特殊角。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者从 $3π/4$ 移动到π，再继续移动 $π/4$ ，指出斜率先回到0，再变为正的1。
图示
观察依据
图像上标出了两个点： $θ = π$ 处， $y = 0$ ；以及靠近 $θ = 5π/4$ 处， $y = 1$ 。

待核验内容

精确的符号标记 $5π/4$ 并未单独出现在可见画面中，但口述的增量和所绘制的点均支持该值。

视觉说明

步骤

公式
$\theta=\frac{3\pi}{4},\ \tan\theta=-1$
解释
从刚刚推导出的点出发，图像具有负的单位斜率值。
步骤依据
视频片段中此前的推导。
视频直接表达
公式
$\theta=\pi,\ \tan\theta=0$
解释
当角度增大至π时，终边射线呈水平方向，斜率回归零。
步骤依据
终边射线在单位圆上的几何位置。
视频直接表达
公式
$\theta=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4},\ \tan\theta=1$
解释
再增加 $π/4$ ，射线进入第三象限，此时横、纵坐标的改变量符号相同，从而恢复为正的单位斜率。
步骤依据
单位圆的对称性及正切的斜率解释。
依据视频推导

结论

所绘制的正切值从 -1 在 $3π/4$ 到 0 在 π，然后到 1 在 $5π/4$ 。

从无界增长到周期性重复及渐近线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者指出斜率在 $3π/2$ 附近趋近于正无穷大，随后说明该模式每π弧度重复一次，并画出渐近线。
图示
观察依据
一条陡峭的分支上升趋向于 $3π/2$ 处的一条虚线竖直线，类似分支也在其他长度为π的区间内被画出。

视觉说明

步骤

公式
$\theta\to\frac{3\pi}{2}^- \Rightarrow \tan\theta\to+\infty$
解释
在 $3π/2$ 附近，x的微小变动对应y方向极大的向上变动，因此正切值无界增长。
步骤依据
对斜率变陡及曲线可见行为的口述描述。
视频直接表达
公式
$\theta=\frac{3\pi}{2}\text{ is drawn as a dashed vertical asymptote}$
解释
该角度处的图像被一条虚线竖直线分隔开。
步骤依据
视频片段中的可视化构造过程。
视频直接表达
公式
$\text{repeat every }\pi\text{ radians}$
解释
相同的分支形状随后在相邻的长度为π的区间内重复出现。
步骤依据
明确的口述周期性声明，辅以重复绘图。
视频直接表达

结论

该片段利用 $3π/2$ 附近的无界行为，来论证绘制竖直渐近线以及每π弧度重复一次正切图像的合理性。

例题详解 · 4

示例：选取便于作图的角来绘制 $y = \tan θ$ 的图像。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左侧表格逐行累加了 (0,0)、( $π/4$ ,1) 和 (-π/4,-1)。
声音
观察依据
主讲人表示，他选取的数值非常便于我们思考，且有助于勾勒出函数图像的形状。

待核验内容

对于 -π/4 这一情况的最终口头解释不完整，因为视频片段在句子中途结束。

题目

选取合适的角，利用单位圆确定它们的正切值，并将结果填入表格，为绘制 $y = \tan θ$ 的图像做准备。

已知条件

配有单位圆示意图。
目标函数是 $y = \tan θ$ 。
所选角度为 0、 $π/4$ 和 -π/4。

目标

计算并列表整理对应的正切值。

步骤

公式
$\theta = 0 \Rightarrow \tan \theta = 0$
解释
位于 0 弧度处的射线是水平的，因此其斜率为 0。
步骤依据
该结论直接出现在音频讲解中，并写入了表格。
视频直接表达
公式
$\theta = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \tan \theta = 1$
解释
在 $π/4$ 处，坐标相等，因此纵坐标变化量等于横坐标变化量，斜率为 1。
步骤依据
该结论既借助单位圆图示说明，也通过 $\sin θ / \cos θ$ 的比值关系加以解释。
视频直接表达
公式
$\theta = -\frac{\pi}{4} \Rightarrow \tan \theta = -1$
解释
在 -π/4 处，射线指向第四象限，斜率为负，其绝对值为 1。
步骤依据
结果已填入表格；口述的推理过程开始但被截断。
视频直接表达

结果

该表格包含 $(0,0)$ 、 $(\frac{\pi}{4},1)$ 和 $(-\frac{\pi}{4},-1)$ 。

检验

每一项均与单位圆上所画射线的方向，以及本片段全程采用的基于斜率的解释相吻合。

根据表格描出正切函数的初始值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
截至00:45.000，表格中已包含 $-\pi/4\mapsto -1$ 、 $0\mapsto 0$ 和 $\pi/4\mapsto 1$ 。
声音
观察依据
在00:46.000处，说话人说：“我们先来描出其中几个点。”
图示
观察依据
在00:58.000至01:11.000之间，右侧图像上描出了三个对应点。

题目

利用表格中已知的正切值，开始绘制 $y=\tan\theta$ 。

已知条件

对应的式子为： $\tan(-\pi/4)=-1$
对应的式子为： $\tan(0)=0$
对应的式子为： $\tan(\pi/4)=1$
横轴为 $\theta$ ，纵轴为 $y$ 。

目标

将正切函数图像的起始点标在坐标网格上。

步骤

公式
$(-\frac{\pi}{4},-1)$
解释
描出正切值为负 $\pi/4$ 所对应的点。
步骤依据
由表格给出，并在音频中于01:07.000处说明。
视频直接表达
公式
$(0,0)$
解释
描出正切值为零所对应的原点。
步骤依据
由表格给出，并在音频中于00:58.000处说明。
视频直接表达
公式
$(\frac{\pi}{4},1)$
解释
描出正切值为 $\pi/4$ 所对应的点。
步骤依据
由表格给出，并在音频中于01:03.000处说明。
视频直接表达

结果

该图像起始于三个点： $(-\pi/4,-1)$ 、 $(0,0)$ 和 $(\pi/4,1)$ 。

检验

这些点与截至00:45.000可见的已完成表格条目，以及截至01:11.000可见的已描标记相吻合。

将 $3π/4$ 作为下一个示例角引入。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在00:01:33-00:01:52处，主讲人引入一个角，并说：“我们假设这个角是 $3π/4$ 。”
声音
观察依据
在00:01:53-00:01:59处，主讲人开始解释为何选择 $3π/4$ ：“因为那是 $π/2$ 加上 $π/4$ 。”
公式
观察依据
手写体 $3π/4$ 出现在视频末尾表格附近。

待核验内容

该例仅被初步展开；本片段中未展示 $3π/4$ 对应的最终正切值或完整的图像点。

题目

选取一个略大于 $π/2$ 的样例角，以继续讲解正切图像的下一分支。

已知条件

当前讨论聚焦于刚越过 $π/2$ 的角。
主讲人选定了角 $3π/4$ 。

目标

用 $3π/4$ 来说明正切图像在渐近线之后下一个区间内的行为。

步骤

公式
解释
主讲人首先指出，图像可继续延伸至中心区段之外。
步骤依据
音频位于00:00:51-00:01:01处。
视频直接表达
公式
解释
接着，他考虑一个刚越过 $π/2$ 的角，并观察到其斜率是极大的负数。
步骤依据
音频时间点为00:01:02至00:01:18。
视频直接表达
公式
解释
为使下一个例子具体化，他将该角命名为 $3π/4$ 。
步骤依据
音频时间点为00:01:47至00:01:52，且在末尾附近手写标注了 $3π/4$ 。
视频直接表达
公式
$\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}$
解释
他通过将 $3π/4$ 重写为 $π/2$ 加 $π/4$ ，开始说明该选择的理由。
步骤依据
音频时间点为00:01:53至00:01:59。
视频直接表达

结果

该片段将 $3π/4$ 确定为下一个示例角度，并开始将其解释为 $π/2$ ＋ $π/4$ ，但推导出的结果未在所提供的时间段内完成。

检验

本节选中未显示对 $3π/4$ 的完整数值验证或最终绘出的函数值。

绘制从 $3π/4$ 到下一个特殊角的正切值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者标出角度 $3π/4$ 、π及下一个 $π/4$ 增量，并陈述它们对应的斜率。
图示
观察依据
右图上在点（ $3π/4$ , -1）、（π, 0）以及近似点（ $5π/4$ , 1）处添加了红色点。

待核验内容

第三个绘出的角度在视觉上与 $5π/4$ 一致，但屏幕上未单独标出其确切数值。

题目

利用单位圆中斜率的思想，在 $π/2$ 之后的图像上标出若干个 $y = \tan θ$ 的点。

已知条件

表格中已包含（-π/4, -1）、（0, 0）和（ $π/4$ , 1）这三个点。
主讲人指出 $3π/4$ 加上 $π/4$ 到 $π/2$ 。
正切被理解为终边射线的斜率。

目标

求出并标出角度为 $3π/4$ 、π以及下一个 $π/4$ 增量处的正切值。

步骤

公式
$\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1$
解释
第二象限的45-45-90构型导致x为负、y为正且绝对值相等，因此斜率为-1。
步骤依据
单位圆几何性质与象限符号。
视频直接表达
公式
$(\frac{3\pi}{4},-1)$
解释
该有序数对被绘制在θ-y坐标系中。
步骤依据
从角度及其正切值直接转换为图像上的坐标。
视频直接表达
公式
$\tan(\pi)=0$
解释
在 π 处，终边是水平的，因此斜率回到零。
步骤依据
单位圆上的几何位置。
视频直接表达
公式
$(\pi,0)$
解释
$θ = π$ 处的点绘制在横轴上。
步骤依据
绘制所计算出的正切值。
视频直接表达
公式
$\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)=1$
解释
再增加 $π/4$ 后，斜率再次为正一。
步骤依据
单位圆模式的口述延续以及可见的已绘制点。
依据视频推导

结果

该示例生成了已绘制的点 ( $3π/4$ ,-1)、(π,0) 和近似点 ( $5π/4$ ,1)。

检验

所绘制的红色点与口述的斜率值一致，并与 θ 轴和 y 轴上的网格标签对齐。

图示与动画 · 21

为绘制正切函数准备好的图像环境

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一个大型白色坐标网格占据屏幕右半部分，x轴刻度标签从 $-2\pi$ 到 $2\pi$ ，以 $\pi/4$ 为间隔；y轴刻度标签从 $-4$ 到 $4$ 。
公式
观察依据
手写标题 $y=\tan\theta$ 出现在左上方。

图中对象

右侧的大型笛卡尔坐标网格
坐标轴刻度标签以弧度为单位
手写函数标题 $y=\tan\theta$

变化过程

标题书写于左上方。
在本视频片段中，右侧网格上未绘制任何曲线，保持空白。

不变量

右侧网格保持固定，作为最终的绘图区域。
尚未绘制任何正切曲线。

数学含义

视觉布局将左侧的概念工作区与右侧的未来绘图区域分隔开来，表明本课将先构建理解，再进行绘图。

绘制辅助单位圆。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
左侧绘制青色坐标轴，随后在其交点处绘制一个圆。
声音
观察依据
讲解者表示他正在设置一个单位圆，以直观呈现正切值。

图中对象

青色竖直轴。
青色水平轴。
以原点为圆心的圆。

变化过程

在左侧添加坐标轴。
以原点为中心绘制一个圆。

不变量

主右侧网格保持不变。
该圆被呈现为单位圆。

数学含义

新的左侧图示作为几何模型，用于将角度转换为坐标，再进一步转换为正切值。

标准位置角 $\theta$ 被图示出来。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
从原点向第一象限画出一条黄色射线，正 $x$ 轴与该射线之间的夹角标记为 $\theta$ 。
声音
观察依据
主讲人描述了一个角 theta，其中一边为正 x 轴。

图中对象

正 $x$ 轴
黄色终边射线
角标记 $\theta$

变化过程

从原点添加了一条射线。
角标记 $\theta$ 出现在坐标轴与射线之间。

不变量

该圆仍以原点为圆心。
始边保持在正 $x$ 轴上。

数学含义

该图将抽象的角度具象化为一条具体的射线，为定位其与单位圆的交点做准备。

对坐标点及斜率三角形进行标注。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
交点标记为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。
图示
观察依据
虚线辅助线从原点连至该点，构成一个直角三角形，并标出 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 。

图中对象

圆上的点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。
水平与竖直方向的虚线辅助线段。
沿坐标轴方向构成直角边的直角三角形。
写出比值 $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 和 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 。

变化过程

交点被赋予坐标标签。
虚线段构成一个直角三角形。
在正切恒等式下方添加斜率记号。

不变量

该点始终位于单位圆上。
射线仍从原点出发。

数学含义

直观的三角形使代数恒等式具有几何意义：竖直直角边表示 $\sin\theta$ 或 $\Delta y$ ，水平直角边表示 $\cos\theta$ 或 $\Delta x$ ，它们的比值即为斜率，因此等于 $\tan\theta$ 。

从示意图转向数值表格

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
单位圆周围详细的标注被擦除，仅留下更简洁的圆加射线示意图。
图示
观察依据
在最左侧新绘制一条竖直的黄色直线，作为表格的起始线。
声音
观察依据
说话人说道：“那么现在我们来制作一张表格。”

待核验内容

到该片段结束时，表格内容尚未填写。

图中对象

简化的单位圆示意图
最左侧新增一条竖直的黄色直线

变化过程

额外的标签和虚线辅助线均被移除。
绘制一条崭新的、类似列的直线，以开启表格。

不变量

单位圆仍作为概念上的参照。
右侧的坐标系网格仍未使用。

数学含义

教师从解释正切函数的几何意义，过渡到整理用于绘图的具体角度与函数值对应关系。

构建正切函数图像的整体黑板布局

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
屏幕分为三个区域：左侧为手写表格，中间为单位圆，右侧为空白直角坐标系。
公式
观察依据
左侧表格的表头为 θ 和 tan θ。

图中对象

左侧为两列表格，标注为 θ 和 tan θ
中间为带 x 轴和 y 轴的单位圆
右侧为笛卡尔坐标系，x 轴标有从 -2π 到 2π 的刻度，y 轴标有从 -4 到 4 的刻度
标题： $y = \tan θ$

变化过程

表格按行逐行填写，对应所讨论的角度。
对每个选定的角度，都在单位圆上添加一条黄色射线。

不变量

单位圆始终以原点为圆心。
右侧图像在整个片段中保持空白。

数学含义

这种视觉组织方式将数值记录、几何推理与最终的图像绘制分离开来。

$θ = 0$ 对应的射线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一条黄色射线沿单位圆的正x轴方向延伸。
公式
观察依据
第一行表格在θ列下记录0，在tan θ列下记录0。

图中对象

正x轴射线
表格中的一行（0,0）

变化过程

第一个输入-输出数对被填入表格。

不变量

该射线与水平轴重合。

数学含义

这直观地展示了垂直方向无变化，因此斜率为0，且 $\tan 0 = 0$ 。

$θ = π/4$ 对应的射线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一条黄色射线以45度角画入第一象限，并在其附近勾勒出一个小型直角三角形。
公式
观察依据
表格随后在θ列记录 $π/4$ ，在tan θ列记录1。

待核验内容

圆上手写的精确角度标注不如口述值和表格中的条目清晰。

图中对象

第一象限射线
表示水平边与垂直边长度相等的小型直角三角形
表格中的一行：( $π/4$ , 1)

变化过程

在x轴上方添加了一条新射线。
对应的正切值1被写入表格。

不变量

该射线从原点出发，在第一象限与单位圆相交。

数学含义

相等的直角边长度表明斜率为1，与 $\tan (π/4)=1$ 一致。

$θ = -π/4$ 对应的射线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一条黄色射线画入第四象限，位于正x轴下方。
公式
观察依据
表格在 θ 列记录 -π/4，在 tan θ 列记录 -1。

待核验内容

关于该值为何为负数的口述解释不完整，因为片段在句子中途结束。

图中对象

第四象限的射线
表格中的一行：(-π/4, -1)

变化过程

添加了一条向下倾斜的射线。
正切值 -1 被填入表格。

不变量

该射线仍起始于单位圆的圆心。

数学含义

相对于向右运动而言的向下方向表明斜率为负，这与 $\tan (-π/4) = -1$ 一致。

擦除单位圆的辅助标记

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在00:31.000处，说话人说：“让我稍微整理一下，因为我想重复使用我的单位圆。”
动画
观察依据
擦除单位圆周围的辅助作图标记，仅保留更简洁的圆和坐标轴。

图中对象

单位圆
角 $-\pi/4$ 的终边
坐标轴

变化过程

临时作图标记已被擦除。
单位圆被保留以供后续重复使用。

不变量

底层的角度值与正切结果均保持不变。

数学含义

这种视觉清理将计算阶段与即将开始的绘图阶段区分开来。

绘制前三个正切点

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
在右侧坐标网格上，分别于 $\theta=0$ 、 $\theta=\pi/4$ 和 $\theta=-\pi/4$ 处出现三个点，其纵坐标分别为 $y=0,1,-1$ 。
声音
观察依据
讲解者在00:58.000与01:11.000之间逐个标出各数值时，依次报出每个值的名称。

图中对象

右侧坐标网格
点 $(0,0)$
点 $(\pi/4,1)$
点 $(-\pi/4,-1)$

变化过程

点被逐个添加到图像上。
横轴标记为 $\theta$ ，纵轴标记为 $y$ 。

不变量

以 $\pi/4$ 的倍数标出的刻度标记保持固定。

数学含义

图像使用已从单位圆精确计算出的值进行初始化。

在 $\theta=\pi/2$ 处绘制渐近线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
在右侧图像的 $\theta=\pi/2$ 处画一条虚线垂直线。
声音
观察依据
在 01：53.000 the speaker says he is drawing "essentially a vertical asymptote right over here at pi over two".

图中对象

虚线垂直线
图像网格
在横轴上标注 $\pi/2$

变化过程

一条新的垂直辅助线出现在 $\theta=\pi/2$ 处。
图像绘制的讨论从离散的点转向极限行为。

不变量

先前绘制的点保持原位不变。

数学含义

虚线直观地表示 $\tan\theta$ 在 $\theta$ 趋近于 $\pi/2$ 时变得无界。

易错点 · 9

不要交换单位圆上点的坐标顺序。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者最初说坐标是θ的正弦值，随即更正道："抱歉，x坐标是θ的余弦值。"

误区

人们可能错误地认为单位圆上该点的 $x$ 坐标是 $\sin\theta$ 。

说明

该片段明确纠正了这一点：该点的 $x$ 坐标是 $\cos\theta$ ， $y$ 坐标是 $\sin\theta$ ，因此该点为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。

正切不仅是一个抽象的分式。

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
说话者强调，y除以x本质上就是这条直线的斜率。
公式
观察依据
$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 写在 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 旁边。

误区

学生可能将 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 单纯视作代数公式，从而忽略其几何意义。

说明

在此单位圆设定中，相同比值即为终边射线的斜率，这有助于直观理解正切值如何随角度变化。该解读直接得到片段内容的支持。

仅将正切视为一个公式来思考

依据清楚

补充解释

来源依据

声音
观察依据
主讲人反复借助射线的斜率进行解释，而不仅依赖符号运算。
图示
观察依据
每个数值都在单位圆上通过几何方式加以说明。

误区

学生可能将 $\tan \theta$ 单纯视为代数比值，而忽略其在单位圆上作为斜率的几何意义。

说明

本片段强调，正切值可直接从终边射线的陡峭程度与方向读出。

仅混淆负角与负的大小

时间近似

补充解释

来源依据

图示
观察依据
角 -π/4 对应的射线画在 x 轴下方。
公式
观察依据
表格中该项为 -1。

待核验内容

视频在片段结束前未完成口头解释。

误区

学习者可能认为负角只是将图形翻转，而不影响斜率的正负号。

说明

此处负角产生了向下倾斜的射线，因此正切值为负。

将早期的正切点误认为是一条直线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在01:12.000处，说话者说：“如果你只看到这些，可能会觉得它大概是一条直线，但我们会非常清楚地看到，它其实不是一条直线。”

误区

仅绘制少数几个点后，人们可能误以为正切函数图像是直线。

说明

视频明确指出该图像不是直线，随后解释了在 $\pi/2$ 附近的无界增长现象。

误将正切函数当作一条连续通过 $π/2$ 的曲线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在00:00:38-00:00:42处，说话者指出该函数“在该点并未正确定义，此处存在一条垂直渐近线。”
声音
观察依据
在00:01:19-00:01:24处，说话者称图像在穿过 $π/2$ 后‘在此处又向下跳跃’。
图示
观察依据
图像被垂直虚线截断，新一支曲线在另一侧单独起始。

误区

人们可能认为图像应平滑地向上延续经过 $π/2$ ，而非中断并在另一支曲线上重新开始。

说明

该片段明确标出该边界为未定义，并展示了一条垂直渐近线；随后演示了就在 $π/2$ 之后，图像跳转至一个极负的分支，而非穿越渐近线继续延伸。

假设正切值在 $π/2$ 之后仍保持正值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在00:01:10-00:01:18处，说话者强调：就在穿过 $π/2$ 之后，斜率‘负得极大’。
图示
观察依据
新分支画在渐近线右侧、x轴下方。

误区

由于前一支曲线趋近于+ $\infty$ ，人们可能预期略大于 $π/2$ 的邻近角度也会给出很大的正正切值。

说明

单位圆上的斜率图示表明：就在 $π/2$ 之后，射线位于第二象限，因此其斜率为很大的负数，图像由此从下方重新开始。

不要将表格中的数值视为唯一可用的正切值。

依据清楚

补充解释

来源依据

声音
观察依据
说话者反复借助单位圆几何关系推导新数值，而非仅查表读取。
图示
观察依据
单位圆用于解释 $3π/4$ 以及后续的角度。

误区

有人可能认为正切值只能直接从表格所列的行中获取。

说明

视频表明，诸如 $\tan (3π/4)$ 、 $\tan (π)$ 以及下一个正一值等新数值，是通过延展单位圆推理得到的，而不仅仅是照搬表格。

渐近线并非正切图像上绘制出的点。

依据清楚

补充解释

来源依据

声音
观察依据
说话者指出，斜率在接近 $3π/2$ 时趋近于正无穷大。
图示
观察依据
图像被虚线垂直线截断，而非穿过这些直线。

误区

学习者可能误以为正切图像在虚线垂直线上恰好达到某个有限的 y 值。

说明

在该片段中，像 $3π/2$ 这样的角度被展示为曲线无界增长的边界，图像被虚线渐近线分隔，而非曲线上的普通点。

概念关系 · 21

目标：熟悉 $y=\tan\theta$ 的图像 → 单位圆构图，用于直观呈现正切值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者表示，他将构建一个单位圆，以便直观呈现正切函数图像中的正切值。

应用

解释

单位圆构造法被引入，作为理解目标图像 $y=\tan\theta$ 的工具。

单位圆构图，用于直观呈现正切值 → 角 $\theta$ 由正 $x$ 轴构成

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
射线和角被绘制在新建立的坐标系与圆内。

包含

解释

单位圆设定包含标准位置角表示法，用于确定圆上的一个点。

角 $\theta$ 由正 $x$ 轴构成 → 单位圆上的点的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人将与单位圆相交的射线与坐标 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 关联起来。

应用

解释

一旦画出该角，单位圆定义就将交点赋予坐标 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。

单位圆上的点的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ → 正切恒等式 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
点的标签 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 后紧跟着方程 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 。

证明依赖

解释

商数恒等式通过单位圆上点的坐标来解释：正弦值是 $y$ -坐标，余弦值是 $x$ -坐标。

正切恒等式 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ → 正切值作为终边射线的斜率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，y坐标除以x坐标本质上就是这条直线的斜率。
公式
观察依据
$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 与 $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 并列写出。

等价

解释

在单位圆图示中，代数比 $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 与几何斜率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 描述的是同一数量。

正切值作为终边射线的斜率 → 从几何解释过渡到数值列表

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在解释完斜率之后，主讲人说：“那么现在我们来制作一张表格。”

应用

解释

斜率解释推动了下一步：列出若干角度，并计算它们的正切值以用于绘图。

正切被理解为终边射线的斜率。 → 绘图前先构建函数取值表

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，所选数值将帮助我们思考函数 $y = \tan θ$ 的图像形状。
公式
观察依据
表格在绘制任何图像之前就已构建完毕。

应用

解释

几何斜率解释被转化为数值化的表格条目，为绘图做准备。

利用单位圆上的射线求正切值。 → $π/4$ 弧度处的正切值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
利用单位圆上的特定射线来确定数值1和 -1。

应用

解释

单位圆上的 $π/4$ 射线为得出结论 $\tan(\pi/4)=1$ 提供了直观依据。

正切即正弦除以余弦 → $π/4$ 弧度处的正切值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者明确借助‘θ 的正弦除以 θ 的余弦’来解释数值 1。

证明依赖

解释

恒等式 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ 被用来论证在 $\theta=\pi/4$ 处的特殊取值。

0 弧度处的正切值 → 绘图前先构建函数取值表

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人表示，这些容易计算的值将有助于确定函数图像的整体形状。
公式
观察依据
第一个列在表格中的点是 (0,0)。

包含

解释

数值 $\tan 0 = 0$ 是为推断整体图像形状而采集的若干样本点之一。

$\tan(-\pi/4)$ 的值 → $y=\tan\theta$ 的初始标绘点

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在完成表格后，于00:46.000处，说话者说：“我们先来绘制其中几个点。”
图示
观察依据
所绘制的点与表格中的条目完全对应。

应用

解释

计算所得的正切值被用于绘制 $y=\tan\theta$ 的初始图像。

$y=\tan\theta$ 的初始标绘点 → 正切函数图像在 $\theta=\pi/2$ 处的垂直渐近线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在 01：12.000 讲者将所绘制的点与之后“该图像不是一条直线”的论断进行对比，然后讨论在 $\pi/2$ 附近的行为，通过 02：00.000。

对比

解释

有限个已绘制的点暗示了简单的线性行为，但后续的极限论证却揭示出存在一条渐近线。

问题定位 · 29

为什么本课在绘制 $y=\tan\theta$ 的图像之前先引入单位圆？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人表示，他构建了一个单位圆，以便我们直观理解不同θ角的正切值。

涉及知识点

目标：熟悉 $y=\tan\theta$ 的图像
单位圆构图，用于直观呈现正切值

角 $\theta$ 的终边与单位圆交点的坐标是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
该点标记为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。

涉及知识点

单位圆上的点的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$

本片段中， $\tan\theta$ 是如何用正弦和余弦来定义的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上写出了方程 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 。

涉及知识点

正切恒等式 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

为什么正切可以被理解为从原点出发的射线的斜率？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，该比值本质上就是直线的斜率，即y的变化量除以x的变化量。

涉及知识点

正切值作为终边射线的斜率
从单位圆推导正切的斜率解释

在单位圆上，哪个坐标对应余弦，哪个坐标对应正弦？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人纠正了最初的口误，并指出x坐标是cos θ。

涉及知识点

单位圆上的点的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$
不要交换单位圆上点的坐标顺序。

教师在几何地讲解完正切之后做了什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“现在我们来列一张表格。”

涉及知识点

从几何解释过渡到数值列表

视频为何称 $\tan 0 = 0$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人提问：当 θ 为零弧度时，这条射线的斜率是多少？并回答：斜率为零。

涉及知识点

0 弧度处的正切值
正切被理解为终边射线的斜率。

$\tan (π/4) = 1$ 如何从单位圆推导而来？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者解释道：在 $π/4$ 处，x 坐标与 y 坐标相等，因此斜率为 1。

涉及知识点

$π/4$ 弧度处的正切值
正切即正弦除以余弦
正切被理解为终边射线的斜率。

本片段中，-π/4对应的正切值是多少？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
表格中记录了角度 -π/4 对应的正切值为 -1。
图示
观察依据
为负角绘制了一条第四象限的射线。

待核验内容

口述解释在片段结尾处不完整。

涉及知识点

-π/4 弧度处的正切值
正切被理解为终边射线的斜率。

为什么在绘图前先构建 θ 与 tan θ 的表格？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人表示，他选取的数值有助于我们思考 $y = \tan θ$ 图像的形状。

涉及知识点

绘图前先构建函数取值表

视频在何处使用 $\sin θ / \cos θ$ 来解释某个正切值？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，θ 的正切值等于 θ 的正弦值除以余弦值，且在此角度下二者相等。

涉及知识点

正切即正弦除以余弦
$π/4$ 弧度处的正切值

视频如何利用单位圆计算 $\tan(-\pi/4)$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
$\tan(-\pi/4)$ 的完整解释出现在00:00.000至00:45.000。

涉及知识点

正切值等于正弦值除以余弦值
$\tan(-\pi/4)$ 的值

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 开场说明本视频目的，并显示标题 $y=\tan\theta$ 。

已覆盖 · 绘制辅助坐标轴和单位圆，以直观呈现正切值。

已覆盖 · 从原点出发的一条射线定义了标准位置下的角 $\theta$ 。

已覆盖 · 交点被标记为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ ，并伴有可听见的自我更正。

已覆盖 · 陈述并写出商数恒等式 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 。

已覆盖 · 将该比值重新解释为终边射线的斜率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 。

已覆盖 · 图表被简化，同时开始建立一张新表格，但本片段内未完成任何表格条目。

已覆盖 · 开场设置展示了标题 $y = \tan θ$ 、空白表格、单位圆以及空坐标网格。

已覆盖 · 主讲人通过指出终边为水平射线，从而得出 $θ = 0$ 时其斜率为 0，并据此计算该值。

已覆盖 · 主讲人解释了选择易算角度的策略，以便推断图像的形状。

已覆盖 · 角度 $π/4$ 被引入，在单位圆上标出，并通过坐标相等及 $\sin /\cos$ 相等的性质，说明其正切值为 1。

已覆盖 · 角度 -π/4被引入，并在表格中记为正切值 -1；口头解释已开始，但片段在此结束，尚未充分展开。

已覆盖 · 单位圆上对应 $-\pi/4$ 的坐标被讲解，并用于计算 $\tan(-\pi/4)=-1$ 。

已覆盖 · 单位圆被整理清晰， $-\pi/4$ 在表格中的取值最终确定为 $-1$ 。

已覆盖 · 图像的坐标轴被标出，且 $y=\tan\theta$ 的前三个点被描出。

已覆盖 · 主讲人警示该图像并非直线，解释了其在 $\pi/2$ 附近趋向无穷大的特性，并画出了一条垂直渐近线。

已覆盖 · 正切函数图像的初始布局与设定可见；此开场部分的语音内容较为零散，但直接引向基于斜率的解释。

已覆盖 · 讲师在绘制中间分支的同时，解释了在± $π/2$ 附近斜率趋向正无穷与负无穷的无界行为。

已覆盖 · 该片段明确指出了垂直渐近线，并完成了介于-π/2与 $π/2$ 之间的中间分支。

已覆盖 · 讲师继续越过 $π/2$ ，解释为何下一个分支从极小的负值开始并再次上升。

已覆盖 · 引入了一个具体的角度示例 $3π/4$ ，并将其重写为 $π/2 + π/4$ ，但该示例在本片段中未完成。

已覆盖 · 所提供的整段视频剪辑是一段连续的白板讲解，内容涵盖正切值、单位圆上的斜率、已标绘的点、渐近线以及周期性重复。

已覆盖 · 整个片段聚焦于介绍正切图像的形状及其周期性。

探索视频中的知识

已审核的主题路径

正切函数图像 | 三角函数图像 | 三角学 | 可汗学院

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

本段目标：理解正切函数图像

单位圆作为一种可视化工具

标准位置的角

单位圆上点的坐标

正切的商数恒等式

正切作为终边射线的斜率

过渡到列值表格

单位圆上正切函数的斜率含义

为什么 tan⁡0=0\tan 0 = 0tan0=0

绘制 y=tan⁡θy = \tan θy=tanθ 图像的策略

为什么 tan⁡(π/4)=1\tan (π/4) = 1tan(π/4)=1

利用 sin⁡θ/cos⁡θ\sin θ / \cos θsinθ/cosθ 验证正切值

对应 -π/4 的表格项

角−π/4-\pi/4−π/4在单位圆上的坐标

正切即正弦与余弦之比

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)tan(−π/4)的值

开始绘制函数y=tan⁡θy=\tan\thetay=tanθ的图像

正切函数不是直线

以θ→π/2−\theta\to\pi/2^{-}θ→π/2−为形式的增长

在θ=π/2\theta=\pi/2θ=π/2处存在垂直渐近线

y=tan⁡θy = \tan θy=tanθ 的中心分支

垂直渐近线位于 ±π/2π/2π/2

正切 θ 表示单位圆上某条射线的斜率

为何图像恰在 π/2π/2π/2 之后向下跳跃

详细学习笔记

y=tan⁡θy = \tan \thetay=tanθ

xxx-axis

yyy-axis

θ\thetaθ

cos⁡θ\cos\thetacosθ

sin⁡θ\sin\thetasinθ

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθ=cosθsinθ​

Δy\Delta yΔy

Δx\Delta xΔx

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)(cosθ,sinθ)

y=tan⁡θy = \tan \thetay=tanθ

θ\thetaθ

目标：熟悉y=tan⁡θy=\tan\thetay=tanθ的图像

单位圆构图，用于直观呈现正切值

角 θ\thetaθ 由正 xxx 轴构成

单位圆上的点的坐标为(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)(cosθ,sinθ)

正切恒等式tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθ=cosθsinθ​

正切值作为终边射线的斜率

从几何解释过渡到数值列表

正切被理解为终边射线的斜率。

利用单位圆上的射线求正切值。

绘图前先构建函数取值表

0 弧度处的正切值

π/4π/4π/4 弧度处的正切值

正切的商数恒等式

正切值等于终边射线的斜率

水平射线的斜率为0。

正弦值与余弦值相等意味着正切值为1。

记录了 -π/4 处的正切值

tan⁡θ\tan\thetatanθ在θ→π/2−\theta\to\pi/2^-θ→π/2−处的行为

正切函数图像在θ=π/2\theta=\pi/2θ=π/2处的垂直渐近线

正切函数在所标渐近线位置处无定义。

当 θ 从左侧趋近 π/2π/2π/2 时，函数值趋近 +∞\infty ∞。

当 θ 从右侧趋近于 -π/2 时，函数值趋近于 -∞。

在π/2π/2π/2之后立即，正切函数图像从极负的数值重新开始。

3π/43π/43π/4 处的正切值

从单位圆推导正切的斜率解释

从单位圆上的斜率推导示例正切值

利用 sin⁡/cos⁡\sin /\cos sin/cos 验证 π/4π/4π/4 处的正切值。

由单位圆上的坐标推导tan⁡(−π/4)=−1\tan(-\pi/4)=-1tan(−π/4)=−1

解释在θ=π/2\theta=\pi/2θ=π/2处的竖直渐近线。

依据射线斜率行为推导中心正切分支的形状。

为何图像恰好在 π/2π/2π/2 之后从横轴下方重新开始

利用单位圆几何推导 tan⁡(3π/4)\tan (3π/4)tan(3π/4)。

将正切图像从3π/43π/43π/4经π延伸至下一个特殊角。

从无界增长到周期性重复及渐近线

示例：选取便于作图的角来绘制 y=tan⁡θy = \tan θy=tanθ 的图像。

根据表格描出正切函数的初始值

将3π/43π/43π/4作为下一个示例角引入。

绘制从3π/43π/43π/4到下一个特殊角的正切值。

为什么 $\tan 0 = 0$

绘制 $y = \tan θ$ 图像的策略

为什么 $\tan (π/4) = 1$

利用 $\sin θ / \cos θ$ 验证正切值

角 $-\pi/4$ 在单位圆上的坐标

$\tan(-\pi/4)$ 的值

开始绘制函数 $y=\tan\theta$ 的图像

以 $\theta\to\pi/2^{-}$ 为形式的增长

在 $\theta=\pi/2$ 处存在垂直渐近线

$y = \tan θ$ 的中心分支

垂直渐近线位于 ± $π/2$

为何图像恰在 $π/2$ 之后向下跳跃

$y = \tan \theta$

$x$ -axis

$y$ -axis

$\theta$

$\cos\theta$

$\sin\theta$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$\Delta y$

$\Delta x$

$(\cos\theta, \sin\theta)$

$y = \tan \theta$

$\theta$

目标：熟悉 $y=\tan\theta$ 的图像

角 $\theta$ 由正 $x$ 轴构成

单位圆上的点的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$

正切恒等式 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$π/4$ 弧度处的正切值

$\tan\theta$ 在 $\theta\to\pi/2^-$ 处的行为

正切函数图像在 $\theta=\pi/2$ 处的垂直渐近线

当 θ 从左侧趋近 $π/2$ 时，函数值趋近 + $\infty$ 。

在 $π/2$ 之后立即，正切函数图像从极负的数值重新开始。

$3π/4$ 处的正切值

利用 $\sin /\cos$ 验证 $π/4$ 处的正切值。

由单位圆上的坐标推导 $\tan(-\pi/4)=-1$

解释在 $\theta=\pi/2$ 处的竖直渐近线。

为何图像恰好在 $π/2$ 之后从横轴下方重新开始

利用单位圆几何推导 $\tan (3π/4)$ 。

将正切图像从 $3π/4$ 经π延伸至下一个特殊角。

示例：选取便于作图的角来绘制 $y = \tan θ$ 的图像。

将 $3π/4$ 作为下一个示例角引入。

绘制从 $3π/4$ 到下一个特殊角的正切值。

标准位置角 $\theta$ 被图示出来。

$θ = 0$ 对应的射线

$θ = π/4$ 对应的射线

$θ = -π/4$ 对应的射线

在 $\theta=\pi/2$ 处绘制渐近线

误将正切函数当作一条连续通过 $π/2$ 的曲线

假设正切值在 $π/2$ 之后仍保持正值

目标：熟悉 $y=\tan\theta$ 的图像 → 单位圆构图，用于直观呈现正切值

单位圆构图，用于直观呈现正切值 → 角 $\theta$ 由正 $x$ 轴构成

角 $\theta$ 由正 $x$ 轴构成 → 单位圆上的点的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$

单位圆上的点的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ → 正切恒等式 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

正切恒等式 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ → 正切值作为终边射线的斜率

利用单位圆上的射线求正切值。 → $π/4$ 弧度处的正切值

正切即正弦除以余弦 → $π/4$ 弧度处的正切值

$\tan(-\pi/4)$ 的值 → $y=\tan\theta$ 的初始标绘点

$y=\tan\theta$ 的初始标绘点 → 正切函数图像在 $\theta=\pi/2$ 处的垂直渐近线

为什么本课在绘制 $y=\tan\theta$ 的图像之前先引入单位圆？

角 $\theta$ 的终边与单位圆交点的坐标是什么？

本片段中， $\tan\theta$ 是如何用正弦和余弦来定义的？

视频为何称 $\tan 0 = 0$ ？

$\tan (π/4) = 1$ 如何从单位圆推导而来？

视频在何处使用 $\sin θ / \cos θ$ 来解释某个正切值？

视频如何利用单位圆计算 $\tan(-\pi/4)$ ？