微积分 / 英语

如何求切平面 | 多变量函数的线性近似

Dr. Trefor Bazett · YouTube · 9:23

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视频中的要点

01切平面：直观含义
02在 $z=f(x,y)$ 上的切点
03求切平面的粗略目标

来自学习笔记

z_0=f(x_0,y_0)

在 $z=f(x,y)$ 上的切点

选中时刻

标题：切平面

建议预备知识

单变量函数的切线
二元函数的图像
三维空间中的向量
点积与正交性
空间中平面的方程
向量的点积与正交性
三维空间中平面的方程
单变量微积分中切线的基本概念
偏导数的记号
单变量线性近似
导数作为切线斜率
偏导数的基本记号
二元函数的图像位于3维空间
偏导数
多元函数
平面的方程

阅读与收藏

把讲解展开来看。

已审核学习内容 · 视频分析 · 中文

阅读完整概览

这段时长为180秒的授课片段，将函数图像的切平面引入为二元函数的多元类比——即单变量中的切线。借助一个钟形曲面及标定点 $(x_0,y_0,z_0)$ ，讲师说明切平面经过该点，在局部“吻合”图像，并在附近对其作近似。随后他非正式地陈述目标：寻找一个在 $z_0=f(x_0,y_0)$ 处与图像相交、且在附近与 $z=f(x,y)$ “接近”的平面，同时将“接近”的精确定义延后处理。该片段余下部分回顾平面的一般方程，先以 $\vec n\cdot \overrightarrow{P_0P}=0$ 形式、再以 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 形式呈现，并强调切平面问题中的难点在于确定法向量分量 $a,b,c$ 。本段为第180次课的节选，推导曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面公式。它从平面方程 $\vec n\cdot\overline{P_0P}=0$ 及其标量形式 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 出发，再将 $c=-1$ 标准化，从而将平面重写为线性函数 $L(x,y)=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0$ 。通过代入 $y=y_0$ ，主讲人将问题简化为单变量的切线情形，并得出结论 $a=f_x(x_0,y_0)$ 。本片段还指出例外情形 $c=0$ ，但未对其作完整解释。本180秒片段通过将问题简化为单变量切片，推导出二元函数的切平面公式。它首先将 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ 中的系数识别为 $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$ ，然后框出最终公式 $f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+z_0=z$ 。一幅3D示意图从几何角度解释该结果：在固定 $y=y_0$ 和固定 $x=x_0$ 处对曲面所作的切线均位于该切平面内。片段最后给出一个实例演算：对 $f(x,y)=2-x^2-y^2$ 在点 $(1/2,1/2)$ 处求切平面，计算出 $z_0=3/2$ 、 $f_x=f_y=-1$ 以及平面 $z=3/2-1(x-1/2)-1(y-1/2)$ 。本视频结束了一节关于求多元函数切平面的课程。屏幕上展示了切平面的通用公式，并通过分步示例计算了函数 $f(x, y) = 2 - x^2 - y^2$ 在点 ( $1/2$ , $1/2$ ) 处的切平面。最终方程显示为 $z = 3/2 - 1(x - 1/2) - 1(y - 1/2)$ 。视频剩余部分为片尾，主讲人鼓励观众订阅频道，并观看多元微积分系列视频中的更多内容。

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章节

0:00标题：切平面 0:03切平面作为多元情形下的切线 0:18示例曲面与切点 0:46不同点给出不同的切平面 0:54顶部的水平切平面 1:09切平面的非正式目标 1:42平面的一般方程 2:24展开为分量形式，并指出其中的难点 3:00目标与平面方程 3:15用

c=-1

进行归一化 3:35将平面重写为

L(x,y)

4:27代入

y=y_0

5:32识别

a=f_x(x_0,y_0)

6:00从单变量切片推导系数 6:50框出的切平面公式 7:05用切片曲线进行几何解释 8:02实例演算：函数2减x的2次方减y的2次方的切平面 9:00切平面公式与示例 9:03结束语与行动号召

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

本片段以标题“切平面”开场，标志着从单变量函数的切线转向三维空间中的曲面。

主讲人引出核心思想：切平面是二元函数图像在某点处的切线概念在多元情形下的推广。

他以一个钟形曲面作为示例图像，在其上用红色标记一个特定点，并将其记作 $(x_0,y_0,z_0)$ ，其中 $z_0$ 表示函数在 $(x_0,y_0)$ 处的高度。

接着，他给出几何直观：切平面是经过该点的一个平面，它在该点处“轻触”图像，并在邻近区域紧贴曲面，从而成为图像在局部的近似。

该示例强调，切平面依赖于所选的点：若在曲面上移动到另一位置，则切平面也会随之改变。

在所展示曲面的顶部，切平面变为水平，平行于 $xy$ -平面；主讲人将此情形类比于单变量情形中导数为零时得到水平切线。

视频接下来以刻意非正式的语言陈述目标：寻找一个平面，使其在 $z_0=f(x_0,y_0)$ 处与图像相交，并在邻近区域“接近” $z=f(x,y)$ ，而暂不明确“接近”的确切含义。

为推导公式，主讲人回顾平面的向量形式一般方程：若 $\vec n$ 是法向量， $\overrightarrow{P_0P}$ 是从定点 $P_0$ 指向任一点 $P$ 且位于该平面内的向量，则 $\vec n\cdot \overrightarrow{P_0P}=0$ 。

点积为零的原因在于正交性：真正的法向量必须垂直于平面内所有向量。

将 $\vec n=(a,b,c)$ 和 $\overrightarrow{P_0P}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ 写出后，该方程展开为 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 。

本片段最后聚焦于切平面问题中尚未解决的难点：点 $(x_0,y_0,z_0)$ 已知，因此关键未知量是法向量，即决定切平面的系数 $a,b,c$ 。

片头明确指出本课目标：求一个经过 $z_0=f(x_0,y_0)$ 且在 $z=f(x,y)$ 附近紧贴曲面的平面。黑板上，该平面首先以几何方式描述为 $\vec n\cdot\overline{P_0P}=0$ ，其中 $\vec n$ 是法向量， $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 是平面上的一个定点， $P(x,y,z)$ 是平面上的一个动点。

同一条件随后被写成坐标形式： $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 。此处 $a,b,c$ 是法向量的分量，该方程表明：从 $P_0$ 指向平面上任一其他点的所有位移向量均与 $(a,b,c)$ 正交。

为求解关于 $z$ 的平面方程，讲师引入简化设定 $c=-1$ 。他解释道：若原始的 $c$ 非零，可将整个方程两边同除以 $c$ ，从而使 $z-z_0$ 的系数变为 $-1$ 。他还指出例外情形 $c=0$ ，并请观众思考：为何该情形对可微函数的切平面而言无关紧要；但他在此片段中并未完成这一解释。

在设定 $c=-1$ 后，方程变为 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ 。黑板上带括号的标注指出，等式右端是一个线性函数 $L(x,y)$ 。从概念上看，切平面现已重写为一个关于两个变量的函数图像，该函数在 $x$ 和 $y$ 上是线性的：每个变量仅以一次幂出现，且均乘以常数。

讲师随后从概率角度解释该公式：正如切线用更简单的线性对象逼近非线性单变量函数，切平面也用更简单的线性对象逼近非线性曲面。此时，逼近的形状已知，但系数 $a$ 和 $b$ 仍未指定；必须选择它们，使得该平面确实接近 $f(x,y)$ 附近 $(x_0,y_0)$ 。

为确定 $a$ ，黑板清空至线性公式，并出现指令“代入 $y=y_0$ ”。将 $y=y_0$ 代入 $z=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0$ 后， $b(y-y_0)$ 项被消去，剩下 $z=a(x-x_0)+z_0$ 。从几何上看，这相当于用竖直平面 $y=y_0$ 同时截取曲面与候选平面。

截取之后，剩余方程仅含 $x$ 和 $z$ ，因此它是一条直线的方程。讲师强调：这恰好回归到单变量切线逼近的情境——一旦 $y$ 被固定为 $y_0$ ，问题便简化为用一条直线去逼近关于 $x$ 的单变量函数。

在单变量微积分中，所关注点处切线的斜率即为该点的导数。将这一事实迁移到当前的双变量情形下，系数 $a$ 必须是函数 $f(x,y_0)$ 在 $x=x_0$ 处沿受限方向所得函数的导数。由于对 $y=y_0$ 的限制恰好对应于关于 $x$ 的偏导数所度量的内容，因此该导数即为 $f_x(x_0,y_0)$ 。

黑板上的最终结论明确指出：线性近似中的系数为 $a=f_x(x_0,y_0)$ 。因此，这段内容完成了切平面构造的一半，说明了乘以 $(x-x_0)$ 的系数正是在基点处关于 $x$ 的偏导数。而关于 $b$ 的类似确定过程，在本片段中并未完成。

片段开场时，通用线性模型 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ 已写在黑板上。讲师随后固定 $x=x_0$ ，从而消去 $a(x-x_0)$ 项，剩下 $b(y-y_0)+z_0=z$ 。此时 $z$ 仅依赖于 $y$ ，因此问题完全转化为单变量情形——即寻找线性近似。由单变量微积分继承而来的规则是：近似直线的斜率应等于导数，故为 $b=f_y(x_0,y_0)$ 。

由对称性，先前黑板上固定 $y=y_0$ 的步骤得到 $a(x-x_0)+z_0=z$ ，这是一个关于 $x$ 的单变量关系式，因而得出 $a=f_x(x_0,y_0)$ 。关键的概念性思路在于：二元线性模型中每个系数均由冻结另一个变量、再对所得切片求导而确定。

一旦两个系数均被识别，黑板擦除中间步骤，呈现整合后的切平面方程 $f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+z_0=z.$ 其中 $z_0$ 表示原曲面在基点 $(x_0,y_0)$ 正上方的高度，而两个偏导数则分别提供沿 $x$ 方向和 $y$ 方向的方向斜率。

随后，授课从代数转向几何。一幅3D图示出现：包含一个曲面、一个穿过红点的半透明平面、一条通过固定 $y=y_0$ 所得的黄色切片曲线，以及一条通过固定 $x=x_0$ 所得的蓝/青色切片曲线。每条切片曲线在红点处各有一条切线，且这两条切线均绘制在同一平面内。这直观地展示了如下结论：切平面即为包含由偏导数生成的坐标方向切线的那个平面。

为验证公式，讲师引入实例：函数 $f(x,y)=2-x^2-y^2$ 在点 $\left(\frac12,\frac12\right)$ 处的切平面。首先计算基点高度： $z_0=f\left(\frac12,\frac12\right)=2-\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2=\frac32.$ 接着计算该点处的两个偏导数： $f_x\left(\frac12,\frac12\right)=-2\left(\frac12\right)=-1, \qquad f_y\left(\frac12,\frac12\right)=-2\left(\frac12\right)=-1.$ 将这三个数值代入通用公式，即得显式的切平面方程 $z=\frac32-1\left(x-\frac12\right)-1\left(y-\frac12\right).$

黑板上仍可见一处记号提醒：例题标题写作` $f(x)=2-x^2-y^2$ `，但口头讲解及全部计算均将其视为二元函数 $f(x,y)$ 。从数学角度看，该实例演算与三维空间中曲面的切平面公式完全一致。

主讲人通过指向屏幕来结束本课，屏幕上显示切平面的一般公式： $f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) + z_0 = z$ 。其下方，完整演示了函数 $f(x, y) = 2 - x^2 - y^2$ 在点 ( $1/2$ , $1/2$ ) 处的切平面求解过程。计算步骤包括：求出 z 坐标（ $z_0 = 3/2$ ），求出对 x 和 y 的偏导数（在给定点处二者均等于 -1），再将这些结果代入公式，最终得到方程： $z = 3/2 - 1(x - 1/2) - 1(y - 1/2)$ 。

画面切换至办公室场景。主讲人直接面向观众，邀请大家在评论区留言提问。他幽默地提到“YouTube 算法”，并请观众点赞本视频。随后指出，本视频属于多元微积分系列播放列表的一部分，并鼓励观众观看该系列其他视频，最后挥手告别。

知识卡片

切平面：直观含义

对于二元函数的图像而言，其在某一点处的切平面，就是切线概念在平面上的类比。它经过图像上的该点，并在该点附近与曲面“相切”或“吻合”，从而为图像提供一个邻近的线性近似。

在 $z=f(x,y)$ 上的切点

相关点是图像上的一个点，记作 $(x_0,y_0,z_0)$ ，其竖直坐标由函数值确定： $z_0=f(x_0,y_0)$ 。

z_0=f(x_0,y_0)

求切平面的粗略目标

视频指出两个要求：所求平面必须在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处与函数图像相交，并且在该点附近必须“接近” $z=f(x,y)$ 。本片段中，“接近”的确切含义被有意延后解释。

\text{meet at } z_0=f(x_0,y_0),\ \text{\text{且} be close to } z=f(x,y) \text{ nearby}

平面的向量方程

一个平面可用其法向量 $\vec n$ 和平面内一个定点 $P_0$ 来描述。点 $P$ 位于该平面上，当且仅当位移向量 $\overrightarrow{P_0P}$ 与 $\vec n$ 垂直，这由点积为零来表达。

\vec{n}\cdot \overrightarrow{P_0P}=0

平面的分量方程

若法向量的分量为 $(a,b,c)$ ，且平面经过 $(x_0,y_0,z_0)$ ，则通过将点积展开为坐标形式，即可得到该平面的方程。

a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0

对切平面而言，尚存的难点

一旦切点确定，将 $(x_0,y_0,z_0)$ 代入平面方程就很简单了。剩下的核心任务是求出适合该点处函数图像的法向量分量 $a,b,c$ 。

特殊情况：水平切平面

在示例曲面的顶部，切平面与 $xy$ -平面平行。讲师将其类比为单变量情形：导数为零时产生水平切线。

由一个点和一个法向量确定的平面

一个平面可由其上一个定点 $P_0$ 和一个法向量 $\vec n$ 来刻画。点 $P$ 位于该平面上，当且仅当位移向量 $\overline{P_0P}$ 与 $\vec n$ 垂直，这一垂直关系由点积方程 $\vec n\cdot\overline{P_0P}=0$ 表达。

\vec n \cdot \overline{P_0P}=0

平面的标量方程

将法向量写作 $(a,b,c)$ ，并将点分别记为 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 和 $P(x,y,z)$ ，即可将几何条件转化为坐标方程 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 。这正是三维空间中关于三个变量的标准线性方程。

a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0

为何选择 $c=-1$

若系数 $c$ 关于 $(z-z_0)$ 非零，则整个平面方程可重新缩放，使得 $c=-1$ 。这种归一化使得可以解出关于 $z$ 的方程，并将该平面视为关于 $x$ 和 $y$ 的函数。 $c=0$ 讲者明确指出了例外情形

c=-1

作为线性函数 $L(x,y)$ 的切平面

在设定 $c=-1$ 之后，平面方程变为 $z=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0$ 。其右端是关于 $x$ 和 $y$ 的线性函数，因此切平面可被理解为曲面在 $(x_0,y_0)$ 附近的一个线性近似的图像。

L(x,y)=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0

限制在切片 $y=y_0$ 上

将 $y=y_0$ 代入线性近似式，可消去 $b(y-y_0)$ 项，得到 $z=a(x-x_0)+z_0$ 。从几何上看，这是平面与竖直切片 $y=y_0$ 的交集，从而将问题简化为单变量的直线情形。

a(x-x_0)+z_0=z

从切线到偏导数

一旦 $y$ 在 $y_0$ 处固定，剩余表达式即为关于 $x$ 和 $z$ 的直线方程。在单变量微积分中，切线的斜率即为该点处的导数，因此此处系数 $a$ 必为限制函数 $f(x,y_0)$ 在 $x=x_0$ 处的导数。该导数恰好就是偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 。

a=f_x(x_0,y_0)

切平面的通用线性模型

在确定斜率之前，视频将平面写成 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ 的形式。其中， $(x_0,y_0,z_0)$ 是切点， $a,b$ 是待确定的未知方向系数。

a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z

偏导数源于单变量截面

固定 $y=y_0$ 后，得到关于 $x$ 的单变量关系，因此 $(x-x_0)$ 的系数必须为 $f_x(x_0,y_0)$ ；固定 $x=x_0$ 后，得到关于 $y$ 的单变量关系，因此 $(y-y_0)$ 的系数必须为 $f_y(x_0,y_0)$ 。这一推导过程正是本片段从单变量线性逼近过渡到多变量公式的桥梁。

a=f_x(x_0,y_0),\quad b=f_y(x_0,y_0)

最终的切平面公式

代入已确定的系数后，讲授给出切平面在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的一般方程，即关于两个坐标增量的线性表达式。

f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+z_0=z

切平面的几何意义

3维示意图表明，切平面既包含固定 $y=y_0$ 所得截面的切线，也包含固定 $x=x_0$ 所得截面的切线。因此，该平面由切点处沿两个坐标方向的切线共同确定。

例题设定

本例将公式应用于曲面 $z=2-x^2-y^2$ 在点 $\left(\frac12,\frac12\right)$ 处的情形。黑板标题写为 ` $f(x)=2-x^2-y^2$ `，但实际计算中将函数视为二元函数。

f(x,y)=2-x^2-y^2,\quad (x_0,y_0)=\left(\frac12,\frac12\right)

例题：计算基准高度

第一个数值步骤是在基准点处求函数值，从而得到切点的 $z$ 坐标。

z_0=f\left(\frac12,\frac12\right)=2-\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2=\frac32

例题：计算偏导数

下一步是对每个变量分别求导，并在基点处求值。两个偏导数结果均为 $-1$ 。

f_x\left(\frac12,\frac12\right)=-1,\quad f_y\left(\frac12,\frac12\right)=-1

例：显式切平面

将 $z_0=\frac32$ 及两个偏导数均等于 $-1$ 代入一般公式，得到该曲面示例的最终切平面方程。

z=\frac32-1\left(x-\frac12\right)-1\left(y-\frac12\right)

切平面的一般公式

曲面 $z = f(x, y)$ 在特定点 ( $x_0$ , $y_0$ , $z_0$ ) 处的切平面方程，由该点处函数的偏导数构成。

f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) + z_0 = z

示例：切平面的计算

为求函数 $f(x, y) = 2 - x^2 - y^2$ 在点 ( $1/2$ , $1/2$ ) 处的切平面，首先计算 $z_0 = f(1/2, 1/2) = 3/2$ ；接着求偏导数 $f_x = -2x$ 与 $f_y = -2y$ ，并在该点处求值，得 $f_x(1/2, 1/2) = -1$ 与 $f_y(1/2, 1/2) = -1$ ；最后将这些值代入一般公式，得到最终方程。

z = \frac{3}{2} - 1\left(x - \frac{1}{2}\right) - 1\left(y - \frac{1}{2}\right)

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 33

f

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师提到“函数的图像”，随后将曲面写作 $z=f(x,y)$ 。
公式
观察依据
约在01处的屏幕文字12中包含 $z_0 = f(x_0, y_0)$ 和 $z = f(x,y)$ 。

符号

含义

一个二元标量值函数，其图像是三维空间中的曲面 $z=f(x,y)$ 。

适用范围

二元实值函数；视频未明确说明可微性或连续性假设。

$x_0$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出红点位于函数图像上横坐标为“ $x_0, y_0$ ”、高度为“ $z_0$ ”的位置。
公式
观察依据
目标文字使用 $(x_0,y_0)$ 和 $z_0=f(x_0,y_0)$ ；平面方程使用 $(x-x_0)$ ；图中标注了 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 。

符号

$x_0$

含义

函数 $x$ 图像上指定切点的 $f$ 。

适用范围

实数坐标值。

$y_0$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师用“ $x_0, y_0$ ”表示切点的横坐标，用高度“ $z_0$ ”表示其纵坐标。
公式
观察依据
目标文字使用 $(x_0,y_0)$ 和 $z_0=f(x_0,y_0)$ ；平面方程使用 $(y-y_0)$ ；图中标注了 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 。

符号

$y_0$

含义

函数 $y$ 图像上指定切点的 $f$ 。

适用范围

实数坐标值。

$z_0$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出该点的高度为“ $z_0$ ”。
公式
观察依据
目标文本中写的是 $z_0 = f(x_0,y_0)$ ；平面方程中使用的是 $(z-z_0)$ ；图中标注的是 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 。

符号

$z_0$

含义

高度，即函数 $z$ 图像上取切平面处该点的 $f$ 坐标。

适用范围

由 $z_0=f(x_0,y_0)$ 确定的实数值。

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
展开后的平面方程中包含 $(x-x_0)$ 。
图示
观察依据
平面示意图中的任意一点标记为 $P(x,y,z)$ 。

符号

含义

所描述平面内任意一点 $x$ 的 $P$ 坐标。

适用范围

实坐标变量。

y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
展开后的平面方程中包含 $(y-y_0)$ 。
图示
观察依据
平面示意图中的任意一点标记为 $P(x,y,z)$ 。

符号

含义

该 $y$ 坐标平面上任意一点 $P$ 的横坐标。

适用范围

实坐标变量。

z

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
展开的平面方程包含 $(z-z_0)$ 。
图示
观察依据
平面图中的一般点标记为 $P(x,y,z)$ 。

符号

含义

该 $z$ 坐标平面上任意一点 $P$ 的纵坐标。

适用范围

实数坐标变量。

$\vec{n}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师用“法向量与平面内某向量的点积”来描述平面方程。
公式
观察依据
屏幕上显示的方程是 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{P_0P}=0$ 。
图示
观察依据
一条垂直于蓝色平面的粉红色／洋红色箭头标记为 $\vec n$ 。

符号

$\vec{n}$

含义

平面的一个法向量，即垂直于平面内任意向量的向量。

适用范围

一个三维向量；其分量随后记作 $a,b,c$ 。

$P_0$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师称该向量从点“ $P_0$ ”出发，指向“ $P$ ”。
公式
观察依据
屏幕上显示的方程使用了 $\overrightarrow{P_0P}$ 。
图示
观察依据
蓝色平面上的一个定点标记为 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 。

符号

$P_0$

含义

平面上的一个固定参考点，此处为切点 $(x_0,y_0,z_0)$ 。

适用范围

三维空间中的一个点。

P

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人所指的向量是从 $P_0$ 指向 $P$ 的向量。
公式
观察依据
所显示的方程使用了 $\overrightarrow{P_0P}$ 。
图示
观察依据
一条绿色箭头从 $P_0$ 指向一个一般点，并标记为 $P(x,y,z)$ 。

符号

含义

平面上的一个一般点，其坐标为 $(x,y,z)$ 。

适用范围

三维空间中的一个点。

$\overrightarrow{P_0P}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人称其为“从点P0出发指向P的向量”。
公式
观察依据
所显示的方程是 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{P_0P}=0$ 。
图示
观察依据
一条绿色箭头位于蓝色平面内，从 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 指向 $P(x,y,z)$ 。

符号

$\overrightarrow{P_0P}$

含义

从固定点 $P_0$ 到平面上一个一般点 $P$ 的位移向量。

适用范围

一个三维向量，其各分量分别等于后续展开式中的 $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ 。

a

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说：“如果我们给法向量赋予分量 A、B 和 C。”
公式
观察依据
展开后的方程以 $a(x-x_0)$ 开头。

符号

含义

法向量在平面方程中的第一个分量为 $\vec n$ 。

适用范围

实数标量分量。

知识点 · 17

曲面 $z=f(x,y)$ 的切平面的直观定义。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师将切平面引入为“我们在单变量微积分中见过的切线的多变量推广”，并提问如何定义和计算它。
声音
观察依据
他将切平面描述为一个经过该点、且“在某一点上大致‘轻触’该函数图像的平面”，并指出在其附近，该平面能给出接近真实值的良好近似。
图示
观察依据
一个半透明的灰色平面在3D坐标系中于一个红点处接触一个黄绿色钟形曲面。

定义

解释

对于二元函数的图像，视频将某一点处的切平面类比为单变量微积分中的切线。该平面经过图像上的该点，并在局部“吻合”曲面，从而在该点附近为图像提供一个良好的线性近似。

公式

适用条件

该对象是二元函数的图像，视频中记作 $z=f(x,y)$ 。
在图像上选取一个特定点 $(x_0,y_0,z_0)$ 。
该近似陈述是局部性的：该平面在该点“附近”与图像非常接近。

先修条目

用法向量表示平面的向量方程

图像上的切点

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，他用红色标出了一个特定点，即函数图像上横坐标为 $x_0,y_0$ 、高度为 $z_0$ 的位置。
图示
观察依据
一个红点标记了曲面上的接触点。
公式
观察依据
后续文字以相同条件给出了该点： $z_0=f(x_0,y_0)$ 。

定义

解释

切平面所取的点是函数图像上的一个点。视频中用坐标 $(x_0,y_0,z_0)$ 表示该点，其中竖直坐标由函数在输入点处的取值确定。

公式

(x_0,y_0,z_0),\quad z_0=f(x_0,y_0)

适用条件

该点位于 $f$ 的图像上。
该高度即函数在 $(x_0,y_0)$ 处的取值。
视频未单独说明可微性假设。

先修条目

曲面 $z=f(x,y)$ 的切平面的直观定义。

构造切平面的粗略目标

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说：“我们先从目标开始”，然后指出两个要求：切平面与曲面在 $x_0,y_0,z_0$ 处相交，且在该点附近，切平面在某种意义上接近曲面。
公式
观察依据
屏幕文字显示：目标：一个在 $z_0 = f(x_0, y_0)$ 并且“接近” $z = f(x, y)$ “附近”。

待核验内容

视频中，“接近”一词被明确保留为非正式表述；讲师表示，他将暂且搁置其精确定义，稍后再回过头来讨论。

定义

解释

视频将该问题设定为：寻找一个满足两个条件的平面：它必须经过图像上切点处的点，且必须在该点的一个邻域内紧密逼近图像。“接近”的确切含义在此片段中被延后给出，而非在此处定义。

公式

\text{Goal: a plane through } z_0=f(x_0,y_0) \text{ that is close to } z=f(x,y) \text{ nearby}

适用条件

该平面必须在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处与图像相交。
“接近”这一要求是围绕该点的局部性质。
本片段未给出“接近”的精确量化含义。

先修条目

图像上的切点

用法向量表示平面的向量方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，给出平面方程的一种方法是：利用法向量与平面内任意向量的点积为零；此处平面内的向量即为从 $P_0$ 指向 $P$ 的向量。
公式
观察依据
显示的文字：平面方程： $\vec{n}\cdot \overrightarrow{P_0P}=0$ 。
图示
观察依据
画面中展示了一个蓝色平面，其上有一条粉红色/洋红色的法向量 $\vec n$ ，垂直于该平面；另有一条绿色向量位于平面内，从 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 指向 $P(x,y,z)$ 。

公式

解释

一个平面可以被描述为所有满足如下条件的点 $P$ 的集合：从平面上某个定点 $P_0$ 指向 $P$ 的位移向量与一个法向量 $\vec n$ 正交。正交性由点积为零来表达。

公式

\vec{n}\cdot \overrightarrow{P_0P}=0

适用条件

$P_0$ 是平面上的一个已知点。
$\vec n$ 是该平面的一个法向量。
$P$ 是一个待检验是否属于该平面的任意点。
该方程编码了 $\vec n$ 与所有从 $P_0$ 出发、位于平面内的位移向量之间的垂直关系。

先修条目

平面方程的分量形式

平面方程的分量形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，若法向量的分量为 $A,B,C$ ，则展开后得到 $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ 。
公式
观察依据
显示的文字： $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ 。

公式

解释

将法向量写作 $(a,b,c)$ 、位移向量写作 $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ ，便把平面的点积方程转化为关于任意点坐标的标量线性方程。

公式

a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0

适用条件

$(x_0,y_0,z_0)$ 是平面上的一个点。
$(a,b,c)$ 是该平面一个法向量的分量。
$(x,y,z)$ 表示平面上的一个任意点。

先修条目

用法向量表示平面的向量方程

平面方程的向量形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
平面方程： $\vec n \cdot \overline{P_0P}=0$ 。
图示
观察依据
蓝色平面，其垂直的粉红色法向量为 $\vec n$ ，平面上一点为 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ ，另一点为 $P(x,y,z)$ 。

定义

解释

视频将平面表示为所有满足如下条件的点 $P$ 的集合：从平面上一个定点 $P_0$ 指向 $P$ 的位移向量与平面的法向量 $\vec n$ 正交；正交性由点积为零来表达。

公式

\vec n \cdot \overline{P_0P}=0

适用条件

一个定点 $P_0$ 位于该平面上。
$\vec n$ 是该平面的一个法向量。
$P$ 是平面上的任意一点。

先修条目

$\vec n$
$P_0(x_0,y_0,z_0)$
$P(x,y,z)$

平面的标量分量形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
显示的标量方程： $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 。
声音
观察依据
讲解者将 $z-z_0$ 的系数视为 $c$ ，并两边同除以该系数以实现归一化。

公式

解释

将法向量描述式展开为坐标形式，得到关于 $x,y,z$ 的线性方程，其系数 $a,b,c$ 来自法向量，常数项则由点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 确定。

公式

a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0

适用条件

$(a,b,c)$ 是一个法向量的各分量。
$(x_0,y_0,z_0)$ 是平面上的一点。
$(x,y,z)$ 取遍平面上的所有点。

先修条目

平面方程的向量形式
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

选择 $c=-1$ 来解出关于 $z$ 的平面方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
选取 $c=-1$ 。
声音
观察依据
讲解者指出：若 $c$ 非零，则可两边同除，使 $z-z_0$ 的系数等于 $-1$ 。

方法

解释

当法向量的第三个分量非零时，平面方程可重新缩放，使得 $c=-1$ 成立。这使得我们能够解出 $z$ ，并将平面重写为关于 $x$ 和 $y$ 的函数。

公式

c=-1

适用条件

原始系数 $c$ 非零。
该平面在求解 $z$ 的意义上并非竖直。

先修条目

平面的标量分量形式
$c=-1$

切平面作为线性函数 $L(x,y)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
显示的方程： $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ 。
字幕依据
观察依据
表达式下方的标签：一个线性函数 $L(x,y)$ 。
声音
观察依据
说话人指出，高度 $z$ 线性依赖于 $x$ 和 $y$ ，其中变量仅以一次幂出现，且均乘以常数。

定义

解释

在设定 $c=-1$ 之后，平面方程变为 $z=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0$ 。等式右侧是关于 $x$ 和 $y$ 的线性函数，因此该平面可被理解为曲面的线性近似图像。

公式

L(x,y)=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0

适用条件

该平面已作归一化处理，使得 $z-z_0$ 的系数为 $-1$ 。
此时， $a$ 和 $b$ 仍是待定常数。

先修条目

选择 $c=-1$ 来解出关于 $z$ 的平面方程
$L(x,y)=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0$

将线性近似限制在 $y=y_0$ 上

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
代入 $y=y_0$ 。
公式
观察依据
得到的显示方程： $a(x-x_0)+z_0=z$ 。
声音
观察依据
说话人称，代入 $y=y_0$ 可使第二项消失，并将范围限制在 $y=y_0$ 所在的平面上。

方法

解释

将 $y=y_0$ 代入 $L(x,y)$ 可消去 $b(y-y_0)$ 项，从而得到一个关于 $x$ 的一元线性表达式。从几何上看，这相当于用竖直平面 $y=y_0$ 去截曲面与平面。

公式

a(x-x_0)+z_0=z

适用条件

从 $z=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0$ 出发。
令 $y=y_0$ 。

先修条目

切平面作为线性函数 $L(x,y)$
$L(x,y)=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0$

系数 $a$ 等于关于 $x$ 的偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
带 $a=f_x(x_0,y_0)$ 的线性近似。
声音
观察依据
说话人称，单变量微积分中的结论是： $a$ 即为导数，此处即函数 $f$ 关于 $x$ 的偏导数在该点处的取值。

公式

解释

一旦 $y$ 固定为 $y_0$ ，问题便简化为对关于 $x$ 的单变量函数进行近似。在单变量微积分中，切线的斜率即为导数，因此系数 $a$ 必为 $f_x(x_0,y_0)$ 。

公式

a=f_x(x_0,y_0)

适用条件

该函数在 $(x_0,y_0)$ 附近被近似。
$y$ 在求导过程中固定为 $y_0$ ，同时对 $x$ 求导。
相关的偏导数存在。

先修条目

将线性近似限制在 $y=y_0$ 上
$f_x(x_0,y_0)$

切平面方程的一般形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上先显示 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ ，然后代入 $a=f_x(x_0,y_0)$ 和 $b=f_y(x_0,y_0)$ 。
声音
观察依据
讲师解释道：固定一个变量后，问题就化为单变量问题，其斜率由对应的导数给出。

公式

解释

视频将切平面表示为关于 $x$ 和 $y$ 的线性方程，该方程由基点 $(x_0,y_0,z_0)$ 及两个方向系数构建而成；随后指出，这两个系数即为在基点处的偏导数。

公式

a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z

适用条件

固定一个基点 $(x_0,y_0)$ 。
$z_0$ 是函数在该点的函数值。
系数的选择旨在使单变量截面近似结果相匹配。

先修条目

偏导数作为坐标截面的斜率

定理与条件 · 9

切平面将切线推广至多个变量的情形

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，切平面是‘我们在单变量微积分中所学切线的多变量推广’。

命题

在二元函数图像的语境下，切平面所起的作用，类似于一元函数图像中切线所起的作用。

前提

该曲面是一个二元函数的图像。
这一类比对象是单变量微积分中的切线。

量词

本话题针对多变量函数作非正式陈述；视频片段中未给出形式化的量词表述。

切平面在局部逼近函数图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人称，切平面经过该点，在该点处‘轻触’函数图像，且在该点附近，其值与函数图像非常接近，从而可作为该函数图像的良好近似。

待核验内容

‘良好’一词属定性描述；视频片段并未给出使该说法精确化的形式化条件（如ε型定义或可微性条件）。

命题

在选定的点附近，切平面与函数图像十分接近，因而可作为该图像的局部近似。

前提

在图像上选取一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 。
所讨论的平面即为该点处的切平面。

量词

在切点附近的局部陈述；本片段中未对‘邻域’这一概念进行形式化定义。

不同点通常对应不同的切平面。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，他可以在某一处拥有一个切平面，然后将其沿曲面前方移动，在另一位置得到一个不同的切平面。

命题

在曲面上改变切点的位置，会改变与该点关联的切平面。

前提

曲面本身是固定的。
切点沿曲面变化。

量词

这是对所展示曲面上各位置的一种非正式的、类似全称式的断言；本片段未讨论任何例外情况。

在示例曲面的顶部，切平面是水平的。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，在曲面顶部，切平面平行于 $xy$ -平面，这类似于单变量微积分中导数为零时得到水平切线的情形。
图示
观察依据
在顶点处画出的切平面是水平的。

待核验内容

本视频片段未明确将顶部点称为临界点，也未在此处陈述偏导数为零的条件。

命题

对于所展示的钟形曲面，其顶部点处的切平面平行于 $xy$ -平面，这与单变量情形中导数为零时切线水平的思想一致。

前提

所考虑的点是所示曲面的顶部点。
该点处存在切平面。

量词

此结论针对所示曲面顶部的特定示例点而陈述。

法向量与平面内所有向量的点积均为零。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，若某向量确实是法向量，则它与平面内任意向量的点积必须为零。

命题

一个向量恰好是某平面的法向量，当且仅当它与该平面内任意向量的点积为零。

前提

给定一个平面。
声称某个向量是该平面的法向量。
另一个向量位于该平面内。

量词

对所有位于该平面内的向量均成立。

将平面方程归一化的例外情况是 $c=0$ 。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，归一化总是可行的，除非 $c=0$ ；随后请观众暂停并思考：为何在求可微函数的切平面时，这种情况不相关。

待核验内容

本片段中视频并未给出完整解释，仅提出了该问题。

命题

将方程两边同除以某个量，使 $z-z_0$ 的系数等于 $-1$ ，这一步在 $c\neq 0$ 时成立；主讲人指出， $c=0$ 的情况对可微函数的切平面不相关，但将原因留作暂停思考题。

前提

平面方程写作 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 。
目标是通过将 $z$ 归一化为 $c$ 来求解关于 $-1$ 的平面方程。

量词

对于系数为 $c$ 的 $(z-z_0)$ ，归一化成立的条件是 $c\neq 0$ ；被排除的情形是 $c=0$ 。

在固定 $y=y_0$ 后，系数 $a$ 由单变量切线逻辑确定。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，在单变量微积分中，答案是： $a$ 恰好就是所讨论点处的导数值。
字幕依据
观察依据
后续文字明确了 $a=f_x(x_0,y_0)$ 。

命题

当 $y$ 被固定为 $y_0$ 时，剩余表达式是关于 $x$ 和 $z$ 的一条直线方程，因此系数 $a$ 必为所得单变量函数的导数，即 $f$ 关于 $x$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的偏导数。

前提

该平面已被写成 $z=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0$ 。
将 $y=y_0$ 代入，得到 $z=a(x-x_0)+z_0$ 。
目标曲面为 $z=f(x,y)$ ，近似在 $(x_0,y_0)$ 处进行。

量词

对于通过固定 $y=y_0$ 所得的受限单变量问题，线性系数 $a$ 等于 $f_x(x_0,y_0)$ 。

多元线性近似继承了单变量导数法则。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出：“我们从单变量微积分中继承了‘良好近似’的概念，用以确定多元微积分中所需的系数 a 和 b。”

命题

多元线性近似中的系数是通过对每个坐标方向截面应用单变量法则‘斜率等于导数’而得到的。

前提

通过固定另一个输入，可将该函数限制为一个单变量截面。
相关单变量导数在基点处存在。

量词

在所选基点处，对每个坐标方向而言。

坐标截面切线位于切平面内

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出：黄色曲线的切线位于切平面内，同理，蓝色曲线的切线也位于该特定点处的切平面内。
图示
观察依据
两条彩色切线均绘制于红色点处的半透明平面内。

命题

在切点处，与 $y=y_0$ 对应的截面的切线和与 $x=x_0$ 对应的截面的切线均位于该切平面内。

前提

该切平面即为该点处的线性近似平面。
这些截面均通过同一个基点。

量词

即图中所示的特定点。

推导与证明 · 10

将点积形式的平面方程展开为分量形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说：“从我们当前得到的这个特定方程出发，我们可以将其展开。若令法向量的分量为 A、B 和 C，则将得到公式：A 乘以 X 减 X0，加上 B 乘以 Y 减 Y0，再加上 C 乘以 Z 减 Z0，而这三项之和为零。”
公式
观察依据
屏幕上显示了从 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{P_0P}=0$ 到 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 的过渡。

严格证明

步骤

公式
$\vec{n}\cdot \overrightarrow{P_0P}=0$
解释
从平面的向量方程出发，该方程使用一个法向量和一个位于平面内的位移向量。
步骤依据
这是在展开之前立即引入的、屏幕上显示的平面方程。
视频直接表达
公式
$\vec n=(a,b,c),\qquad \overrightarrow{P_0P}=(x-x_0,\,y-y_0,\,z-z_0)$
解释
将法向量与位移向量分别写成分量形式，参考定点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 和任意点 $P(x,y,z)$ 。
步骤依据
讲者指出法向量的分量为 $A,B,C$ ；位移向量的分量形式则由图中标注的点直接得出。
视频直接表达
公式
$(a,b,c)\cdot (x-x_0,\,y-y_0,\,z-z_0)=0$
解释
将分量表达式代入点积运算。
步骤依据
将前述方程直接代入。
依据视频推导
公式
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$
解释
计算点积，得到平面的标量线性方程。
步骤依据
三维欧几里得空间中点积的定义。
视频直接表达

结论

向量方程 $\vec n\cdot \overrightarrow{P_0P}=0$ 等价于分量方程 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 。

从一般平面方程转化为关于 $x$ 和 $y$ 的线性函数。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上依次显示： $\vec n\cdot\overline{P_0P}=0$ ，然后 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ ，然后选择 $c=-1$ ，然后 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ 。
声音
观察依据
说话人解释了两边同除，使 $z-z_0$ 的系数变为 $-1$ ，接着指出公式可化简为 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ 。

严格证明

步骤

公式
$\vec n \cdot \overline{P_0P}=0$
解释
从几何条件出发：点 $P$ 恰在平面上，当且仅当从 $P_0$ 指向 $P$ 的位移向量与法向量垂直。
步骤依据
用一个点和一个法向量定义平面。
视频直接表达
公式
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$
解释
使用 $\vec n=(a,b,c)$ 的分量以及 $P_0$ 和 $P$ 的坐标，将同一条件写成坐标形式。
步骤依据
点积的坐标展开。
视频直接表达
公式
$c=-1$
解释
对方程进行缩放，使 $z-z_0$ 的系数为 $-1$ 。
步骤依据
在 $c\neq 0$ 成立时允许；主讲人明确指出了例外情况 $c=0$ 。
视频直接表达
公式
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$
解释
将 $c=-1$ 代入标量平面方程，并整理以解出 $z$ 。
步骤依据
代数代入与整理。
视频直接表达

结论

当 $c=-1$ 成立时，该平面可表示为 $z=L(x,y)=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0$ ，即关于 $x$ 和 $y$ 的线性函数。

确定 $a$ 通过限制在 $y=y_0$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
代入 $y=y_0$ 。
公式
观察依据
显示化简后的方程： $a(x-x_0)+z_0=z$ 。
字幕依据
观察依据
以 $a=f_x(x_0,y_0)$ 作线性近似。
声音
观察依据
主讲人指出第二项消失，结果即为一条直线的方程；在单变量微积分中， $a$ 是导数，而此处则是关于 $x$ 的偏导数在该点处的取值。

严格证明

步骤

公式
$z=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0$
解释
从归一化平面方程所得的线性函数出发。
步骤依据
此前基于含 $c=-1$ 的平面方程所作的推导。
视频直接表达
公式
$y=y_0$
解释
将 $y$ 固定在基点处的取值。
步骤依据
这将双变量近似问题简化为曲面上的一个单变量截面。
视频直接表达
公式
$z=a(x-x_0)+z_0$
解释
项 $b(y-y_0)$ 消失，因为 $y-y_0=0$ 。
步骤依据
直接代入。
视频直接表达
公式
$a=f_x(x_0,y_0)$
解释
将 $a$ 识别为由 $f(x,y_0)$ 所得单变量函数在 $x=x_0$ 处的切线斜率。
步骤依据
单变量切线规则，加上关于 $x$ 的偏导数定义。
视频直接表达

结论

切平面线性化式中 $(x-x_0)$ 的系数是 $a=f_x(x_0,y_0)$ 。

推导 $x$ 系数，来自 $y=y_0$ 截面

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示：`代入 $y = y_0$ `，然后是 $a(x-x_0)+z_0=z$ ，再然后是`以 $a = f_x(x_0,y_0)$ 进行线性近似`。
声音
观察依据
主讲人指出，在代入 $y=y_0$ 之后， $z$ 仅依赖于 $x$ ，而单变量情形下的答案是令斜率等于导数。

直观解释

步骤

公式
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$
解释
从二元变量的一般线性方程出发。
步骤依据
在本片段开头显示于黑板上。
视频直接表达
公式
$a(x-x_0)+z_0=z$
解释
代入 $y=y_0$ ，使得 $b(y-y_0)$ 项消失，关系式从而化为仅关于 $x$ 的单变量关系。
步骤依据
黑板上的明确步骤标注为`代入 $y = y_0$ `。
视频直接表达
公式
$a=f_x(x_0,y_0)$
解释
将剩余系数选为该截面关于 $x$ 在基点处的导数。
步骤依据
讲师援用了单变量规则：近似直线的斜率等于导数。
视频直接表达

结论

切平面公式中乘以 $(x-x_0)$ 的系数是 $f_x(x_0,y_0)$ 。

推导 $y$ 系数，来自 $x=x_0$ 截面

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示“代入 $x = x_0$ ”，然后是 $b(y-y_0)+z_0=z$ ，接着是“线性近似，其中 $b = f_y(x_0,y_0)$ ”。”
声音
观察依据
讲师指出，代入 $x=x_0$ 后得到一个不同的线性方程，其中 $z$ 仅依赖于 $y$ ，而此时导数是关于 $y$ 的导数。

直观解释

步骤

公式
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$
解释
再次从一般的双变量线性形式出发。
步骤依据
两种截面论证均使用相同的黑板布置。
视频直接表达
公式
$b(y-y_0)+z_0=z$
解释
代入 $x=x_0$ ，消去 $a(x-x_0)$ 项，从而得到仅含 $y$ 的单变量关系式。
步骤依据
黑板上的明确步骤标注为“代入 $x = x_0$ ”。
视频直接表达
公式
$b=f_y(x_0,y_0)$
解释
令该系数等于函数在基点处关于 $y$ 的偏导数。
步骤依据
讲师将单变量“导数即斜率”规则应用于 $y$ 截面。
视频直接表达

结论

切平面公式中乘以 $(y-y_0)$ 的系数是 $f_y(x_0,y_0)$ 。

将两个切片结果合并为切平面方程。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板清空中间行，显示框出的方程 $f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+z_0=z$ 。
声音
观察依据
讲师说：“将所有内容整合起来，我就能得到这个方程……”，并读出两个偏导数项，再加上 $z_0$ 。

严格证明

步骤

公式
$a=f_x(x_0,y_0)$
解释
使用来自 $y=y_0$ 切片的结果。
步骤依据
此前在本片段中，由单变量近似法则推导得出。
视频直接表达
公式
$b=f_y(x_0,y_0)$
解释
使用来自 $x=x_0$ 切片的结果。
步骤依据
此前在本片段中，由单变量近似法则推导得出。
视频直接表达
公式
$f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+z_0=z$
解释
将已确定的系数代回一般线性形式。
步骤依据
直接代入 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ 。
视频直接表达

结论

函数在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面由 $f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+z_0=z$ 给出。

计算示例中的底边高度 $z_0$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板写出 $z_0=f\left(\frac12,\frac12\right)=2-\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2=\frac32$ 。
声音
观察依据
讲师询问函数在该点处的高度，并指出代入后得到 $\frac32$ 。

数值验证

步骤

公式
$f(x,y)=2-x^2-y^2$
解释
从示例函数出发。
步骤依据
该函数在黑板上和口头陈述中均已给出。
视频直接表达
公式
$z_0=f\left(\frac12,\frac12\right)$
解释
在指定的基点处对函数进行求值。
步骤依据
讲师指出，首先要确定的是 $z_0$ ，即该点处的高度。
视频直接表达
公式
$2-\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2=\frac32$
解释
代入并化简，得到具体的数值高度。
步骤依据
黑板上展示了明确的算术运算过程。
视频直接表达

结论

对于本示例， $z_0=\frac32$ 。

计算示例中的偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出了 $f_x\left(\frac12,\frac12\right)=-2\left(\frac12\right)=-1$ 和 $f_y\left(\frac12,\frac12\right)=-2\left(\frac12\right)=-1$ 。
声音
观察依据
讲师指出，关于 $x$ 的偏导数是 $-2x$ 在 $x=\frac12$ 处的取值；类似地，关于 $y$ 的偏导数是 $-2y$ 在 $y=\frac12$ 处的取值。

待核验内容

从 $2-x^2-y^2$ 到 $-2x$ 和 $-2y$ 的求导步骤仅通过口头说明，并仅以代入求值后的形式展示在黑板上。

数值验证

步骤

公式
$f_x(x,y)=-2x$
解释
对 $2-x^2-y^2$ 关于 $x$ 求导，同时将 $y$ 视为常数。
步骤依据
讲师表述为：“关于 $x$ 的偏导数……等于 $-2x$ 。”
视频直接表达
公式
$f_x\left(\frac12,\frac12\right)=-2\left(\frac12\right)=-1$
解释
在基点处计算 $x$ -偏导数。
步骤依据
黑板上的显式计算。
视频直接表达
公式
$f_y(x,y)=-2y$
解释
对 $2-x^2-y^2$ 关于 $y$ 求导，同时将 $x$ 视为常数。
步骤依据
讲师表述为：“若在此处对 $y$ 求偏导，结果为 $-2y$ 。”
视频直接表达
公式
$f_y\left(\frac12,\frac12\right)=-2\left(\frac12\right)=-1$
解释
在基点处计算 $y$ -偏导数。
步骤依据
黑板上的显式计算。
视频直接表达

结论

在 $\left(\frac12,\frac12\right)$ 处，两个偏导数均等于 $-1$ 。

组装该切平面示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $z=\frac32-1\left(x-\frac12\right)-1\left(y-\frac12\right)$ 。
声音
观察依据
讲师说：“取这三个点，代入，最终得到公式……”，并朗读同一表达式。

数值验证

步骤

公式
$f_x\left(\frac12,\frac12\right)(x-\tfrac12)+f_y\left(\frac12,\frac12\right)(y-\tfrac12)+z_0=z$
解释
从适用于例题点的一般切平面公式出发。
步骤依据
这是本讲早先推导出的框出公式。
视频直接表达
公式
$(-1)\left(x-\frac12\right)+(-1)\left(y-\frac12\right)+\frac32=z$
解释
代入已计算出的值 $f_x=-1$ 、 $f_y=-1$ 和 $z_0=\frac32$ 。
步骤依据
直接代入先前算出的三个量。
视频直接表达
公式
$z=\frac32-1\left(x-\frac12\right)-1\left(y-\frac12\right)$
解释
将方程改写为左边仅含 $z$ 的形式。
步骤依据
黑板上展示的代数整理过程。
视频直接表达

结论

该例题的切平面为 $z=\frac32-1\left(x-\frac12\right)-1\left(y-\frac12\right)$ 。

本例中切平面方程的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上的一系列等式展示了分步推导过程。

严格证明

步骤

公式
$z_0 = f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{2}$
解释
计算函数 $f(x, y) = 2 - x^2 - y^2$ 在点 ( $1/2$ , $1/2$ ) 处的值，以求得切点的 z 坐标。
步骤依据
函数定义及点处的函数值计算。
视频直接表达
公式
$f_x\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = -2\left(\frac{1}{2}\right) = -1$
解释
计算对 x 的偏导数，结果为 -2x，并在 $x = 1/2$ 处求值。
步骤依据
偏微分的运算法则。
视频直接表达
公式
$f_y\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = -2\left(\frac{1}{2}\right) = -1$
解释
计算对 y 的偏导数，结果为 -2y，并在 $y = 1/2$ 处求值。
步骤依据
偏微分的运算法则。
视频直接表达
公式
$z = \frac{3}{2} - 1\left(x - \frac{1}{2}\right) - 1\left(y - \frac{1}{2}\right)$
解释
将计算得到的 $z_0$ 、 $f_x$ 、 $f_y$ 、 $x_0$ 和 $y_0$ 的值代入一般切平面公式。
步骤依据
代入一般公式。
视频直接表达

结论

该函数在指定点处的切平面方程为 $z = 3/2 - 1(x - 1/2) - 1(y - 1/2)$ 。

例题详解 · 3

视觉示例：钟形曲面上某点的切平面

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲者说：“在这个例子中，我展示的是一个函数的图像”，并在图像上标出一个位于 $x_0,y_0$ 处、高度为 $z_0$ 的红点，同时描述切平面“轻触”该图像，并在其附近对图像进行近似。
图示
观察依据
一幅位于3D坐标系中的黄绿色钟形曲面，其上标有一个红点及一个半透明的切平面。
声音
观察依据
接着他指出，切平面可以移动到另一个位置，从而得到不同的切平面；在顶部，该切平面与 $xy$ -平面平行。

待核验内容

钟形曲面的显式公式未在所采样的视觉资料中展示；仅能清晰看出其定性形状以及作为函数图像的一般描述。

题目

利用所展示的曲面 $z=f(x,y)$ 来理解某一点处切平面的含义，以及它如何随该点的位置而变化。

已知条件

一个表示二元函数图像的钟形曲面。
曲面上的一个红色点，其坐标为 $(x_0,y_0,z_0)$ 。
一个穿过该点的半透明平面。

目标

识别切平面的几何意义，并比较曲面上不同点处的切平面。

步骤

公式
解释
在图像上选取一个特定点（以红色标出），其坐标为 $(x_0,y_0,z_0)$ 。
步骤依据
主讲人明确将该红点介绍为将在图像上取切平面的位置。
视频直接表达
公式
解释
过该点作一平面，使其在局部与曲面吻合，即所谓在该处“亲吻”图像。
步骤依据
这是主讲人在该示例中对切平面所给出的直观定义。
视频直接表达
公式
解释
将该平面理解为在所选点附近对曲面图形的一种近似。
步骤依据
主讲人指出，在切平面附近，其数值接近曲面图形，是曲面图形的一个良好近似。
视频直接表达
公式
解释
将切点移动到曲面上的另一位置，并注意切平面随之改变。
步骤依据
主讲人表示，在不同位置会得到不同的切平面。
视频直接表达
公式
解释
在曲面顶部，观察到切平面是水平的，即平行于 $xy$ -平面。
步骤依据
主讲人明确将此情形与单变量微积分中导数为零时的水平切线进行类比。
视频直接表达

结果

该示例展示了切平面作为通过曲面图形上某一点的局部线性曲面；不同点对应不同的切平面，且在所展示曲面的顶部，切平面是水平的。

检验

视频片段内通过视觉与概念方式进行验证：该平面经过所标记的点，看起来与曲面相切，且如主讲人所述，在顶部变为水平。

函数 $f(x,y)=2-x^2-y^2$ 在点 $\left(\frac12,\frac12\right)$ 处的切平面

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上给出例题：`Ex: $f(x)=2-x^2-y^2$ 在 ( $1/2$ , $1/2$ )`，随后计算出 $z_0$ 、 $f_x$ 、 $f_y$ 及最终的切平面方程。
声音
观察依据
讲师指出示例函数在点 $2-x^2-y^2$ 处为 $x_0=\frac12$ ， $y_0=\frac12$ ，然后逐步进行代入运算。

待核验内容

所显示的记号 ` $f(x)$ ` 与二元表达式及口头表述存在冲突；但实际演算明确将其视为 $f(x,y)$ 。

题目

求曲面 $z=2-x^2-y^2$ 在点 $\left(\frac12,\frac12\right)$ 处的切平面／线性近似。

已知条件

对应的式子为： $f(x,y)=2-x^2-y^2$
基点 $(x_0,y_0)=\left(\frac12,\frac12\right)$
一般公式 $f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+z_0=z$

目标

计算 $z_0$ 、 $f_x(x_0,y_0)$ 、 $f_y(x_0,y_0)$ ，并写出显式的切平面方程。

步骤

公式
$z_0=f\left(\frac12,\frac12\right)=2-\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2=\frac32$
解释
在基点处求函数值，得到曲面的高度。
步骤依据
将基点直接代入给定的 $f$ 表达式。
视频直接表达
公式
$f_x\left(\frac12,\frac12\right)=-2\left(\frac12\right)=-1$
解释
计算关于 $x$ 的偏导数，并在基点处求值。
步骤依据
主讲人指出 $x$ 方向的偏导数为 $-2x$ ，然后代入 $x=\frac12$ 。
视频直接表达
公式
$f_y\left(\frac12,\frac12\right)=-2\left(\frac12\right)=-1$
解释
计算关于 $y$ 的偏导数，并在基点处求值。
步骤依据
主讲人指出 $y$ 方向的偏导数为 $-2y$ ，然后代入 $y=\frac12$ 。
视频直接表达
公式
$z=\frac32-1\left(x-\frac12\right)-1\left(y-\frac12\right)$
解释
将计算出的三个量代入切平面公式，并解出 $z$ 。
步骤依据
使用本节课早先推导出的一般公式。
视频直接表达

结果

对应的式子为： $z=\frac32-1\left(x-\frac12\right)-1\left(y-\frac12\right)$

检验

结果与视频结尾处最终框出的黑板表达式一致。

求抛物面的切平面

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
整个例题及其解答显示在屏幕上。

题目

求函数 $f(x, y) = 2 - x^2 - y^2$ 在点 ( $1/2$ , $1/2$ ) 处的切平面方程。

已知条件

函数： $f(x, y) = 2 - x^2 - y^2$
切点坐标：( $x_0$ , $y_0$ ) = ( $1/2$ , $1/2$ )

目标

求给定点处的切平面方程。

步骤

公式
$z_0 = \frac{3}{2}$
解释
计算切点的 z 坐标。
步骤依据
在给定的 x 和 y 坐标处求函数值。
视频直接表达
公式
$f_x = -1, f_y = -1$
解释
计算函数在给定点处对 x 和 y 的偏导数。
步骤依据
对函数求导，并在给定点处求值。
视频直接表达
公式
$z = \frac{3}{2} - 1\left(x - \frac{1}{2}\right) - 1\left(y - \frac{1}{2}\right)$
解释
利用一般公式构造最终方程。
步骤依据
将已知数值代入切平面方程。
视频直接表达

结果

z 等于 3 除以 2，减去 1 乘以括号 x 减去 1 除以 2 括号，再减去 1 乘以括号 y 减去 1 除以 2 括号

检验

这些步骤遵循利用偏导数求切平面的标准流程。

图示与动画 · 12

片头标题卡片

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板风格的标题卡片显示文字“切平面”。

图中对象

黑色黑板背景
标题文字“切平面”

变化过程

标题文字在视频开场几秒内出现在屏幕上。

不变量

尚未显示任何数学公式。
该片段起到主题引入的作用。

数学含义

视频片段先宣布本节主题为切平面，随后切入讲师讲解与示例。

曲面切平面的动画示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一个3维坐标系，其坐标轴为 $x,y,z$ ，其中显示一个黄绿色钟形曲面，以及一个半透明的灰色平面，该平面在一点处与曲面相切，该点为红色。
声音
观察依据
讲师解释道：红点位于横坐标为 $(x_0,y_0)$ 、高度为 $z_0$ 的图像上；切平面在此处与图像相切，并在该点附近对图像进行近似。

待核验内容

在所采样的画面证据中，无法看到该曲面的确切代数表达式。

图中对象

坐标轴 $x,y,z$
钟形曲面 $z=f(x,y)$
切点（红色）
半透明切平面

变化过程

切平面在高亮显示的点处与曲面相交。
讲师在描述局部近似时，用手势指向该平面。

不变量

红色点在此过程中始终为选定的切点。
该曲面始终是某个二元函数的图像。

数学含义

该图示说明了切平面的几何意义：一个经过函数图像上某一点、并在该点附近与图像吻合的平面。

改变切点会改变切平面。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
切平面沿曲面向上移动，最终在曲面最高点处变为一个水平平面。
声音
观察依据
讲师指出，他可以移动切平面，从而得到不同的切平面；而在最高点处，该切平面与 $xy$ 平面平行。

图中对象

同一钟形曲面。
移动的切平面。
曲面的最高点。
位于顶点处的水平平面。

变化过程

平面从曲面侧方一点重新定位到曲面顶部。
在顶部，该平面变为水平。

不变量

下方曲面保持不变。
该平面始终表示在所选点处的切平面。

数学含义

动画展示了切平面对点的依赖性，以及在类似最大值的顶部点处出现水平切平面这一特殊情况。

目标的文字陈述呈现在屏幕上

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示文字：目标：一个在 $z_0 = f(x_0, y_0)$ 处与曲面相交且“接近” $z = f(x, y)$ “附近”的平面。
声音
观察依据
讲师口头重述该双重目标：一是在该点处相交，二是在附近足够接近。

待核验内容

“接近”和“附近”加引号，表明此条件在此阶段有意采用非正式表述。

图中对象

包含目标陈述的文字块
讲师站在文字旁讲解

变化过程

视觉焦点从3D示例转向问题的文字化表述。

不变量

同一个点 $(x_0,y_0,z_0)$ 和曲面 $z=f(x,y)$ 始终是研究的对象。

数学含义

该片段将几何直观转化为切平面的双条件目标定义。

一般平面的示意图，含法向量与平面内的位移向量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一个蓝色平面出现，其上标有一条垂直于它的粉红色／洋红色向量 $\vec n$ ，以及一条从 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 指向 $P(x,y,z)$ 并位于该平面内的绿色向量。
公式
观察依据
方程 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{P_0P}=0$ 显示在图示上方。
公式
观察依据
随后补充展示展开后的方程 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 。

图中对象

蓝色平面
定点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$
任意点 $P(x,y,z)$
法向量 $\vec n$
位移向量 $\overrightarrow{P_0P}$
方程文字

变化过程

该图引入了平面方程的一般向量形式。
随后，该公式被展开为分量形式。

不变量

法向量始终垂直于该平面。
位移向量始终位于平面上，从 $P_0$ 指向 $P$ 。

数学含义

该图示为用于求切平面的代数平面公式提供了几何依据。

平面方程的几何图示

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
显示一个蓝色平面，其坐标轴为 $x,y,z$ ，一条粉红色法向量为 $\vec n$ ，一个红色点为 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ ，一个绿色点为 $P(x,y,z)$ ，二者由一个向量连接。

图中对象

蓝色平面
粉红色向量 $\vec n$
点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$
点 $P(x,y,z)$
坐标轴 $x,y,z$

变化过程

图示仅在开头出现，随后消失，而代数表达式则持续保留在屏幕上。

不变量

法向量被描绘为垂直于该平面。
$P_0$ 显示在平面上，而 $P$ 是平面上的另一个点。

数学含义

该图示编码了条件 $\vec n\cdot\overline{P_0P}=0$ ：平面上任意两点之间的位移向量均与法向量正交。

黑板文字从平面方程逐步推导至偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
文字依次出现：选择 $c=-1$ ；然后选择 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ ，并标注为线性函数 $L(x,y)$ ；接着代入 $y=y_0$ ；再显示 $a(x-x_0)+z_0=z$ ；最后给出带 $a=f_x(x_0,y_0)$ 的线性近似。

图中对象

方程行
方程下方的标签

变化过程

黑板首先展示平面的一般方程。
随后添加归一化条件 $c=-1$ 。
接下来将平面重写为线性函数 $L(x,y)$ 。
然后代入 $y=y_0$ 并化简。
最后将 $a$ 识别为 $f_x(x_0,y_0)$ 。

不变量

基点 $(x_0,y_0,z_0)$ 在整个过程中保持固定。
该结构在所显示的变量中保持线性。

数学含义

视觉序列追踪了逻辑推导过程：从三维平面方程出发，经由二元线性近似，再过渡到揭示系数 $a$ 含义的一元截面。

系数标识的黑板推演过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板式布局逐步呈现一般方程、两个代入步骤，以及标识 $a=f_x(x_0,y_0)$ 和 $b=f_y(x_0,y_0)$ 。

图中对象

一般方程 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$
行：代入 $y = y_0$
化简后的方程 $a(x-x_0)+z_0=z$
行：线性近似，其中 $a = f_x(x_0,y_0)$
行：代入 $x = x_0$
化简后的方程 $b(y-y_0)+z_0=z$
行：线性近似，其中 $b = f_y(x_0,y_0)$

变化过程

黑板首先展示完整的双变量线性形式。
然后加上 $y=y_0$ 次约简，并识别出 $a$ 。
接着加上 $x=x_0$ 次约简，并识别出 $b$ 。
最后，中间步骤的各行被清空，并替换为整合后的公式。

不变量

基点 $(x_0,y_0)$ 在整个过程中保持固定。
常数项 $z_0$ 保留在方程中。

数学含义

该视觉序列编码了如下逻辑：每个系数都是通过冻结另一个变量，并应用单变量求导法则得到的。

屏幕上显示整合后的切平面公式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板清空先前的文字，在左上角显示一个带方框的方程。

图中对象

带方框的方程 $f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+z_0=z$

变化过程

此前的中间步骤各行消失。
最终公式被单独置于方框中以作强调。

不变量

该结构在 $(x-x_0)$ 和 $(y-y_0)$ 中保持线性，常数项为 $z_0$ 。

数学含义

方框标示了从推导过程到可用的一般结论的过渡。

切平面的几何可视化

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
出现一个3D图像，坐标轴为 $x,y,z$ ，曲面开口向下，还有一个半透明平面、一个红点、一条黄色曲线及其黄色切线，以及一条蓝/青色曲线及其蓝/青色切线。
声音
观察依据
主讲人明确将黄色切片与固定的 $y_0$ 关联，将蓝色切片与固定的 $x_0$ 关联，并指出两条切线均位于切平面内。

待核验内容

第二条切片的颜色口述为蓝色，但在屏幕上显示为青色/蓝绿色。

图中对象

二元函数的曲面图像
半透明切平面
切点（红色）
固定 $y=y_0$ 处的黄色切片曲线
沿 $x$ 方向的黄色切线
固定 $x=x_0$ 处的蓝/青色切片曲线
沿 $y$ 方向的蓝/青色切线
坐标轴 $x,y,z$

变化过程

在代数公式建立之后，再引入该图示。
讲解者首先指出黄色切片，然后指出蓝色/青色切片。
视觉重点在于两条切线均位于同一平面内。

不变量

所有高亮显示的曲线和直线都经过同一个红色基点。
该平面始终是包含两条方向切线的共同对象。

数学含义

图示表明，切平面由两个坐标方向上的切线确定，而这两条切线分别来自偏导数。

在黑板上逐步书写完成的例题

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
3D 图形消失，黑板重新显示例题陈述及逐步计算过程。

待核验内容

例题标题清晰显示为 ` $f(x)=2-x^2-y^2$ `，尽管后续演算将其视为二元函数。

图中对象

例题标题：`例： $f(x)=2-x^2-y^2$ ，点为( $1/2$ , $1/2$ )`
计算 $z_0$
$f_x(1/2,1/2)$ 的计算
$f_y(1/2,1/2)$ 的计算
最终的平面方程

变化过程

例题陈述首先出现。
然后加入 $z_0=\frac32$ 。
接着加入两个偏导数的取值结果。
最后写出显式的切平面方程。

不变量

在整个例题中，基点始终为 $\left(\frac12,\frac12\right)$ 。
此处使用的是先前给出的一般公式，而非修改该公式。

数学含义

黑板将抽象公式转化为具体的数值切平面计算。

场景转换

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
视频画面从黑板背景切换至办公室场景。

图中对象

写有数学公式的黑板
办公桌
显示器上显示“SUBSCRIBE”

变化过程

背景由黑板变为办公室
讲话人的服装发生变化

不变量

主讲人保持不变

数学含义

这一视觉转场标志着数学教学部分的结束，以及视频片尾与行动呼吁环节的开始。

易错点 · 6

误将非正式的‘接近’条件当作已完成的定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，切平面在邻近区域应与函数图像‘接近’，但随即补充道：‘我所说的“接近”究竟何意？我们先暂且搁置这个问题，稍后再回来讨论。’
公式
观察依据
屏幕上的目标将‘接近’和‘邻近’二字加上了引号。

误区

有人可能认为屏幕上显示的目标已给出了切平面的完整严格定义，因为它声称该平面在邻近区域‘接近’函数图像。

说明

在此片段中，讲师明确推迟了‘接近’的确切含义；该陈述仅是一个粗略的目标，尚非正式判据。

误以为仅凭切点就足以确定切平面

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师称，切点很容易通过将 $x_0,y_0,z_0$ 代入公式求得，但更难的部分是 $a,b,c$ ，即如何求出该函数图像的法向量。

误区

人们可能会认为，一旦知道了点 $(x_0,y_0,z_0)$ ，切平面就自动确定了。

说明

视频强调，该点仅提供平面方程中的位置项；其余关键任务是求出法向量的分量 $a,b,c$ 。

假设总能将 $c$ 标准化为 $-1$ 。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，该方法总能奏效，除非 $c=0$ ；并请观众思考：为何这种情况对于可微函数的切平面而言不相关。

待核验内容

该片段提出了这一问题，但在继续之前并未给出完整解释。

误区

人们可能认为，在平面方程中， $z-z_0$ 的系数总能被调整为 $-1$ 。

说明

该步骤要求 $c\neq 0$ 。讲解者明确将 $c=0$ 标为例外情形，并在可微函数的切平面背景下视其为无关情况，但本片段未给出完整依据。

将切平面与原始非线性曲面混淆。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，这是一个线性函数，其中 $z$ 以线性方式依赖于 $x$ 和 $y$ ：各变量仅以一次幂出现，且系数为前置常数。

误区

人们可能会认为，平面的表达式本身就是原始的复杂函数。

说明

视频将非线性函数 $z=f(x,y)$ 与其线性近似 $L(x,y)=a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0$ 区分开来，后者被构造出来，用于在该点附近逼近曲面。

示例标题中的符号表示不一致

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上的例题标题为：`例： $f(x)=2-x^2-y^2$ ，在点( $1/2$ , $1/2$ )处`。
声音
观察依据
尽管如此，主讲人仍按函数有两个输入变量来讲解和计算，并求出 $f(\frac12,\frac12)$ ，同时对 $f_x$ 和 $f_y$ 都进行取值。

误区

有人可能将 ` $f(x)=2-x^2-y^2$ ` 字面理解为关于单变量的函数。

说明

在视频片段中，口头讲解及所有计算均将该示例视为二元函数 $f(x,y)=2-x^2-y^2$ ；而屏幕上显示的 ` $f(x)$ ` 是不一致的记号。

颜色名称与屏幕实际色调之间的差异

时间近似

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师将第二张切片称为“蓝色曲线”。
图示
观察依据
屏幕上该曲线及其切线呈现青色/蓝绿色，而非纯蓝色。

待核验内容

这是视觉描述上的不一致，并非数学错误。

误区

观众可能根据讲解预期第二张切片恰好是蓝色。

说明

从数学角度看，关键在于它是满足 $x=x_0$ 的切片；尽管讲师称其为蓝色，但屏幕上的颜色更准确地应描述为青色/蓝绿色。

概念关系 · 16

曲面 $z=f(x,y)$ 的切平面的直观定义。 → 切平面将切线推广至多个变量的情形

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师直接称切平面为单变量微积分中切线概念在多元函数情形下的推广。

推广

解释

视频片段中将切平面概念呈现为：将单变量函数的切线思想推广到两个自变量函数的图像上。

切平面在局部逼近函数图像 → 曲面 $z=f(x,y)$ 的切平面的直观定义。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师对切平面的定义包含如下主张：在该平面附近，它能很好地近似函数图像。

证明依赖

解释

切平面的直观定义依赖于片段中所陈述的局部近似性质。

构造切平面的粗略目标 → 图像上的切点

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
目标文字明确使用了 $z_0=f(x_0,y_0)$ 。
声音
观察依据
讲师指出，该平面必须在特定点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处与函数图像相交。

应用

解释

较为宽泛的目标陈述将切点条件作为所求平面的首要要求。

用法向量表示平面的向量方程 → 曲面 $z=f(x,y)$ 的切平面的直观定义。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在定义切平面的目标之后，讲师指出切平面本质上是平面，并回顾了平面的一般方程形式。
公式
观察依据
所展示的平面方程，其引入顺序与求切平面的方法步骤完全一致。

应用

解释

一般平面方程是视频所引入的代数工具，用于在求得正确法向量后构造切平面。

用法向量表示平面的向量方程 → 平面方程的分量形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说：“从我们已有的这个特定方程出发，我们可以将其展开”，随后给出了分量形式的公式。
公式
观察依据
屏幕上依次显示 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{P_0P}=0$ 和 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 。

等价

解释

该分量方程是通过对点积方程展开得到的，因此这两种形式表达的是同一个平面条件。

在示例曲面的顶部，切平面是水平的。 → 切平面将切线推广至多个变量的情形

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师将顶部的水平切平面与单变量微积分中令导数等于零从而得到水平切线的情形进行类比。

特例

解释

顶部的水平切平面被呈现为单变量情形下导数为零这一现象在多元函数中的对应推广。

平面方程的向量形式 → 平面的标量分量形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上从 $\vec n\cdot\overline{P_0P}=0$ 过渡到 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 。

等价

解释

标量方程是平面法向量与位置向量垂直这一向量点积条件的坐标形式。

选择 $c=-1$ 来解出关于 $z$ 的平面方程 → 切平面作为线性函数 $L(x,y)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在选择 $c=-1$ 之后，方程变为 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ ，并标注为线性函数 $L(x,y)$ 。

应用

解释

将 $c$ 标准化为 $-1$ 是代数步骤，使得平面方程可解出 $z$ ，并可视为关于 $x$ 和 $y$ 的线性函数。

切平面作为线性函数 $L(x,y)$ → 将线性近似限制在 $y=y_0$ 上

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
代入 $y=y_0$ 使 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ 变为 $a(x-x_0)+z_0=z$ 。
声音
观察依据
说话人称，这相当于限制在 $y=y_0$ 所确定的平面上，所得结果即为一条直线的方程。

特例

解释

固定 $y=y_0$ 后，双变量线性近似就转化为单变量线性函数，即在 $xz$ -截面上的一条直线。

将线性近似限制在 $y=y_0$ 上 → 系数 $a$ 等于关于 $x$ 的偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人指出，在单变量微积分中， $a$ 是该点处的导数；而在此处，它是函数 $f$ 关于 $x$ 的偏导数，并在 $(x_0,y_0)$ 处取值。
字幕依据
观察依据
用 $a=f_x(x_0,y_0)$ 进行线性近似。

应用

解释

将单变量切线公式应用于截面 $y=y_0$ ，从而得到 $a$ 的偏导数公式。

切平面作为线性函数 $L(x,y)$ → $z_0 = f(x_0, y_0)$ , $\quad z = f(x,y)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，切平面是对非线性函数的一种近似，用一个更易理解的线性对象来替代它。

应用

解释

线性函数 $L(x,y)$ 正是用于实现‘寻找一个靠近 $z=f(x,y)$ 附近的 $(x_0,y_0)$ ’这一目标的工具。

偏导数作为坐标截面的斜率 → 切平面方程的一般形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师通过固定一个变量并运用单变量求导法则，推导出 $a$ 和 $b$ 。
公式
观察依据
黑板上将 `代入 $y = y_0$ ` 与 $a=f_x(x_0,y_0)$ 关联，将 `代入 $x = x_0$ ` 与 $b=f_y(x_0,y_0)$ 关联。

证明依赖

解释

一般平面方程依赖于通过偏导数的切片解释来确定其系数。

问题定位 · 20

什么是二元函数图像的切平面？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师引入了切平面的概念，并借助图像上一点及其局部近似给出了直观定义。

涉及知识点

曲面 $z=f(x,y)$ 的切平面的直观定义。
图像上的切点
切平面在局部逼近函数图像

切平面如何将单变量微积分中的切线概念推广到多元情形？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师明确地将切平面与单变量微积分中的切线进行了类比。

涉及知识点

切平面将切线推广至多个变量的情形
在示例曲面的顶部，切平面是水平的。

寻找切平面时，哪两个条件共同定义了目标？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上的目标文字陈述了所求平面需满足的两个条件。
声音
观察依据
讲师口头解释了相同的两部分目标。

涉及知识点

构造切平面的粗略目标
图像上的切点

利用法向量和平面上一点，如何写出平面的方程？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
该片段同时展示了平面方程的向量形式与分量形式。
声音
观察依据
讲师讲解了点积构造，然后将其展开。

涉及知识点

用法向量表示平面的向量方程
平面方程的分量形式
将点积形式的平面方程展开为分量形式

平面方程为何使用 $\vec n\cdot \overrightarrow{P_0P}=0$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，真正的法向量必须与平面内任意向量的点积为零。
图示
观察依据
图中显示 $\vec n$ 垂直于平面，而 $\overrightarrow{P_0P}$ 位于平面内部。

涉及知识点

用法向量表示平面的向量方程
法向量与平面内所有向量的点积均为零。

一旦切点确定，还需什么来确定切平面？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师表示，代入已知点很容易，但更难的部分是求出 $a,b,c$ ——即该曲面的法向量。

涉及知识点

平面方程的分量形式
误以为仅凭切点就足以确定切平面

为何示例曲面顶部的切平面是水平的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，顶部的切平面平行于 $xy$ -平面，并将其类比为导数为零时的水平切线。
图示
观察依据
顶点处的平面被画成水平方向。

涉及知识点

在示例曲面的顶部，切平面是水平的。
改变切点会改变切平面。

如果在曲面上选择另一个点，切平面会改变吗？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，移动到不同位置会得到不同的切平面。

涉及知识点

不同点通常对应不同的切平面。
改变切点会改变切平面。

视频为何在平面方程中选择 $c=-1$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
选择 $c=-1$ 。
声音
观察依据
主讲人解释了如何两边同除，使 $z-z_0$ 的系数变为 $-1$ 。

涉及知识点

选择 $c=-1$ 来解出关于 $z$ 的平面方程
平面的标量分量形式
将平面方程归一化的例外情况是 $c=0$ 。

切平面如何被重写为线性函数 $L(x,y)$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
画面上写着： $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ 。
字幕依据
观察依据
一个线性函数 $L(x,y)$ 。

涉及知识点

切平面作为线性函数 $L(x,y)$
从一般平面方程转化为关于 $x$ 和 $y$ 的线性函数。

当你将 $y=y_0$ 代入切平面公式时，会发生什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
代入 $y=y_0$ 。
公式
观察依据
画面上写着： $a(x-x_0)+z_0=z$ 。

涉及知识点

将线性近似限制在 $y=y_0$ 上
确定 $a$ 通过限制在 $y=y_0$

为什么系数 $a$ 等于 $f_x(x_0,y_0)$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，在单变量微积分中，答案是 $a$ 即该点处的导数。
字幕依据
观察依据
用 $a=f_x(x_0,y_0)$ 进行线性近似。

涉及知识点

系数 $a$ 等于关于 $x$ 的偏导数
在固定 $y=y_0$ 后，系数 $a$ 由单变量切线逻辑确定。
确定 $a$ 通过限制在 $y=y_0$

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 片头字幕显示主题“切平面”；此时尚未展示任何公式。

已覆盖 · 讲师通过一个3维示例引入切平面，定义切点，解释局部近似，并说明移动该点会改变切平面，包括在顶部出现的水平情形。

已覆盖 · 该片段陈述了切平面的两部分目标，并明确将“接近”的含义暂且保持非正式，留待后续阐明。

已覆盖 · 讲师回顾平面的一般方程（向量形式与分量形式），解释为何点积为零，展开该公式，并指出法向量分量是构造切平面时剩余的难点。

已覆盖 · 开场板书展示了目标、向量形式的平面方程、标量形式的平面方程以及几何示意图。

已覆盖 · 示意图消失；主讲人引入关于 $c$ 的简化假设及非零条件。

已覆盖 · 文字‘选择 $c=-1$ ’出现，主讲人解释对平面方程进行缩放。

已覆盖 · 平面被重写为 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+z_0=z$ ，并被识别为线性函数 $L(x,y)$ 。

已覆盖 · 先前文字清除；黑板显示‘代入 $y=y_0$ ’及化简后的方程 $a(x-x_0)+z_0=z$ ，主讲人将其解释为一条直线。

已覆盖 · 黑板新增‘用 $a=f_x(x_0,y_0)$ 进行线性近似’，主讲人将此与单变量导数建立联系。

已覆盖 · 该片段通过一次固定一个变量，并应用单变量求导法则，推导出两个系数。

已覆盖 · 中间的黑板内容被清空，随后展示整合后的切平面公式。

已覆盖 · 一幅 3D 示意图借助坐标方向上的截面曲线及其切线，对该公式进行几何解释。

已覆盖 · 过渡区间：几何示意图消失，课程转入一个带完整演算过程的例题。

已覆盖 · 该例题计算了 $z_0$ 、两个偏导数，以及函数 $2-x^2-y^2$ 在点 $(1/2,1/2)$ 处的显式切平面。

已覆盖 · 数学内容包含切平面的通用公式及一个求切平面的完整示例。

已覆盖 · 片尾段落，不含新的数学内容；主讲人请求观众点赞、评论并订阅。

探索视频中的知识

已审核的主题路径

切平面

如何求切平面 | 多变量函数的线性近似

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

切平面：直观含义

在z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)上的切点

求切平面的粗略目标

平面的向量方程

平面的分量方程

对切平面而言，尚存的难点

特殊情况：水平切平面

由一个点和一个法向量确定的平面

平面的标量方程

为何选择c=−1c=-1c=−1

作为线性函数L(x,y)L(x,y)L(x,y)的切平面

限制在切片y=y0y=y_0y=y0​上

从切线到偏导数

切平面的通用线性模型

偏导数源于单变量截面

最终的切平面公式

切平面的几何意义

例题设定

例题：计算基准高度

例题：计算偏导数

例：显式切平面

切平面的一般公式

示例：切平面的计算

详细学习笔记

f

x0x_0x0​

y0y_0y0​

z0z_0z0​

x

y

z

n⃗\vec{n}n

P0P_0P0​

P

P0P→\overrightarrow{P_0P}P0​P​

a

曲面z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)的切平面的直观定义。

图像上的切点

构造切平面的粗略目标

用法向量表示平面的向量方程

平面方程的分量形式

平面方程的向量形式

平面的标量分量形式

选择c=−1c=-1c=−1来解出关于zzz的平面方程

切平面作为线性函数L(x,y)L(x,y)L(x,y)

将线性近似限制在y=y0y=y_0y=y0​上

系数aaa等于关于xxx的偏导数

切平面方程的一般形式

切平面将切线推广至多个变量的情形

切平面在局部逼近函数图像

不同点通常对应不同的切平面。

在示例曲面的顶部，切平面是水平的。

法向量与平面内所有向量的点积均为零。

将平面方程归一化的例外情况是c=0c=0c=0。

在固定y=y0y=y_0y=y0​后，系数aaa由单变量切线逻辑确定。

多元线性近似继承了单变量导数法则。

坐标截面切线位于切平面内

将点积形式的平面方程展开为分量形式

从一般平面方程转化为关于xxx和yyy的线性函数。

确定 aaa 通过限制在 y=y0y=y_0y=y0​

推导 xxx系数，来自 y=y0y=y_0y=y0​截面

推导 yyy系数，来自 x=x0x=x_0x=x0​截面

将两个切片结果合并为切平面方程。

计算示例中的底边高度z0z_0z0​

计算示例中的偏导数

组装该切平面示例

本例中切平面方程的推导

视觉示例：钟形曲面上某点的切平面

函数f(x,y)=2−x2−y2f(x,y)=2-x^2-y^2f(x,y)=2−x2−y2在点(12,12)\left(\frac12,\frac12\right)(21​,21​)处的切平面

求抛物面的切平面

片头标题卡片

曲面切平面的动画示例

改变切点会改变切平面。

目标的文字陈述呈现在屏幕上

一般平面的示意图，含法向量与平面内的位移向量

在 $z=f(x,y)$ 上的切点

为何选择 $c=-1$

作为线性函数 $L(x,y)$ 的切平面

限制在切片 $y=y_0$ 上

$x_0$

$y_0$

$z_0$

$\vec{n}$

$P_0$

$\overrightarrow{P_0P}$

曲面 $z=f(x,y)$ 的切平面的直观定义。

选择 $c=-1$ 来解出关于 $z$ 的平面方程

切平面作为线性函数 $L(x,y)$

将线性近似限制在 $y=y_0$ 上

系数 $a$ 等于关于 $x$ 的偏导数

将平面方程归一化的例外情况是 $c=0$ 。

在固定 $y=y_0$ 后，系数 $a$ 由单变量切线逻辑确定。

从一般平面方程转化为关于 $x$ 和 $y$ 的线性函数。

确定 $a$ 通过限制在 $y=y_0$

推导 $x$ 系数，来自 $y=y_0$ 截面

推导 $y$ 系数，来自 $x=x_0$ 截面

计算示例中的底边高度 $z_0$

函数 $f(x,y)=2-x^2-y^2$ 在点 $\left(\frac12,\frac12\right)$ 处的切平面

假设总能将 $c$ 标准化为 $-1$ 。

曲面 $z=f(x,y)$ 的切平面的直观定义。 → 切平面将切线推广至多个变量的情形

切平面在局部逼近函数图像 → 曲面 $z=f(x,y)$ 的切平面的直观定义。

用法向量表示平面的向量方程 → 曲面 $z=f(x,y)$ 的切平面的直观定义。

选择 $c=-1$ 来解出关于 $z$ 的平面方程 → 切平面作为线性函数 $L(x,y)$

切平面作为线性函数 $L(x,y)$ → 将线性近似限制在 $y=y_0$ 上

将线性近似限制在 $y=y_0$ 上 → 系数 $a$ 等于关于 $x$ 的偏导数

切平面作为线性函数 $L(x,y)$ → $z_0 = f(x_0, y_0)$ , $\quad z = f(x,y)$

平面方程为何使用 $\vec n\cdot \overrightarrow{P_0P}=0$ ？

视频为何在平面方程中选择 $c=-1$ ？

切平面如何被重写为线性函数 $L(x,y)$ ？

当你将 $y=y_0$ 代入切平面公式时，会发生什么？

为什么系数 $a$ 等于 $f_x(x_0,y_0)$ ？